Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1.11:1.11 Функціональний склад

  • Page ID
    54498
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Функції можна додавати, віднімати, множити та ділити, створюючи нові функції та графіки, які є складними комбінаціями різних оригінальних функцій. Одним із важливих способів перетворення функцій є композиція функцій. Композиція функцій дозволяє вибудовувати дві або більше функцій, які діють на вхід в тандемі.

    Чи є склад функцій по суті такий же, як множення двох функцій разом?

    склад функцій

    Поширеним способом опису функцій є відображення з доменного простору в простір діапазону:

    clipboard_eeea1b5dab29fc88faac5f3c17ad2f58b.png

    Композиція функцій означає, що у вас є дві або більше функцій і діапазон першої функції стає доменом другої функції. clipboard_e3f370f444c9f44f3e2f3c0593ef34100.png

    Існує два позначення, що використовуються для опису композиції функцій. У кожному випадку порядок функцій має значення, оскільки арифметично результати будуть різними. Квадратування числа, а потім подвоєння результату буде відрізнятися від подвоєння числа, а потім квадратного результату. На схемі вище,\(f(x)\) відбувається першим і\(g(x)\) відбувається другим. Це можна записати як:

    \(g(f(x))\)або\((g \circ f)(x)\)

    Ви повинні прочитати це "\(g\)\(f\)з»\(x\). В обох випадках зверніть увагу,\(f\) що він ближче до
    \(x\) і оперує\(x\) значеннями першим.

    Приклади

    Приклад 1

    Раніше вас запитали, чи є склад функцій таким же, як множення двох функцій разом. Функціональний склад не такий, як множення двох функцій разом. При функціональному складі є зовнішня функція і внутрішня функція. Припустимо, дві функції були подвоєння і квадрат. Це зрозуміло, просто дивлячись на приклад введення числа 5 що 50 (квадрат потім подвоєння) відрізняється від 100 (подвоєння потім квадрат). І 50, і 100 є прикладами композиції функцій, тоді як 250 (п'ять подвоєних помножених на п'ять квадратів) є прикладом добутку двох окремих функцій, що відбуваються одночасно.

    Для наступних двох прикладів скористайтеся функціями нижче:

    \(f(x)=x^{2}-1\)
    \(h(x)=\frac{x-1}{x+5}\)
    \(g(x)=3 e^{x}-x\)
    \(j(x)=\sqrt{x+1}\)

    Приклад 2

    Показати\(f(h(x)) \neq h(f(x))\)

    \(f(h(x))=f\left(\frac{x-1}{x+5}\right)=\left(\frac{x-1}{x+5}\right)^{2}-1\)

    \(h(f(x))=h\left(x^{2}-1\right)=\frac{\left(x^{2}-1\right)-1}{\left(x^{2}-1\right)+5}=\frac{x^{2}-2}{x^{2}+4}\)

    Для того, щоб по-справжньому показати, що вони не рівні, найкраще знайти конкретний лічильник приклад числа, де вони відрізняються. Іноді алгебраїчні вирази можуть виглядати по-різному, але насправді однакові. Ви повинні помітити,\(f(h(x))\) що не визначено, коли\(x=-5\) тому що тоді в знаменнику буде нуль. \(h(f(x))\)з іншого боку визначається в\(x=-5 .\) оскільки дві функціональні композиції відрізняються, можна зробити висновок:

    \(f(h(x)) \neq h(f(x))\)

    Приклад 3

    Що таке\(f(j(h(g(x)))) ?\)

    Ці функції вкладені в аргументи інших функцій. Іноді функції значно спрощують при складанні разом, як\(f\) і\(j\) роблять в цьому випадку. Має сенс спочатку оцінити ці дві функції разом і тримати їх на зовнішній стороні аргументу.

    \(f(x)=x^{2}-1 ; h(x)=\frac{x-1}{x+5} ; g(x)=3 e^{x}-x ; j(x)=\sqrt{x+1}\)

    \(f(j(y))=f(\sqrt{y+1})=(\sqrt{y+1})^{2}-1=y+1-1=y\)

    Зверніть увагу, як склад\(f\) і\(j\) виробляється тільки сам аргумент?

    Таким чином,

    \(\begin{aligned} f(j(h(g(x))))=h(g(x)) &=h\left(3 e^{x}-x\right) \\ &=\frac{\left(3 e^{x}-x\right)-1}{\left(3 e^{x}-x\right)+5} \\ &=\frac{3 e^{x}-x-1}{3 e^{x}-x+5} \end{aligned}\)

    Для наступних двох прикладів скористайтеся графіками, показаними нижче:

    \(f(x)=|x|\)

    clipboard_e1e0b4269ee591bb62a1f49aabc4e9417.png

    \(g(x)=e^{x}\)

    clipboard_e042f78f45df0e456c18ecc22dd409b01.png

    \(h(x)=-x\)

    clipboard_e9d95ab185347f9ef9c51782a002138d2.png

    Приклад 4

    Складіть\(g(f(x))\) і графуйте результат. Опишіть трансформацію.

    \(g(f(x))=g(|x|)=e^{|x|}\)

    clipboard_e4724e21be400183e5f13c450001f0111.png

    Позитивна частина експоненціального графіка була віддзеркалена над\(y\) віссю, а негативна частина експоненціального графіка була повністю обрізана.

    Приклад 5

    Складіть\(h(g(x))\) і графуйте результат. Опишіть трансформацію.

    \(h(g(x))=h\left(e^{x}\right)=-e^{x}\)

    clipboard_edcbf0d5b9508bfbbee10c39ef7d14491.png

    Експоненціальний графік був відображений над\(x\) -віссю.

    Рецензія

    Для питань 1-9 використовуйте наступні три функції:\(f(x)=|x|, h(x)=-x, g(x)=(x-2)^{2}-3\)

    1. Графік\(f(x), h(x)\) і\(g(x)\).

    2. Знайти\(f(g(x))\) алгебраїчно.

    3. Графік\(f(g(x))\) і опишіть перетворення.

    4. Знайти\(g(f(x))\) алгебраїчно.

    5. Графік\(g(f(x))\) і опишіть перетворення.

    6. Знайти\(h(g(x))\) алгебраїчно.

    7. Графік\(h(g(x))\) і опишіть перетворення.

    8. Знайти\(g(h(x))\) алгебраїчно.

    9. Графік\(g(h(x))\) і опишіть перетворення.

    Для 10-16 використовуйте наступні три функції:\(j(x)=x^{2}, k(x)=|x|, m(x)=\sqrt{x}\)

    10. Графік\(j(x), k(x)\) і\(m(x)\).

    11. Знайти\(j(k(x))\) алгебраїчно.

    12. Графік\(j(k(x))\) і опишіть перетворення.

    13. Знайти\(k(m(x))\) алгебраїчно.

    14. Графік\(k(m(x))\) і опишіть перетворення.

    15. Знайти\(m(k(x))\) алгебраїчно.

    16. Графік\(m(k(x))\) і опишіть перетворення.