2.4.4: Визначення обернених взаємних тригових функцій

Зворотні сікансні, косекансні та котангенсні функції.

Поки що вам довелося мати справу з триговими функціями, зворотними функціями та зворотними функціями. Тепер ви почнете бачити зворотні функції. Наприклад, чи можна обчислити

\(\sec^{−1} \dfrac{2}{\sqrt{3}}\)

Як з'ясовується, це можна легко обчислити.

Обернені взаємні тригонометричні функції

Ми вже знаємо, що функція косеканс - це зворотна синусоїдальної функції. Це буде використано для отримання зворотної функції зворотного синуса.

\(\begin{aligned} y&=\sin^{−1} x\\ x&=\sin y \\ \dfrac{1}{x}&=\csc y \\ \csc ^{−1} \dfrac{1}{x}&= y\\ \csc ^{−1} \dfrac{1}{x}&= \sin^{−1} x \end{aligned}\)

Тому що косеканс і секанс є зворотними,\(\sin^{−1}\dfrac{1}{x}=\csc ^{−1} x\) це також вірно.

Зворотна ідентичність для косинуса та секанса може бути доведена за допомогою того ж процесу, що і вище. Однак пам'ятайте, що ці обернені функції визначаються за допомогою обмежених доменів, і взаємні ці зворотні дії повинні бути визначені інтервалами області та діапазону, на яких визначення дійсні.

\(\sec^{−1}\dfrac{1}{x}=\cos ^{−1}x \leftrightarrow \cos ^{−1}\dfrac{1}{x}=\sec^{−1} x\)

Тангенс і котангенс мають дещо іншу залежність. Нагадаємо, що графік котангенса відрізняється від тангенса відображенням над віссю y та зсувом\(\dfrac{\pi}{2}\). Як рівняння це можна записати як\(\cot x=−\tan\left(x−\dfrac{\pi}{2}\right)\). Прийняття оберненої цієї функції покаже зворотну залежність між арккотангенсом і арктангенсом.

\ (\ почати {
вирівняний} у &=\ sin ^ {-1}
х\ x &=\ sin у
\\\ розриву {1} {x} &=\ csc y
\\ csc ^ {-1}\ frac {1} {x} &= y
\\\ csc ^ {-1}\ розрив {1} {x} &=
\ sin ^ {-1}}\)

Пам'ятайте, що тангенс - це непарна функція, так що\(\tan(−x)=-\tan(x)\). Оскільки тангенс непарний, його зворотний також непарний. Отже, це говорить нам про те, що\(\cot^{−1} x=\dfrac{\pi}{2}−\tan^{−1}x\) і\(\tan^{−1}x=\dfrac{\pi}{2}−\cot^{−1}x\). Для графування арксеканса, арккосеканса та арккотангенса у вашому калькуляторі ви скористаєтесь такими тотожностями перетворення:\(\sec^{−1}x=\cos ^{−1} \dfrac{1}{x}\),\(\csc ^{−1} x=\sin^{−1}\dfrac{1}{x}\),\(\cot^{−1} x=\dfrac{\pi}{2}−\tan^{−1} x\). Примітка: Це також правда, що\(\cot^{−1}x=\tan^{−1}\dfrac{1}{x}\).

Пошук зворотного

Знайти зворотне\(\sec^{−1}\sqrt{2}\)

Використовуйте зворотну зворотну властивість. \(\sec^{−1}x=\cos ^{−1}\dfrac{1}{x}\rightarrow \sec^{−1} \sqrt{2}=\cos ^{−1}\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

Нагадаємо, що\(\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\). Отже\(\sec^{−1}\sqrt{2}=\cos ^{−1}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), і ми це знаємо\(\cos ^{−1}\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\pi}{4}\). Тому,\(\sec^{−1}\sqrt{2}=\dfrac{\pi}{4}\).

Знаходження точного значення

Для кожної з цих задач спочатку знайдіть зворотний, а потім визначте кут від цього (без калькулятора).

1. \(\sec^{−1}\sqrt{2}\)

\(\sec^{−1}\sqrt{2}=\cos ^{−1}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)З одиничного кола ми знаємо, що відповідь є\(\dfrac{\pi}{4}\).

2. \(\cot^{−1}(−\sqrt{3})\)

\(\cot^{−1}(−\sqrt{3})=\dfrac{\pi}{2}−\tan^{−1}(−\sqrt{3})\)З одиничного кола відповідь є\(\dfrac{5\pi}{6}\).

3. \(\csc ^{−1}\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\)

\(\csc ^{−1}\dfrac{2}{\sqrt{3}}3=\sin^{−1}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)У нашому інтервалі є одна відповідь,\(\dfrac{\pi}{3}\).

Використання технологій

Переконайтеся, що режим вашого калькулятора є RAD (радіани)

1. \(\arcsin 0.6384\)

Малюнок\(\PageIndex{1}\)

2. \(\arccos (−0.8126)\)

Малюнок\(\PageIndex{2}\)

3. \(\arctan (−1.9249)\)

Малюнок\(\PageIndex{3}\)

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Раніше вас попросили оцінити\(\sec^{−1} \dfrac{2}{\sqrt{3}}\)

Рішення

Почати можна з зворотного зворотного властивості:

\(\sec^{−1}x=\cos ^{−1} \dfrac{1}{x}\)

Підстановка в значеннях для «x\)» дає:

\(\sec^{−1}\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\cos ^{−1}\dfrac{1}{\dfrac{2}{\sqrt{3}}}\)

Це можна переписати як:

\(\cos ^{−1}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

І

\(\cos ^{−1} \dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\pi}{6}\)

Тому,

\(\sec^{−1} \dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{\pi}{6}\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Оцінити\(\sec^{−1}(−2)\)

Рішення

\(\dfrac{2 \pi}{3}\)

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Оцінити\(\cot^{−1}(−1)\)

Рішення

\(−\dfrac{\pi}{4}\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Оцінити\(\csc ^{−1}(\sqrt{2})\)

Рішення

\(\dfrac{\pi}{4}\)

Рецензія

Використовуючи технологію, знайдіть значення в радіановій мірі, кожного з наступних.

1. \(\sin^{−1}(.345)\)
2. \(\cos ^{−1}(.87)\)
3. \(\csc ^{−1}(4)\)
4. \(\sec^{−1}(2.32)\)
5. \(\cot^{−1}(5.2)\)

Знайдіть точне значення кожного виразу в межах обмеженого домену без калькулятора.

6. \(\sec^{−1}(\dfrac{2\sqrt{3}}{3})\)
7. \(\csc ^{−1}(1)\)
8. \(\cot^{−1}(\sqrt{3})\)
9. \(\csc ^{−1}(2)\)
10. \(\sec^{−1}(\sqrt{2})\)
11. \(\cot^{−1}(1)\)
12. \(\cos ^{−1}\left(\dfrac{1}{2}\right)\)
13. \(\sec^{−1}(2)\)
14. \(\cot^{−1}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)\)
15. \(\sin^{−1}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\)

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 4.7.

Лексика

Термін	Визначення
обернена функція	Зворотні функції - це функції, які «скасовують» один одного. Формально\(f(x)\) і\(g(x)\) є оберненими функціями if\(f(g(x))=g(f(x))=x\).
Взаємна функція	Реципрокна функція - це функція з батьківською функцією\(y=\dfrac{1}{x}\).

Додаткові ресурси

Відео: Взаємні функції трига

Практика: Визначення обернених взаємних тригових функцій