9.22: Площа поверхні та об'єм конусів

Шишки

Конус являє собою тверду речовину з круглою основою і сторонами, які звужуються до вершини. Конус утворюється з обертання прямокутного трикутника, навколо однієї ноги. Конус має похилу висоту.

Площа поверхні

Площа поверхні - це двовимірне вимірювання, яке є загальною площею всіх поверхонь, які зв'язали тверде тіло. Основною одиницею площі є квадратна одиниця. Для площі поверхні конуса нам знадобиться сума площі підстави і площі сторін.

Площа поверхні правого конуса:$SA= \pi r^{2}+ \pi rl$.

Площа підстави:$\pi r^{2}$

Площа сторін:$\pi rl$

Обсяг

Щоб знайти обсяг будь-якого твердого тіла, ви повинні з'ясувати, скільки місця воно займає. Основною одиницею об'єму є кубічна одиниця.

Об'єм конуса:$V=\dfrac{1}{3} \pi r^{2} h$.

Що робити, якщо вам дали тривимірну тверду фігуру з круговою основою та сторонами, які звужуються до вершини? Як ви могли визначити, скільки двовимірного та тривимірного простору займає ця фігура?

Приклад$\PageIndex{1}$

Площа поверхні конуса становить,$36 \pi$ а радіус - 4 одиниці. Що таке похила висота?

Рішення

Підключіть те, що ви знаєте, до формули площі поверхні конуса і вирішіть для$l$.

$\begin{aligned} 36 \pi&= \pi 4^{2}+ \pi 4l \\ 36&=16+4l \qquad \text{ When each term has a } \pi \text{, they cancel out.} \\ 20&=4l \\ 5&=l\end{aligned}$

Приклад$\PageIndex{2}$

Обсяг конуса дорівнює,$484 \pi \text{ cm}^{3}$ а висота - 12 см. Що таке радіус?

Рішення

Підключіть те, що ви знаєте, до формули гучності.

$\begin{aligned} 484 \pi&=\dfrac{1}{3} \pi r^{2}(12) \\ 121&=r^{2} \\ 11 \text{ cm}&=r\end{aligned}$

Приклад$\PageIndex{3}$

Яка площа поверхні конуса?

Рішення

Для початку нам потрібно знайти висоту нахилу. Використовуйте теорему Піфагора.

$\begin{aligned} l^{2}&=9^{2}+21^{2} \\ &=81+441 \\ l&=\sqrt{522}\cong 22.85\end{aligned]$

Загальна площа поверхні, значить, дорівнює$SA= \pi 9^{2}+ \pi(9)(22.85)\cong 900.54 \text{ units}^{2}$.

Приклад$\PageIndex{4}$

Знайдіть обсяг конуса.

Рішення

По-перше, нам потрібна висота. Використовуйте теорему Піфагора.

$\begin{aligned} 5^{2}+h^{2}&=15^{2} \\ h&=\sqrt{200}=10\sqrt{2} \\ V&=13(5^{2})(10\sqrt{2}) \pi \cong 370.24 \text{ units}^{3}\end{aligned}$

Приклад$\PageIndex{5}$

Знайдіть обсяг конуса.

Рішення

Ми можемо використовувати ту ж формулу обсягу. Знайдіть радіус.

$V=\dfrac{1}{3} \pi(3^{2})(6)=18 \pi \cong 56.55 \text{ units}^{3}$

Рецензія

Використовуйте конус для заповнення заготовок.

1. v є ___________.
2. Висота конуса - ______.
3. х є __________ і це ___________ конуса.
4. w є _____________ ____________.

Намалюйте наступний суцільний і дайте відповідь на питання. Ваш малюнок повинен бути в масштабі, але не один-на-один. Залиште свою відповідь в найпростішій радикальній формі.

5. Намалюйте правильний конус радіусом 5 см і висотою 15 см. Що таке похила висота?

Знайдіть висоту нахилу однієї бічної грані в конусі.$l$ Округлите свою відповідь до найближчої сотої.

Знайдіть площу поверхні і обсяг правильних конусів. Округляйте відповіді до 2 знаків після коми.

7. 

8. 

9. Якщо площа бічної поверхні конуса дорівнює,$30 \pi \text{ cm}^{2}$ а радіус 5 см, яка висота нахилу?
10. Якщо площа поверхні конуса дорівнює,$105 \pi \text{ cm}^{2}$ а висота нахилу становить 8 см, який радіус?
11. Якщо обсяг конуса дорівнює$30 \pi \text{ cm}^{3}$ і радіус 5 см, яка висота?
12. Якщо обсяг конуса дорівнює$105 \pi \text{ cm}^{3}$ і висота 35 см, який радіус?

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 11.6.

Лексика

Додаткові ресурси

Відео: Площа поверхні конуса - огляд

Види діяльності: Конуси Питання обговорення

Навчальні посібники: Піраміди та конуси

Практика: Площа поверхні та об'єм конусів