1.6:1.6 Симетрія

Деякі функції, такі як функція синуса, функція абсолютного значення та функція квадратури, мають симетрію відображення по всій лінії$x=0$. Інші функції, такі як функція кубінгу та зворотна функція, мають обертальну симетрію щодо походження.

Чому перша група класифікується як парні функції, тоді як друга група класифікується як непарні функції?

Парні та непарні функції

парні функції

Функції, симетричні по всій лінії$x=0$ ($y$осі), називаються парними. Навіть функції мають властивість, що коли замінюється від'ємне значення$x$, воно виробляє те саме значення, що і коли додатне значення підставляється на$x$. Іншими словами, рівняння відповідає$f(-x)=f(x)$ дійсності для парних функцій.

Щоб показати, що функція$f(x)=3 x^{4}-5 x^{2}+1$ рівна, покажіть, що$f(-x)=f(x)$.

$\begin{aligned} f(-x) &=3(-x)^{4}-5(-x)^{2}+1 \\ &=3 x^{4}-5 x^{2}+1 \\ &=f(x) \end{aligned}$

Властивість того, що як позитивні, так і негативні числа, підняті до парної сили, завжди позитивні, є причиною того, чому термін навіть використовується. При цьому не важливо, що коефіцієнти парні або непарні, тільки показники.

Непарні функції

Функції, які мають обертальну симетрію щодо походження, називаються непарними функціями. Непарні функції мають властивість, що коли в функцію підставляється від'ємне$x$ значення, вона видає негативну версію функції, оціненої за додатним значенням. Іншими словами, рівняння відповідає$f(-x)=-f(x)$ дійсності для непарних функцій.

Ця властивість стає все більш важливою у проблемах та доказах обчислення та за її межами, але наразі достатньо визначити функції, які є парними, непарними чи ні, і показати, чому.

Щоб показати, що$f(x)=4 x^{3}-x$ це дивно, покажіть, що$f(-x)=-f(x)$.

$\begin{aligned} f(-x) &=4(-x)^{3}-x \\ &=-4 x^{3}+x \\ &=-\left(4 x^{3}+x\right) \\ &=-f(x) \end{aligned}$

Так само, як іменовані парні функції, непарні функції називаються, оскільки негативні ознаки не зникають і завжди можуть бути враховані з непарних функцій.

Парні та непарні функції описують різні типи симетрії, але обидві вони отримують свою назву від властивостей показників. Негативне число, підняте до парного числа, завжди буде позитивним. Від'ємне число, підняте до непарного числа, завжди буде від'ємним.

Приклади

Приклад 1

Які з основних функцій парні, які непарні, а які ні ні?

Парні функції: Функція квадрата та функція абсолютного значення.

Непарні функції: функція ідентичності, функція кубінгу, зворотна функція, функція синуса.

Ні: функція квадратного кореня, експоненціальна функція та функція журналу. Логістична функція також не є ні тому, що вона обертально симетрична щодо точки на$\left(0, \frac{1}{2}\right)$ відміну від походження.

Приклад 2

Припустимо,$h(x)$ є парною функцією і$g(x)$ є непарною функцією. $f(x)=h(x)+g(x) .$Парний$f(x)$ чи непарний? Якщо$h(x)$ навіть тоді$h(-x)=h(x)$. Якщо$g(x)$ непарно, то$g(-x)=-g(x)$

Тому:$f(-x)=h(-x)+g(-x)=h(x)-g(x)$

Це не відповідає і$f(x)=h(x)+g(x)$ не відповідає$-f(x)=-h(x)-g(x)$

Це доказ, який показує суму парної функції, а непарна функція ніколи сама не буде парною або непарною.

Приклад 3

Визначте, чи є наступна функція парною, непарною чи ні.

$f(x)=x\left(x^{2}-1\right)\left(x^{4}+1\right)$

Визначте, чи функція парна, непарна чи ні, і поясніть, чому.

$\begin{aligned} f(x) &=x\left(x^{2}-1\right)\left(x^{4}+1\right) \\ f(-x) &=(-x)\left((-x)^{2}-1\right)\left((-x)^{4}+1\right) \\ &=-x\left(x^{2}-1\right)\left(x^{4}+1\right) \\ &=-f(x) \end{aligned}$

Функція непарна, тому що$f(-x)=-f(x)$ тримає true.

$f(x)=4 x^{3}-|x|$]

$\begin{aligned} f(-x) &=4(-x)^{3}-x \\ &=-4 x^{3}-x \end{aligned}$

Це, здається, не відповідає$f(x)=4 x^{3}-|x|$ або$-f(x)=-4 x^{3}+|x| .$ Тому ця функція не є ні парною, ні непарною.

Примітка: Ця функція є різницею непарної функції і парної функції. Це повинно бути підказкою, що результуюча функція не є ні парною, ні непарною.

Рецензія

Визначте, чи є наступні функції парними, непарними чи ні.

1. $f(x)=-4 x^{2}+1$
2. $g(x)=5 x^{3}-3 x$
3. $h(x)=2 x^{2}-x$
4. $j(x)=(x-4)(x-3)^{3}$
5. $k(x)=x\left(x^{2}-1\right)^{2}$
6. $f(x)=2 x^{3}-5 x^{2}-2 x+1$
7. $g(x)=2 x^{2}-4 x+2$
8. $h(x)=-5 x^{4}+x^{2}+2$

9. $h(x)$Припустимо,$g(x)$ парне і непарне. Покажіть, що
не$f(x)=h(x)-g(x)$ є ні парним, ні непарним.
10. $h(x)$Припустимо,$g(x)$ парне і непарне. Покажіть, що$f(x)=\frac{h(x)}{g(x)}$ це непарно.
11. $h(x)$Припустимо,$g(x)$ парне і непарне. Покажіть, що$f(x)=h(x) \cdot g(x)$ це непарно.

12. Чи завжди сума двох парних функцій є парною функцією? Поясніть.

13. Чи завжди сума двох непарних функцій є непарною функцією? Поясніть.

14. Чому деякі функції ні парні, ні непарні?

15. Якщо ви знаєте, що функція парна або непарна, що це говорить вам про симетрію функції?