Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.5.3: Функції трига та радіани з технологією

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    54790

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Градуси проти радіанів і режимів калькулятора.

    Шість тригонометричних функцій і радіанів

    Під час роботи у вашому математичному класі одного дня, вам дається аркуш значень в радіанах і просять знайти різні тригонометричні функції з них, такі як синус, косинус і\ tan gent. Перше питання просить вас знайти\(\sin \dfrac{\pi }{6}\). Ви збираєтеся почати перетворення вимірювань в радіанах в градуси, коли вам цікаво, чи можна просто взяти значення функцій безпосередньо.

    Як ви думаєте, це можливо? Як з'ясовується, застосовувати триг-функції до вимірювань в радіанах дійсно можна. Тут ви навчитеся робити саме це.

    Тригонометричні функції та радіани

    Незважаючи на те, що ви звикли виконувати функції трига на градусах, вони все одно працюватимуть на радіанах. Різниця лише в тому, як виглядає проблема. Якщо ви бачите\(\sin \dfrac{\pi }{6}\), що все ще\(\sin 30^{\circ} \) і відповідь все ще\(\dfrac{1}{2}\).

    Більшість наукових та графічних калькуляторів мають параметр MODE, який дозволить вам або конвертувати між ними, або знаходити наближення для функцій трига за допомогою будь-якої міри. Це impor\ tan t, що якщо ви використовуєте калькулятор для оцінки триг-функції, що ви знаєте, який режим ви використовуєте. Подивіться на наступний екран:

    Ф-Д_С4Ф3739А 40Е51Е23С4Ф490Д547Ф62694Б6049А156ДД9ФБДКФКФ1А950+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg
    Малюнок\(\PageIndex{1}\)

    Якщо ви ввели це очікуючи знайти синус 30 градусів, ви зрозумієте, що щось не так, тому що відповідь повинна бути\(\dfrac{1}{2}\). Насправді, як ви, можливо, підозрювали, калькулятор інтерпретує це як 30 радіанів. В цьому випадку зміна режиму на градуси і перерахунок дасть очікуваний результат.

    Ф-Д_42С95С 72СБ 63ЕЕ977Ф8Б4Ф05Д83 ФФ 743ЕЕФ 2А9869ДА86Б8А6Ф01С+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg
    Малюнок\(\PageIndex{2}\)
    Ф-Д_2Е0411 Фе 7ДБА 2ЕД Дек 31 ФСБ 0893Б2ФД85ФД97Е6ЦК 9ДД6Б3А928АААФ 6+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg
    Малюнок\(\PageIndex{3}\)

    Наукові калькулятори, як правило, мають 3-літерний дисплей, який показує або DEG або RAD, щоб повідомити вам, в якому режимі знаходиться калькулятор.

    Давайте розглянемо кілька прикладів проблем.

    1. Знайти\(\tan \dfrac{3\pi }{4}\).

    Якщо потрібно,\(\dfrac{3\pi }{4}\) перетворіть в градуси. Роблячи це, ми виявляємо, що це 1\(35^{\circ} \). Отже, це те\(\tan 135^{\circ} \), що дорівнює -1.

    2. Знайдіть значення\(\cos \dfrac{11 \pi }{6}\).

    Якщо потрібно,\(\dfrac{11 \pi }{6}\) перетворіть в градуси. Роблячи це, ми виявляємо, що воно є\(330^{\circ} \). Отже, це те\(\cos 330^{\circ} \), що є\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

    3. Перетворіть 1 радіан до ступеня міри.

    Багато студентів настільки звикають використовувати\(\pi \) в радіановій мірі, що вони неправильно думають, що 1 радіан означає\(1\pi \) радіани. Хоча це зручніше і загальніше виражати радіану міру з точки зору\(\pi \), не втрачайте з уваги той факт, що\(\pi \) радіани є числом. Він визначає кут, створений поворотом приблизно 3,14 довжини радіуса. Отже, 1 радіан - це обертання, створене дугою, яка є лише одним радіусом у довжину.

    \(\text{radians } \times \dfrac{180}{\pi }=\text{degrees}\)

    Таким чином, 1 радіан буде\(\dfrac{180}{\pi }\) градусами. Використання будь-якого наукового або графічного калькулятора дасть розумне наближення для цієї міри ступеня, приблизно\(57.3^{\circ} \).

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Раніше вас просили знайти\(\sin \dfrac{\pi }{6}\).

    Рішення

    Як ви дізналися в цьому розділі, те\(\sin \dfrac{\pi }{6}\) саме\(\sin 30^{\circ} \), що дорівнює\(\dfrac{1}{2}\). Ви можете знайти це або шляхом перетворення\(\dfrac{\pi }{6}\) в градуси, або за допомогою калькулятора з кутами, введеними в радіанах.

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    За допомогою калькулятора знайдіть приблизну градусну міру (до найближчої десятої) кута, вираженого в радіанах:

    Рішення

    \(\dfrac{6\pi }{7}\)

    \(154.3^{\circ}\)

    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    За допомогою калькулятора знайдіть приблизну градусну міру (до найближчої десятої) кута, вираженого в радіанах:

    Рішення

    \(\dfrac{20\pi }{11}\)

    \(327.3^{\circ}\)

    Приклад\(\PageIndex{4}\)

    Джина хотіла розрахувати\(\sin 210^{\circ} \) і отримала наступну відповідь на свій калькулятор:

    Ф-Д_8Ф6 ЕЦ5Ф532А3479Ф5АБ 486БД 347Е534 ФЕКА 4АС 7835 БЕ9577 FFE77E15+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg
    Малюнок\(\PageIndex{4}\)

    Рішення

    На щастя, Кайлі побачила свою відповідь і сказала їй, що це очевидно неправильно.

    1. Напишіть правильну відповідь, в найпростішій радикальній формі.
    2. Поясніть, що вона зробила не так.

    Правильна відповідь -\(−\dfrac{1}{2}\). Її калькулятор був неправильним режимом і вона розрахувала синус 210 радіанів.

    Рецензія

    За допомогою калькулятора знайдіть приблизну градусну міру (до найближчої десятої) кута, вираженого в радіанах.

    1. \(\dfrac{4 \pi }{7}\)
    2. \(\dfrac{5 \pi }{6}\)
    3. \(\dfrac{8 \pi }{11}\)
    4. \(\dfrac{5 \pi }{3}\)
    5. \(\dfrac{8 \pi }{3}\)
    6. \(\dfrac{7 \pi }{4}\)
    7. \(\dfrac{12 \pi }{5}\)

    Знайдіть значення кожного за допомогою калькулятора.

    1. \(\sin \dfrac{3\pi }{2}\)
    2. \(\cos \dfrac{\pi }{2}\)
    3. \(\tan \dfrac{\pi }{6}\)
    4. \(\sin \dfrac{5 \pi }{6}\)
    5. \(\tan \dfrac{4 \pi }{3}\)
    6. \(\cot \dfrac{7 \pi }{3}\)
    7. \(\sec \dfrac{11 \pi }{6}\)
    8. Як ви думаєте, радіани завжди будуть записані з точки зору\ pi? Чи можна мати, наприклад, рівно 2 радіана?

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 2.3.

    Лексика

    Термін Визначення
    радіан Радіан - це одиниця кута, яка дорівнює куту, створеному в центрі кола, дуга якого по довжині дорівнює радіусу.