Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.4.6: Функції трига як вирази алгебри

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    54763

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Відносини між довжинами двох сторін трикутника.

    Тригонометрія з точки зору алгебри

    Ви няня свого маленького двоюрідного брата, виконуючи домашнє завдання. Під час роботи над функціями трига ваш двоюрідний брат запитує вас, що ви робите. Намагаючись пояснити синус, косинус і тангенс, ваш двоюрідний брат дуже заплутаний. Вона не розуміє, що ви маєте на увазі під цими словами, але дуже хоче зрозуміти, що означають функції. Чи можете ви визначити функції трига з точки зору відносин сторін для вашого маленького двоюрідного брата?

    Розв'язування тригонометричних функцій

    Всі тригонометричні функції можуть бути переписані тільки з точки зору\(x\), при використанні однієї з обернених тригонометричних функцій.

    Починаючи з дотичної, малюємо трикутник, де протилежна сторона (від\(\theta \)) визначається як\(x\) і сусідня сторона дорівнює 1. Гіпотенуза, з теореми Піфагора була б\(\sqrt{x^2+1}\). Підставивши\(\tan^{-1} x\) на\(\theta \), отримуємо:

    Ф-Д_926392Д8 СА384А 8Ф81ФБ931363Б7 СД 8 С9744 ЕФ 37CF15C5B5A33FA+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg
    Малюнок\(\PageIndex{1}\)

    \ (\ почати {вирівняний}
    \ тан\ тета &=\ dfrac {x} {1}\
    \ тан\ тета &= х\ квад\ текст {гіпотенуза} =\ sqrt {x^ {2} +1}\
    \ тета &=\ тан ^ {-1} x
    \ кінець {вирівняний}\)

    \ (\ почати {масив} {ll}
    \ sin\ лівий (\ тан ^ {-1} х\ праворуч) =\ sin\ theta=\ dfrac {x} {\ sqrt {x^ {2} +1}} &\ csc\ ліворуч (\ тан ^ {-1} х\ праворуч) =\ csc\ theta=\ dfrac {\ sqrt {x^ {2} +1} {x}\\ cos
    \ ліворуч (\ тан ^ {-1} х\ праворуч) =\ cos\ theta=\ dfrac {1} {\ sqrt {x^ {2} +1}} &\ сек\ ліворуч (\ тан ^ {-1} х\ праворуч) =\ сек\ тета =\ sqrt {x^ {2} +1}\
    \ тан\ лівий (\ тан ^ {-1} х\ праворуч) =\ тан\ тета = х &\ лівий (\ тан ^ {-1} х\ вправо) =\ cot\ theta=\ dfrac {1} {x}
    \ кінець {масив}\)

    Спрощення тригонометричних функцій

    1. Знайти\(\sin(\tan^{-1}3x)\).

    Замість використання\(x\) в зазначених вище співвідношеннях використовуйте\(3x\).

    \(\sin(\tan^{-1}3x)=\sin \theta =\dfrac{3x}{\sqrt{(3x)^2+1}}=\dfrac{3x}{\sqrt{9x^2+1}}\)

    2. Знайти\(\sec^2(\tan^{-1}x)\).

    Ця проблема може бути краще написана як\([\sec(\tan^{-1}x)]^2\). Тому все, що вам потрібно зробити, це квадрат співвідношення вище.

    \([\sec(\tan^{-1}x)]^2=(\sqrt{x^2+1})^2=x^2+1\)

    Ви також можете записати всі функції trig з точки зору арксинуса та арккосинуса. Однак для кожної оберненої функції існує свій трикутник. Ці формули ви виведете у вправі для цього розділу.

    3. Знайти\(\csc^3(\tan^{-1}4x)\).

    Ця проблема схожа на #1 та #2 вище. По-перше, використовуйте\(4x\) замість того, щоб\(x\) у співвідношеннях вище. По-друге,\(csc^3\) це те саме, що приймати функцію csc та кубінувати її.

    \([\csc(\tan^{-1}4x)]^3=\left(\dfrac{\sqrt{(4x)^2+1}}{4x}\right)^3=\dfrac{(16x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{64x^3}\)

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Раніше вас запитали, чи можна визначити функції трига з точки зору взаємозв'язку сторін.

    Рішення

    Як з'ясовується, пояснити триг-функції з точки зору співвідношень дуже просто. Якщо подивитися на одиницю кола

    F-D_DEE4Б5С80С9Ф526092 АД 82640С0А23А5 АФ 35Д6248372 ЕЕЕБ3А50ФДФЦ+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg
    Малюнок\(\PageIndex{2}\)

    ви можете бачити, що кожну функцію трига можна представити у вигляді співвідношення двох сторін. Значення будь-якої триг-функції можна представити у вигляді довжини однієї зі сторін трикутника (показаної з двома червоними сторонами і чорною гіпотенузою), поділеної на довжину однієї з інших сторін. Насправді, ви повинні пояснити своєму двоюрідному брату, такі слова, як «синус», «косинус» та «дотична», є лише зручностями в цьому випадку для опису відносин, які продовжують з'являтися знову і знову. Можна було б просто описати функції trig з точки зору відносин однієї сторони до іншої, якщо ви хочете.

    Використовуючи сторони трикутника, зробленого на одиничному колі, якщо сторона навпроти кута називається "\(x\)«:

    \ (\ почати {вирівняний}
    \ sin &=\ dfrac {\ текст {навпроти}} {\ текст {гіпотенуза}} =\ dfrac {x} {\ sqrt {x^ {2} +1}}\
    \ cos &=\ dfrac {\ текст {суміжний}} {\ текст {гіпотенуза}} =\ dfrac {1} {\ sqrt {x^ {2} +1}}\
    \ tan &=\ dfrac {\ текст {навпроти}} {\ текст {суміжний}} =\ dfrac {x} {1}
    \ end {вирівняний}\)

    Отже, як ви можете бачити, оскільки функції трига - це дійсно просто відносини між сторонами, з ними можна працювати в будь-якій формі, яку ви хочете; або з точки зору звичайного «синуса», «косинуса» і «дотичної», або з точки зору алгебри.

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    Експрес\(\cos^2(\tan^{−1} x)\) як алгебраїчний вираз, що не містить тригонометричних функцій.

    Рішення

    \(\dfrac{1}{x^2+1}\)

    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    Експрес\(\cot(\tan^{−1}x^2)\) як алгебраїчний вираз, що не містить тригонометричних функцій.

    Рішення

    \(\dfrac{1}{x^2}\)

    Приклад\(\PageIndex{4}\)

    Щоб знайти тригонометричні функції в терміні зворотного синуса, використовуйте наступний трикутник.

    Ф-Д_А938431110Д121Б359 ДБД75551ФК5Б38Б979ФББК 10Д19Ф8БФ8АД 65+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg
    Малюнок\(\PageIndex{3}\)

    Рішення

    Визначте синус, косинус і тангенс в терміні дуги. Знайти\(\tan(\sin^{−1}2x^3)\).

    Сусідня сторона до\(\theta \) є\(\sqrt{1−x^2}\), тому три функції трига:

    \ (\ почати {вирівняний}
    \ sin\ лівий (\ sin ^ {-1} х\ праворуч) &=\ sin\ theta = х\
    \\ cos\ ліворуч (\ sin ^ {-1} х\ вправо) &=\ cos\ theta=\ sqrt {1-x^ {2}}
    \\ tan\ ліворуч (\ sin ^ {-1} х\ справа) &=\ tan\ theta=\ frac {x} {\ sqrt {1-x^ {2}}}\
    \ tan\ лівий (\ sin ^ {-1}\ лівий (2 x^ {3}\ праворуч )\ праворуч) &=\ dfrac {2 x^ {3}} {\ sqrt {1-\ ліворуч (2 x^ {3}\ праворуч) ^ {2}}} =\ dfrac {2 x^ {3}} {\ sqrt {1-4 x^ {6}}}
    \ кінець {вирівняний}\)

    Рецензія

    Перепишіть кожен вираз як алгебраїчний вираз, що не містить тригонометричних функцій.

    1. \(\sin(\tan^{-1}5x)\)
    2. \(\cos(\tan^{-1}2x^2)\)
    3. \(\cot(\tan^{-1}3x^2)\)
    4. \(\sin(\cos^{-1}x)\)
    5. \(\sin(\cos^{-1}3x)\)
    6. \(\cos(\sin^{-1}2x^2)\)
    7. \(\csc(\cos^{-1}x)\)
    8. \(\sec(\sin^{-1}x)\)
    9. \(\cos2(\tan^{-1}3x^2)\)
    10. \(\sin(\sec^{-1}x)\)
    11. \(\cos(\csc−1x)\)
    12. \(\sin(\tan^{-1}2x^3)\)
    13. \(\cos(\sin^{-1}3x)\)
    14. \(\sin(\sec^{-1}x)\)
    15. \(\cos(\cot^{-1}x)\)

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 4.9.

    Лексика

    Термін Визначення
    Тригонометрична функція Тригонометрична функція - це функція кута, яка описує зв'язок між двома сторонами прямокутного трикутника. Прикладами тригонометричних функцій є синус, косинус і тангенс.
    Тригонометричні функції Тригонометрична функція - це функція кута, яка описує зв'язок між двома сторонами прямокутного трикутника. Прикладами тригонометричних функцій є синус, косинус і тангенс.