2.6.3: Вертикальні переклади

Last updated
Save as PDF

Page ID: 54669

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Зсув вгору або вниз по осі Y.

Ваші знання про перетворення, зокрема вертикальний зсув, стосуються безпосередньо синусоїдальних функцій. На практиці ескізування зсунутих синусоїдних і косинусних функцій вимагає більшої уваги до деталей і більш ретельного маркування, ніж інші функції. Чи можете ви описати наступну трансформацію словами?

\(f(x)=\sin x\rightarrow g(x)=−3\sin x−4\)

В якому порядку відбуваються відображення, розтягування і зсув? Чи є різниця?

Вертикальний зсув синусоїдальних функцій

Загальна форма синусоїдальної функції - це:

\(f(x)=\pm a\cdot \sin (b(x+c))+d\)

Нагадаємо, що контролює амплітуду і\(\pm\) контролює відображення. Тут ви побачите, як d керує вертикальним зсувом.

Найбільш простий спосіб подумати про вертикальний зсув синусоїдальних функцій - зосередитися на синусоїдальній осі, горизонтальній лінії, що проходить через середину синусоїдальної або косинусоїдальної хвилі. На початку завдання виявляють вертикальний зсув і відразу ж малюють нову синусоїдальну вісь. Потім перейдіть до амплітуди графіка та відображення навколо цієї осі на відміну від осі x.

Графіки наступних трьох функцій наведені нижче:

\(\begin{aligned} f(x)&=\sin x+3 \\ g(x)&=\sin x−2 \\ h(x)&=\sin x+12 \end{aligned}\)

Щоб намалювати ці графіки, спочатку малюється нова синусоїдальна вісь для кожного графіка. Потім малюється повна синусоїда для кожної з них. Зверніть увагу на п'ять важливих моментів, які розділяють кожен квадрант, щоб допомогти отримати чітке уявлення про графік. У цих графіках немає відображень, і всі вони мають амплітуду 1. Зараз кожен цикл починається з 0 і закінчується на,\(2\pi \) але це не завжди буде так.

Перегляньте частини наступного відео, зосередженого на вертикальних перекладах:

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Раніше вас запитали, в якому порядку вертикальний зсув і відображення слід виконувати і якщо це має значення. Наступне перетворення можна описати наступним чином.

\(f(x)=\sin x \rightarrow g(x)=−3\sin x−4\)

Рішення

Опишіть спочатку розтягування і відображення, а потім вертикальний зсув. Це найбільш логічний спосіб обговорення перетворення усно, оскільки тоді числа, такі як 3 та -4, можуть бути явно визначені на графіку.

Порядок в описі трансформації має значення. При описі вертикальних перетворень найбільш інтуїтивно просто описати перетворення в тому ж порядку, що і порядок операцій.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Визначте рівняння наступного перетвореного косинусного графа.

Рішення

Оскільки синусоїдальної осі не задана, необхідно визначити вертикальний зсув, розтягнення і відображення. Пік відбувається на,\((\pi ,3)\) а жолоб відбувається на (0, -1), тому горизонтальна лінія безпосередньо між +3 і -1 є\(y=1\). Так як синусоїдальна вісь була зрушена вгору на одну одиницю\(d=1\). З цієї висоти графік йде два вище і два нижче, що означає, що амплітуда дорівнює 2. Оскільки цей косинусовий графік починає свій цикл з (0, -1), що є нижчою точкою, він є негативним косинусом. Функція є\(f(x)=−2\cos x+1\).

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Перетворіть наступний синусовий графік двома способами. Спочатку перетворіть синусоїдальний графік, змістивши його вертикально вгору на 1 одиницю, а потім розтягнувши його по вертикалі в 2 одиниці. По-друге, перетворіть синусоїдальний графік, розтягнувши його по вертикалі в 2 одиниці, а потім змістивши його вертикально вгору на 1 одиницю.

Рішення

Роблячи впорядковані перетворення, добре показати, з чого ви починаєте і де в кінцевому підсумку, щоб ви могли ефективно порівнювати та протиставити результати. Подивіться, як обидва перетворення починаються із звичайної синусоїди. Два стовпці представляють послідовність перетворень, які дають різні результати.

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Яке рівняння моделює наступний графік?

Рішення

\(f(x)=3\cdot \sin x−1\)

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Графік наступної функції:\(f(x)=−2\cdot \cos x+1\).

Рішення

Спочатку намалюйте горизонтальну синусоїдальну вісь і виділіть п'ять основних точок для косинусоїдальної хвилі. Будьте обережні, зауважте, що амплітуда дорівнює 2, а косинусна хвиля починається і закінчується в низькій точці через негативний знак.