2.6.3: Вертикальні переклади
- Page ID
- 54669
Зсув вгору або вниз по осі Y.
Ваші знання про перетворення, зокрема вертикальний зсув, стосуються безпосередньо синусоїдальних функцій. На практиці ескізування зсунутих синусоїдних і косинусних функцій вимагає більшої уваги до деталей і більш ретельного маркування, ніж інші функції. Чи можете ви описати наступну трансформацію словами?
\(f(x)=\sin x\rightarrow g(x)=−3\sin x−4\)
В якому порядку відбуваються відображення, розтягування і зсув? Чи є різниця?
Вертикальний зсув синусоїдальних функцій
Загальна форма синусоїдальної функції - це:
\(f(x)=\pm a\cdot \sin (b(x+c))+d\)
Нагадаємо, що контролює амплітуду і\(\pm\) контролює відображення. Тут ви побачите, як d керує вертикальним зсувом.
Найбільш простий спосіб подумати про вертикальний зсув синусоїдальних функцій - зосередитися на синусоїдальній осі, горизонтальній лінії, що проходить через середину синусоїдальної або косинусоїдальної хвилі. На початку завдання виявляють вертикальний зсув і відразу ж малюють нову синусоїдальну вісь. Потім перейдіть до амплітуди графіка та відображення навколо цієї осі на відміну від осі x.
Графіки наступних трьох функцій наведені нижче:
\(\begin{aligned} f(x)&=\sin x+3 \\ g(x)&=\sin x−2 \\ h(x)&=\sin x+12 \end{aligned}\)
![F-D_31820FA9047F75276C39D52832180C2A0F9D5415499C79D1B38713+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png](https://k12.libretexts.org/@api/deki/files/15333/f-d_31820fa9047f75276c39d2f52832180c2a0f9d5415499c79d1b38713%252BIMAGE_THUMB_POSTCARD_TINY%252BIMAGE_THUMB_POSTCARD_TINY.png)
Щоб намалювати ці графіки, спочатку малюється нова синусоїдальна вісь для кожного графіка. Потім малюється повна синусоїда для кожної з них. Зверніть увагу на п'ять важливих моментів, які розділяють кожен квадрант, щоб допомогти отримати чітке уявлення про графік. У цих графіках немає відображень, і всі вони мають амплітуду 1. Зараз кожен цикл починається з 0 і закінчується на,\(2\pi \) але це не завжди буде так.
Перегляньте частини наступного відео, зосередженого на вертикальних перекладах:
Раніше вас запитали, в якому порядку вертикальний зсув і відображення слід виконувати і якщо це має значення. Наступне перетворення можна описати наступним чином.
\(f(x)=\sin x \rightarrow g(x)=−3\sin x−4\)
Рішення
Опишіть спочатку розтягування і відображення, а потім вертикальний зсув. Це найбільш логічний спосіб обговорення перетворення усно, оскільки тоді числа, такі як 3 та -4, можуть бути явно визначені на графіку.
Порядок в описі трансформації має значення. При описі вертикальних перетворень найбільш інтуїтивно просто описати перетворення в тому ж порядку, що і порядок операцій.
Визначте рівняння наступного перетвореного косинусного графа.
![F-D_E15A1E8FBE6EB3AE0347E7018d9DF7828966cbd7a468049371941+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка_зображення_великий палець_поштова листівка_крихітка_png](https://k12.libretexts.org/@api/deki/files/15334/f-d_e15a1e8fbe6eb3aee0347ee7018d9df7828966cbd7a4608049371941%252BIMAGE_THUMB_POSTCARD_TINY%252BIMAGE_THUMB_POSTCARD_TINY.png)
Рішення
Оскільки синусоїдальної осі не задана, необхідно визначити вертикальний зсув, розтягнення і відображення. Пік відбувається на,\((\pi ,3)\) а жолоб відбувається на (0, -1), тому горизонтальна лінія безпосередньо між +3 і -1 є\(y=1\). Так як синусоїдальна вісь була зрушена вгору на одну одиницю\(d=1\). З цієї висоти графік йде два вище і два нижче, що означає, що амплітуда дорівнює 2. Оскільки цей косинусовий графік починає свій цикл з (0, -1), що є нижчою точкою, він є негативним косинусом. Функція є\(f(x)=−2\cos x+1\).
Перетворіть наступний синусовий графік двома способами. Спочатку перетворіть синусоїдальний графік, змістивши його вертикально вгору на 1 одиницю, а потім розтягнувши його по вертикалі в 2 одиниці. По-друге, перетворіть синусоїдальний графік, розтягнувши його по вертикалі в 2 одиниці, а потім змістивши його вертикально вгору на 1 одиницю.
![F-D_DBDE79A8A5E059E35ECD94C7190309ed9E11b031c06db01629DF+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png](https://k12.libretexts.org/@api/deki/files/15335/f-d_dbde79a8a5e059e35ecd94c7190309ed90700e11b031c06db01629df%252BIMAGE_THUMB_POSTCARD_TINY%252BIMAGE_THUMB_POSTCARD_TINY.png)
Рішення
Роблячи впорядковані перетворення, добре показати, з чого ви починаєте і де в кінцевому підсумку, щоб ви могли ефективно порівнювати та протиставити результати. Подивіться, як обидва перетворення починаються із звичайної синусоїди. Два стовпці представляють послідовність перетворень, які дають різні результати.
![F-D_8F208 ДК3Б3АД 9FF0C138 AD6CEDAE572DA33993E8FFCF359B2Cdaeba3+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палецька_листівка_крихітка_png](https://k12.libretexts.org/@api/deki/files/15336/f-d_8f208dc3b3ad9ff0c138ad6cedae572da33993e8ffcf359b2cdaeba3%252BIMAGE_THUMB_POSTCARD_TINY%252BIMAGE_THUMB_POSTCARD_TINY.png)
Яке рівняння моделює наступний графік?
![F-D_090696C1B773AA4D9567AB69B776F55FBA657E84C8F56C90269FDB2+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png](https://k12.libretexts.org/@api/deki/files/15337/f-d_090696c1b773aa4d9567ab69b776f55fba657e84c8f56c90269fedb2%252BIMAGE_THUMB_POSTCARD_TINY%252BIMAGE_THUMB_POSTCARD_TINY.png)
Рішення
\(f(x)=3\cdot \sin x−1\)
Графік наступної функції:\(f(x)=−2\cdot \cos x+1\).
Рішення
Спочатку намалюйте горизонтальну синусоїдальну вісь і виділіть п'ять основних точок для косинусоїдальної хвилі. Будьте обережні, зауважте, що амплітуда дорівнює 2, а косинусна хвиля починається і закінчується в низькій точці через негативний знак.
![F-D_A16CFFCE74AD400632F866D6C2065 ФД5290320E0D8CCE4566933+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка_png](https://k12.libretexts.org/@api/deki/files/15338/f-d_a16cffcea74ad400632f866d6c2065fedcd5290320e0d8cce4566933%252BIMAGE_THUMB_POSTCARD_TINY%252BIMAGE_THUMB_POSTCARD_TINY.png)
Рецензія
Графік кожної з наступних функцій, які зазнали вертикального розтягування, відображення та/або вертикального зсуву.
- \(f(x)=−2\sin x+4\)
- \(g(x)=\dfrac{1}{2}\cos x−1\)
- \(h(x)=3\sin x+2\)
- \(j(x)=−1.5\cos x+\dfrac{1}{2}\)
- \(k(x)=\dfrac{2}{3}\sin x−3\)
Знайдіть мінімальне і максимальне значення кожної з наступних функцій.
- \(f(x)=−3\sin x+1\)
- \(g(x)=2\cos x−4\)
- \(h(x)=\dfrac{1}{2}\sin x+1\)
- \(j(x)=−\cos x+5\)
- \(k(x)=\sin (x)−1\)
Дайте рівняння кожної функції на графіку нижче.
-
Малюнок\(\PageIndex{7}\) -
Малюнок\(\PageIndex{8}\) -
Малюнок\(\PageIndex{9}\) -
Малюнок\(\PageIndex{10}\) -
Малюнок\(\PageIndex{11}\)
Огляд (Відповіді)
Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 5.4.