Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.4.5: Склад обернених реципрокних тригових функцій

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    54787

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Застосування однієї з шести тригонометричних функцій або інверсів, а потім іншої.

    Складання функцій передбачає застосування однієї функції, а потім застосування іншої функції після цього. У випадку зворотних зворотних функцій можна створити композиції функцій, таких як\(\sec ^{-1}\)\(\csc^{-1}\), і\(\cot ^{-1}\).

    Розглянемо наступну проблему:

    \(\csc(\cot ^{-1}\sqrt{3})\)

    Чи можете ви вирішити цю проблему?

    Склад обернених реципрокних тригових функцій

    Так само, як ви можете застосувати одну функцію, а потім іншу, коли ви хочете, ви можете зробити те ж саме з зворотними триг-функціями. Цей процес називається складом.

    Тут ми розглянемо деякі приклади композиції цих зворотних триг-функцій, виконавши деякі завдання.

    1. Без калькулятора знайдіть\(\cos(\cot ^{-1}\sqrt{3})\).

    По-перше, знайдіть\(\cot ^{-1}\sqrt{3}\), який теж є\(\tan^{-1}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\). Це\(\dfrac{\pi}{6}\). Тепер знайдіть\(\cos \dfrac{\pi}{6}\), який є\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\). Отже, наша відповідь є\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

    2. Без калькулятора знайдіть\(\sec ^{-1}(csc\dfrac{\pi}{3})\).

    По-перше,\(\csc\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{ \sin\dfrac{\pi}{3}}=\dfrac{1}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\). Потім\(\sec ^{-1}\dfrac{2\sqrt{3}}{3}=\cos^{-1}\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\pi}{6}\).

    3. Оцінити\(\cos\left(\sin^{-1} \dfrac{3}{5}\right)\).

    Незважаючи на те, що ця проблема не є критичним значенням, її все одно можна зробити без калькулятора. Нагадаємо, що синус - протилежна сторона над гіпотенузою трикутника. Отже, 3 - протилежна сторона і 5 - гіпотенуза. Це Піфагорійська трійка, і, таким чином, сусідня сторона дорівнює 4. Щоб продовжити, нехай\(\theta =\sin^{-1} \dfrac{3}{5}\) або\(\sin \theta =\dfrac{3}{5}\), що означає\(\theta\) знаходиться в квадранті 1 (з нашого обмеженого домену він також не може бути в квадранті II). Підставляючи в\(\theta\) отримуємо\(\cos\left(\sin^{-1} \dfrac{3}{5}\right)=\cos \theta\) і\(\cos\theta =\dfrac{4}{5}\).

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Раніше вас просили вирішити\(\csc(\cot ^{-1}\sqrt{3})\).

    Рішення

    Перший крок у цій проблемі - запитати себе: «Який кут створив би котангенс\(\sqrt{2}\)?»

    Оскільки значення для "\(x\)" і "\(y\)" навколо одиничного кола - це всі дроби, а котангенс дорівнює xy, потрібно знайти пару рівнянь на одиничному колі, які при поділі один на одного дають\(\sqrt{2}\) як відповідь.

    Озираючись навколо кола одиниці, ви можете побачити, що\(\cot 30^{\circ} =\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{1}{2}}=\sqrt{3}\)

    Тому,\(\cot ^{-1} \sqrt{3}=30^{\circ}\)

    Потім можна застосувати наступну функцію:

    \(\csc 30^{\circ} =\dfrac{hypotenuse}{opposite}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}=2\)

    І так

    \(\csc\left(\cot ^{-1}\sqrt{3}\right)=2\)

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    Знайти точне значення\(\csc\left(\cos^{-1}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\) без калькулятора, над його обмеженими доменами.

    Рішення

    \(\csc\left(\cos^{-1}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\csc\dfrac{\pi}{6}=2\)

    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    Знайти точне значення\(\sec ^{-1}\left(\tan\left(\cot ^{-1}1\right)\right)\) без калькулятора, над його обмеженими доменами.

    Рішення

    \(\sec ^{-1}\left(\tan\left(\cot ^{-1}1\right)\right)=\sec ^{-1}\left(\tan\dfrac{\pi}{4}\right)=\sec ^{-1} 1=0\)

    Приклад\(\PageIndex{4}\)

    Знайти точне значення\(\tan^{-1}\left(\cos\dfrac{\pi}{2}\right)\) без калькулятора, над його обмеженими доменами.

    Рішення

    \(\tan^{-1}\left(\cos\dfrac{\pi}{2}\right)=\tan^{-1} 0=0\)

    Рецензія

    Не використовуючи технологію, знайдіть точне значення кожного з наступних. Використовуйте обмежений домен для кожної функції.

    1. \(\sin\left(\sec ^{-1}\sqrt{2} \right)\)
    2. \(\cos\left(\csc^{-1}1\right)\)
    3. \(\tan\left(\cot ^{-1}\sqrt{3}\right)\)
    4. \(\cos\left(\csc^{-1} 2\right)\)
    5. \(\cot\left(\cos^{-1} 1\right)\)
    6. \(\csc\left(\sin^{-1}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\)
    7. \(\sec ^{-1}\left(\cos\pi \right)\)
    8. \(\cot ^{-1}\left(\tan\dfrac{\pi}{4}\right)\)
    9. \(\sec ^{-1}\left(\csc\dfrac{\pi}{4}\right)\)
    10. \(\csc^{-1}\left(\sec\dfrac{\pi}{3}\right)\)
    11. \(\cos^{-1}\left(\cot−\dfrac{\pi}{4}\right)\)
    12. \(\tan\left(\cot ^{-1}0\right)\)
    13. \(\sin\left(\csc^{-1}\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right)\)
    14. \(\cot ^{-1}\left(\sin \dfrac{\pi}{2}\right)\)
    15. \(\cos\left(\sec ^{-1}\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right)\)

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 4.8.

    Лексика

    Термін Визначення
    обернена функція Зворотні функції - це функції, які «скасовують» один одного. Формально\(f(x)\) і\(g(x)\) є оберненими функціями if\(f(g(x))=g(f(x))=x\).
    Взаємна функція Реципрокна функція - це функція з батьківською функцією\(y=\dfrac{1}{x}\).