9.18: Площа поверхні та об'єм циліндрів

Циліндри

Циліндр - це тверда речовина з конгруентними круговими основами, які знаходяться в паралельних площинам. Простір між колами укладається.

Циліндр має радіус і висоту .

Циліндр також може бути косим (похилим), як і нижче.

Площа поверхні

Площа поверхні - це сума площі граней твердого тіла. Основною одиницею площі є квадратна одиниця.

Площа поверхні правого циліндра:\(SA=2 \pi r^{2}+2 \pi r h\).

\(\underbrace{2 \pi r^{2}}_\text{area of both circles}+ \underbrace{2 \pi r h}_\text{length of rectangle}\)

Обсяг

Щоб знайти обсяг будь-якого твердого тіла, ви повинні з'ясувати, скільки місця воно займає. Основною одиницею об'єму є кубічна одиниця. Для циліндрів обсяг - це площа круглої основи, що помножена на висоту.

Обсяг циліндра:\(V= \pi r^{2}h\)

Якщо косий циліндр має таку ж площу підстави і висоту, що і інший циліндр, то він буде мати такий же обсяг. Це пов'язано з принципом Кавальєрі, який стверджує, що якщо два твердих тіла мають однакову висоту і однакову площу поперечного перерізу на кожному рівні, то вони матимуть однаковий обсяг.

Що робити, якщо вам дали суцільну тривимірну фігуру з конгруентними укладеними круговими основами, які знаходяться в паралельних площинам? Як ви могли визначити, скільки двовимірного та тривимірного простору займає ця фігура?

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Якщо об'єм циліндра дорівнює,\(484 \pi in^{3}\) а висота дорівнює 4 дюйма, який радіус?

Рішення

Вирішити для\(r\).

\(\begin{aligned} 484 \pi&= \pi r^{2}(4) \\ 121&=r^{2} \\ 11\text{ in}&=r\end{aligned}\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Окружність підстави циліндра -\(80 \pi\) см, а висота - 36 см. Знайдіть загальну площу поверхні.

Рішення

Нам потрібно вирішити для радіуса, використовуючи окружність.

\(\begin{aligned} 2 \pi r&=80 \pi \\ r&=40\end{aligned}\)

Тепер ми можемо знайти площу поверхні.

\(\begin{aligned} SA&=2 \pi(40)^{2}+(80 \pi)(36) \\ &=3200 \pi+2880 \pi \\ &=6080 \pi \text{ units}^{2}\end{aligned}\)

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Знайдіть площу поверхні циліндра.

Рішення

\(r=4\)і\(h=12\).

\(\begin{aligned} SA&=2 \pi(4)^{2}+2 \pi(4)(12) \\ &=32 \pi+96 \pi \\ &=128 \pi \text{ units}^{2}\end{aligned} \)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Окружність основи циліндра дорівнює,\(16 \pi\) а висота дорівнює 21. Знайдіть площу поверхні циліндра.

Рішення

Нам потрібно вирішити для радіуса, використовуючи окружність.

\(\begin{aligned} 2 \pi r&=16 \pi \\ r&=8\end{aligned}\)

Тепер ми можемо знайти площу поверхні.

\(\begin{aligned} SA&=2 \pi(8)2+(16 \pi)(21) \\ &=128 \pi+336 \pi \\ &=464 \pi \text{ units}^{2}\end{aligned}\)

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Знайдіть обсяг циліндра.

Рішення

Якщо діаметр дорівнює 16, то радіус дорівнює 8.

\(\begin{aligned} V&= \pi 8^{2}(21) \\ &=1344 \pi \text{ units}^{3}\end{aligned}\)

Рецензія

1. Два циліндра мають однакову площу поверхні. Чи мають вони однаковий обсяг? Звідки ти знаєш?
2. Циліндр має\(r=h\) і радіус дорівнює 4 см. Що таке обсяг?
3. Циліндр має обсяг\(486 \pi \text{ ft}^{3}\). Якщо висота 6 футів, який діаметр?

4. Правий циліндр має радіус 7 см і висоту 18 см. Знайдіть обсяг.

Знайдіть обсяг наступних твердих тіл. Округляйте свої відповіді до найближчих сотих.

Знайдіть значення x, задане об'ємом.

7. \(V=6144 \pi \text{ units}^{3}\)

   

8. Площа підстави циліндра становить,\(49 \pi \text{ in}^{2}\) а висота - 6 дюймів. Знайдіть обсяг.
9. Окружність підстави циліндра дорівнює\(34 \pi \text{ cm}\) і висота - 20 см. Знайдіть загальну площу поверхні.
10. Площа бічної поверхні циліндра дорівнює,\(30 \pi \text{ m}^{2}\) а висота 5 м Який радіус?

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 11.4.

Лексика

Додаткові ресурси

Відео: Принципи циліндрів - основні

Діяльність: Циліндри Обговорення Питання

Навчальні посібники: посібник з вивчення призм та циліндрів

Практика: Площа поверхні та об'єм циліндрів

Реальний світ: Бурові команди