1.6: Формула відстані та теорема Піфагора

Last updated
Save as PDF

Page ID: 54784

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Відкрийте довжини сторін трикутника за допомогою теореми Піфагора. Визначте відстань як гіпотенузу прямокутного трикутника. Визначте відстань між впорядкованими парами.

Теорема Піфагора для визначення відстані

Під час прогулянки до школи одного дня ви вирішите використовувати свої знання теореми Піфагора, щоб визначити, наскільки вона знаходиться між вашим будинком і школою. Ви знаєте, що ви ходите 3 квартали на схід, а потім поверніть і пройдіть 7 кварталів на північ, щоб дістатися до школи. Чи можна використовувати теорему Піфагора, щоб допомогти вам визначити «пряму» відстань між вашим будинком і школою?

Визначення відстані за допомогою теореми Піфагора

Ви можете використовувати теорему Піфагора, щоб знайти відстань між двома точками.

Розглянемо точки (-1, 6) і (5, -3). Якщо ми розмістимо ці точки на сітці і з'єднаємо їх, вони роблять діагональну лінію. Намалюйте вертикальну лінію вниз від (-1, 6) і горизонтальну лінію зліва від (5, -3), щоб вийшов прямокутний трикутник.

Ф-Д_27Б75Д2Е6320БКА086А01574 Ф63804Д58838 АБ58356А000736C4967+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg — Малюнок\(\PageIndex{1}\)

Тепер ми можемо знайти відстань між цими двома точками, використовуючи вертикальні та горизонтальні відстані, які ми визначили на графіку.

\(\begin{aligned} 9^2+(−6)^2 &=d^2 \\ 81+36 &=d^2 \\ 117 &=d^2\\ \sqrt{117}&=d \\ 3\sqrt{13}&=d\end{aligned}\)

Зверніть увагу, що значення x віднімали один від одного, щоб знайти відстань по горизонталі, а значення y віднімали один від одного, щоб знайти відстань по вертикалі. Якщо цей процес узагальнено для двох точок (x_1, y_1) та (x_2, y_2), виводиться формула відстані.

\((x_1−x_2)^2+(y_1−y_2)^2=d^2\)

Ф-Д_Ф2Д78Б8530Б63688Б30А4А 57783734А937Ф9872Д4473ДБ 8БДД9557+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg — Малюнок\(\PageIndex{2}\)

Це теорема Піфагора з вертикальними і горизонтальними відмінностями між (x_1, y_1) і (x_2, y_2). Взявши квадратний корінь з обох сторін вирішить праву сторону для d, відстань.

\(\sqrt{(x_1−x_2)^2+(y_1−y_2)^2}=d\)

Це формула відстані. Наступні проблеми показують, як застосувати формулу відстані.

Застосування формули відстані

1. Знайдіть відстань між двома точками.

(4, 2) і (-9, 5)

Підключіть кожну пару точок до формули відстані.

\(\begin{aligned} d&=\sqrt{(4−(−9))^2+(2−5)^2} \\ &=\sqrt{13^2+(−3)^2} \\ &=\sqrt{169+9} \\ &=\sqrt{178}\end{aligned}\)

2. Знайдіть відстань між двома точками.

(-10, 3) і (0, -15)

Підключіть кожну пару точок до формули відстані.

\(\begin{aligned} d&=\sqrt{(−10−0)^2+(3−(−15))^2}\\ &=\sqrt{(−10)^2+(18)^2}\\ &=\sqrt{100+324} \\ &=\sqrt{424} \\ &=2\sqrt{106}\end{aligned}\)

3. Знайдіть відстань між двома точками.

(3, 1) і (2, -7)

Підключіть кожну пару точок до формули відстані.

\(\begin{aligned} d&=\sqrt{(3−2)^2+(1−(−7))^2}\\ &=\sqrt{(1)^2+(8)^2}\\ &=\sqrt{1+64}\\ &=\sqrt{65}\end{aligned}\)

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Раніше вас попросили використовувати свої знання теореми Піфагора, щоб визначити, наскільки вона знаходиться між вашим будинком і школою.

Рішення

Оскільки ви знаєте, що поїздка до школи передбачає ходьбу 3 кварталами на схід, а потім 7 блоків на північ, ви можете побудувати трикутник на системі координат з цих довжин, як це:

Ф-Д_773Д515ББ8А2Б4А7211ДД5ФД4Д678ДД5Е62Б207Е307640712E3+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg — Малюнок\(\PageIndex{3}\)

Оскільки ви пішли трьома кварталами на схід, школа має координату «х» 3. Так само, оскільки ви пішли 7 кварталів на північ, школа має координату «y» 7. Щоб знайти пряму відстань до школи, можна скористатися формулою відстані:

\(\begin{aligned} d&=(3−0)^2+(7−0)^2\\ &=\sqrt{(3)^2+(7)^2} \\ &=\sqrt{58}\end{aligned}\)

Це пряма відстань приблизно 7,6 блоків.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Знайдіть відстань між двома точками.

(3, 1) і (2, -7)

Рішення

Підключіть кожну пару точок до формули відстані.

\(\begin{aligned} d&=\sqrt{(3−2)^2+(1−(−7))^2}\\ &=\sqrt{(1)^2+(8)^2} \\ &=\sqrt{1+64}\\ &=\sqrt{65}\end{aligned}\)

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Знайдіть відстань між двома точками.

(5, -8) і (0, 3)

Рішення

Підключіть кожну пару точок до формули відстані.

\(\begin{aligned} d&=\sqrt{(5−0)^2+(−8−(3))^2} \\ &=(5)^2+(−11)^2 \\ &=\sqrt{25+121}\\ &=\sqrt{146}\end{aligned}\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Знайдіть відстань між двома точками.

(2, 6) і (2, 9)

Рішення

Підключіть кожну пару точок до формули відстані.

\(\begin{aligned} d&=\sqrt{(2−2)^2+(6−9)^2} \\ &=\sqrt{(0)^2+(−3)^2} \\ &=\sqrt{9}=3\end{aligned}\)

Рецензія

Знайдіть відстань між кожною парою точок. Округляйте кожну відповідь до найближчої десятої.

(2, 4) і (5, 10)
(1, 5) і (8, 9)
(-2, 3) і (6, 4)
(5, 7) і (5, 10)
(8, 12) і (15, 12)
(1, -4) і (25, -2)
(5, -6) і (3, 7)
(12, -9) і (-1, 5)
(-3, 14) і (8, 10)
(-11, 3) і (-5, 1)
(5, 2) і (11, 13)
(8, 10) і (9, -6)

Знайдіть периметр кожного трикутника. Округляйте кожну відповідь до найближчої десятої.

\(A(3,−5),B(−5,−8),C(−2,7)\)
\(A(5,3),B(2,−7),C(−1,5)\)
\(A(1,2),B(1,5),C(4,5)\)

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 1.4.

Лексика

Термін	Визначення
Формула відстані	Відстань між двома точками\((x_1,y_1)\) і\((x_2,y_2)\) може бути визначено як\(d=\sqrt{(x_2−x_1)^2+(y_2−y_1)^2}\).