Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.6.4: Горизонтальні переклади або фазові зсуви

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    54672

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Зсув вправо або вліво вздовж осі х.

    Періодична функція, яка починається не на синусоїдальної осі або на максимумі або мінімумі, була зрушена горизонтально. Цей горизонтальний рух дозволяє використовувати різні початкові точки, оскільки синусоїда не має ні початку, ні кінця.

    Які ще п'ять способів написання функції\(f(x)=2\cdot \sin x\)?

    Фазовий зсув синусоїдальних функцій

    Загальна синусоїдальна функція - це:

    \(f(x)=\pm a\cdot \sin (b(x+c))+d\)

    Постійна c контролює зсув фаз. Фазовий зсув - горизонтальний зсув вліво або вправо для періодичних функцій. Якщо\(c=\dfrac{\pi }{2} \) тоді синусоїда зміщується вліво на\(\dfrac{\pi }{2} \). Якщо\(c=−3\) тоді синусоїда зрушена вправо на 3. Це зворотний напрямок, ніж можна було очікувати, але воно узгоджується з правилами перетворень для всіх функцій.

    Для побудови графіка такої функції\(f(x)=3\cdot \cos \left(x−\dfrac{\pi }{2} \right)+1\), як, спочатку знайдіть початок і кінець одного періоду. Потім намалюйте тільки ту ділянку синусоїдальної осі. Нарешті, побудуйте 5 важливих моментів для косинусного графіка, зберігаючи амплітуду на увазі. Графік наведено нижче:

    F-D_48Ф3Б87ФД4БФФ 36Б54ФД7АБ 8811582D8863E47301F098E926D3A15+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка_зображення_великого пальця листівка_крихітка_png
    Малюнок\(\PageIndex{1}\)

    Як правило\(b\), завжди пишеться, щоб бути позитивним. Якщо ви зіткнулися з ситуацією, коли b є негативним, використовуйте свої знання парних і непарних функцій, щоб переписати функцію.

    \(\begin{aligned} \cos (−x)& =\cos (x) \\ \sin (−x)&=−\sin (x) \end{aligned}\)

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Раніше вас просили\(f(x)=2\cdot \sin x\) написати п'ятьма різними способами.

    Рішення

    Функцію\(f(x)=2\cdot \sin x\) можна переписати нескінченною кількістю способів.

    \(2\cdot \sin x=−2\cdot \cos \left(x+\dfrac{\pi }{2} \right)=2\cdot \cos \left(x−\dfrac{\pi }{2} \right)=−2\cdot \sin (x−\pi )=2\cdot \sin (x−8\pi )\)

    Все залежить від того, де ви виберете початок і чи бачите ви позитивний або негативний синус або косинус графік.

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    З огляду на наступний графік, ідентифікують еквівалентні синусоїдальні та косинусні алгебраїчні моделі.

    F-D_EFDE5DAD2016 CDC547F7167AF462A9D23AE4232EB07c467c467ce0081+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{2}\)

    Рішення

    Або це синусоїдальна функція, зсунута праворуч,\(\dfrac{\pi }{4}\) або косинусний графік зміщений вліво\(\dfrac{5\pi }{4}\).

    \(f(x)=\sin (x−\pi 4)=\cos \left(x+\dfrac{5\pi }{4}\right)\)

    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    У\(t=5\) хвилини Вільям піднімається вгору на 2 фути, щоб сісти в найнижчій точці колеса огляду, яка має діаметр 80 футів. Через цілу годину він остаточно відпускається з колеса після того, як зробив лише один оборот. Протягом цієї години він замислювався, як моделювати його зріст з часом на графіку та рівнянні.

    Рішення

    Оскільки період 60, який надзвичайно добре працює з\(360^{\circ} \) колом, ця проблема буде показана в градусах.

    Час (хвилини) Висота (фути)
    5 2
    20 42
    35 82
    50 42
    65 2
    F-D_B554053b6d2855a29b28b28b29af1d34b7b77ad77f1b6cd93a+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_поштова листівка_крихітка_png
    Малюнок\(\PageIndex{3}\)

    Вільям вибирає, щоб побачити негативний косинус на графіку. Він визначає амплітуду 40 футів. Вертикальний зсув синусоїдальної осі становить 42 фути. Горизонтальний зсув - 5 хвилин вправо.

    Період становить 60 (не 65) хвилин, що означає,\(b=6\) коли графується в градусах.

    \(60=\dfrac{360}{b}\)

    Таким чином, одне рівняння було б: R5

    \(f(x)=−40\cdot \cos (6(x−5))+42\)

    Приклад\(\PageIndex{4}\)

    Таблиці припливів повідомляють про час і глибину відливів і припливів. Ось частина звіту про припливи від Салема, штат Массачусетс, датований 19 вересня 2006 року.

    10:15 РАНКУ

    9 футів.

    Високий приплив

    16:15 ВЕЧОРА

    1 фут.

    відлив

    22:15 ВЕЧОРА

    9 футів.

    Високий приплив

    Знайдіть рівняння, яке прогнозує висоту на основі часу. Уважно вибирайте, коли t=0.

    Рішення

    Є два логічних місця для установки\(t=0\). Перший - опівночі напередодні ввечері, а другий - о 10:15 ранку. Перший варіант ілюструє зсув фаз, який є фокусом цієї концепції, але другий варіант дає більш просте рівняння. Встановіть\(t=0\), щоб бути опівночі і вибрати одиниці, щоб бути в хвилинах.

    Час (години: хвилини) Час (хвилини) Приплив (ноги)
    10:15 615 9
    16:15 975 1
    22:15 1335 9
      \(\dfrac{615+975}{2}=795\) 5
      \(\dfrac{1335+975}{2}=1155\) 5

    Ці числа, здається, вказують на позитивну косинусну криву. Амплітуда дорівнює 4, а вертикальний зсув - 5. Горизонтальний зсув дорівнює 615, а період - 720.

    \(720=\dfrac{2\pi }{b} \rightarrow b=\dfrac{\pi }{360}\)

    Таким чином, одне рівняння:

    \(f(x)=4\cdot \cos \left(\dfrac{\pi }{360}\left(x−615 \right) \right)+5\)

    Приклад\(\PageIndex{5}\)

    Використовуйте рівняння з Прикладу 4, щоб дізнатися, коли приплив буде рівно 8 футів 19 вересня.

    Рішення

    Ця задача дає вам y і просить вас знайти x. Пізніше ви дізнаєтеся, як це вирішити алгебраїчно, але поки що використовуйте силу кнопки перетину на вашому калькуляторі, щоб перетинати функцію з лінією y=8. Не забудьте знайти всі значення x між 0 і 1440, щоб врахувати протягом цілих 24 годин.

    F-D_527B9C49990E8757a0BD15517b34a8FE0F1E754952b0C7a1D5958CE+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png
    Малюнок\(\PageIndex{4}\)

    Є чотири рази протягом 24 годин, коли висота рівно 8 футів. Ви можете перетворити ці часи на години та хвилини, якщо хочете.

    \(t\approx 532.18 (8:52),\; 697.82 (11:34),\; 1252.18 (20:52),\; 1417.82 (23:38)\)

    Рецензія

    Графік кожної з наступних функцій.

    1. \(f(x)=2\cos \left(x−\dfrac{\pi }{2} \right)−1\)
    2. \(g(x)=−\sin \left(x−\pi \right)+3\)
    3. \(h(x)=3\cos \left(2\left(x−\pi \right)\right)\)
    4. \(k(x)=−2\sin \left (2x−\pi \right)+1\)
    5. \(j(x)=−\cos \left(x+\dfrac{\pi }{2} \right)\)

    Наведіть одне можливе рівняння синуса для кожного з наведених нижче графіків.


    1. F-D_2C83B17B023AE80C1C657DC5d4432f63 БББД 046d7bea7952BA24D451A+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png
      Малюнок\(\PageIndex{5}\)
    2. F-D_8Е97916Ф582БК3912Ф502C0Ф16Ф4Ф06Б5Б26Б90351BA816828F3E61+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка_png
      Малюнок\(\PageIndex{6}\)
    3. F-D_851 ФА3Ф08458БК2Д1АФ6Е3Е0247А5С7ДБ227452CEA22F1B20+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка_png
      Малюнок\(\PageIndex{7}\)

    Дайте одну можливу функцію косинуса для кожного з наведених нижче графіків.

    1. F-D_12Е77121БФ7А0CC3F91F7A7927E5583B04D621E59A992C20F2FAB71+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png
      Малюнок\(\PageIndex{8}\)
    2. F-D_F0CAD739F2F0252396580F0F0F8CB8F1D061C4E66EEA6A595A3488EEEEB+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка_зображення_маленька_листівка_крихітка_png
      Малюнок\(\PageIndex{9}\)
    3. F-D_6444B4B420323F9FD1AB8367F9A68A4A289087750a68a68a685390216569CFF6+зображення_thumb_поштова листівка_крихіткий+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png
      Малюнок\(\PageIndex{10}\)

    Температуру протягом певного 24-годинного періоду можна моделювати за допомогою синусоїдальної функції. О 3:00 температура за період досягає мінімуму\(22^{\circ} \) F. О 15:00 температура за період досягає максимуму\(40^{\circ} \) F.

    12. Знайдіть рівняння, яке прогнозує температуру на основі часу в хвилинах. Виберіть t=0, щоб бути опівночі.

    13. Використовуйте рівняння від #12, щоб передбачити температуру в 4:00 вечора.

    14. Використовуйте рівняння від #12, щоб передбачити температуру в 8:00 ранку.

    15. Використовуйте рівняння з #12, щоб передбачити час (и) це буде\(32^{\circ} \) F.

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 5.6.

    Лексика

    Термін Визначення
    амплітуда максимальна відстань, на яку частинки середовища рухаються зі своїх положень спокою при проходженні хвилі.
    Горизонтальний зсув Горизонтальний зсув є результатом додавання постійного члена до функції всередині дужок. Позитивний термін призводить до зсуву вліво і негативного члена в зрушення вправо.
    періодична функція Періодична функція - це функція з передбачуваним повторюваним малюнком. Синусоїдальні хвилі і косинуси - це періодичні функції.
    синусоїдальна вісь Синусоїдальна вісь - це нейтральна горизонтальна лінія, яка лежить між гребенями і западинами графіка синусоїдальної або косинусоїдальної функції.
    синусоїдальна функція Синусоїдальна функція - це синусоїдальна або косинусна хвиля.
    синусоїдальні функції Синусоїдальна функція - це синусоїдальна або косинусна хвиля.