Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

8.11: Правила ротації

  • Page ID
    54939
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Державні правила, що описують дані обертання.

    Правила обертання

    На малюнку нижче показана форма двох рибок. Запишіть правило відображення для повороту зображення A до зображення B.

    Ф-д_А7Ф1БА 8А8АА39С311Е4Ф9А6Б3А6Б3А6Б1199Ф 12Д1256С1А+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{1}\)

    У геометрії трансформація - це операція, яка переміщує, перевертає або змінює фігуру для створення нової форми. Обертання - це приклад перетворення, коли фігура обертається навколо певної точки (званої центром обертання), певної кількості градусів. Загальні обертання щодо походження показані нижче:

    Центр обертання Кут повороту Передзображення (точка P) Повернене зображення (точка P′) Позначення (точка P′)
    (0, 0) \(90^{\circ}\)(або\(−270^{\circ}\)) \((x,y)\) \((−y,x)\) \((x,y)\rightarrow (−y,x)\)
    (0, 0) \(180^{\circ}\)(або\(−180^{\circ}\)) \((x,y)\) \((−x,−y)\) \((x,y)\rightarrow (−x,−y)\)
    (0, 0) \(270^{\circ}\)(або\(−90^{\circ}\)) \((x,y)\) \((y,−x)\) \((x,y)\rightarrow (y,−x)\)

    Можна описати обертання словами, або з позначеннями. Розглянемо зображення нижче:

    F-D0310294816764C3C 3dce57e3229259104C40b549807794247b6E2555+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий_png
    Малюнок\(\PageIndex{2}\)

    Зверніть увагу, що попереднє зображення обертається навколо вихідної\(90^{\circ}\) CCW. Якби ви описували повернуте зображення за допомогою нотації, ви б написали наступне:

    \(R_{90^{\circ}}(x,y)=(−y,x)\)

    Напишемо позначення для опису наступних обертань CCW на точці (3, 2)\) і намалюємо зображення:

    1. про походження в\(90^{\circ}\)

    Обертання про походження при\(90^{\circ}: \(R_{90^{\circ}}(x,y)=(−y,x)\)

    1. про походження в\(180^{\circ}\)

    Обертання про походження при\(180^{\circ}\):\(R_{180^{\circ}}(x,y)=(−x, −y)\)

    1. про походження в\(270^{\circ}\)

    Обертання щодо походження на 270^ {\ circ}:\(R_270^{\circ}(x,y)=(y,−x)\)

    F-д_A99B12393F981E994FE 34976196Е95Б85Д3Б88640С3730Б622Е7Б81+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{3}\)

    Тепер давайте виконаємо наступні обертання на зображенні,\(A\) показаному нижче на схемі нижче, і опишемо обертання:

    Ф-Д_СБ0Д58549Е1С250А4 АЧБ 5Б27026ФК2Б3Е647 ДДБД12С9АЕБ2Ф54748+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{4}\)
    1. про походження в\(90^{\circ}\), і позначити його\(B\).

    Обертання про походження при\(90^{\circ}\):\(R_{90^{\circ}}A\rightarrow B=R_{90^{\circ}}(x,y)\rightarrow (−y,x)\)

    1. про походження в\(180^{\circ}\), і позначити його\(O\).

    Обертання про походження при\(180^{\circ}\):\(R_{180^{\circ}}A\rightarrow O=R_{180^{\circ}}(x,y)\rightarrow (−x,−y)\)

    1. про походження в\(270^{\circ}\), і позначити його\(Z\).

    Обертання про походження при\(270^{\circ}\):\(R_{270^{\circ}}A\rightarrow Z=R270^{\circ}(x,y)\rightarrow (y,−x)\)

    F-д_5д12 ДЕА 134422 ФЕ8А3Б5Е 9955842Б7Д42С1АФ 19Ф Е2Д5 ЕАД 25129D+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{5}\)

    Нарешті, давайте напишемо позначення, яке представляє обертання попереднього зображення A до повернутого зображення J на діаграмі нижче:

    Ф-Д_772А 1703020БА6 ББ 4 Fac6d9b409e9217f638ФCF709 CFDBBD818153C5+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{6}\)

    Спочатку виберіть точку на діаграмі, щоб побачити, як вона обертається.

    \(E:(−1,2)\qquad E′:(1,−2)\)

    Зверніть увагу, як обидва\(x\) - і\(y\) -координати множаться на -1. Це вказує на те, що попереднє зображення\(A\) відбивається про походження за допомогою\(180^{\circ}\) CCW для формування повернутого зображення J. Тому позначення є\(R_{180^{\circ}}A\rightarrow J=R_{180^{\circ}}(x,y)\rightarrow (−x,−y)\).

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Раніше вам давали малюнок нижче, на якому зображений візерунок з двох рибок. Напишіть правило відображення для повороту Image\(A\) to Image\(B\).

    Ф-д_А7Ф1БА 8А8АА39С311Е4Ф9А6Б3А6Б3А6Б1199Ф 12Д1256С1А+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{7}\)

    Рішення

    Зверніть увагу, що вимірювання кута є,\(90^{\circ}\) а напрямок - за годинниковою стрілкою. Тому зображення\(A\) було повернуто\(−90^{\circ}\) у форму зображення\(B\). Щоб написати правило для цієї ротації, ви б написали:\(R_{270^{\circ}}(x,y)=(−y,x)\).

    Приклад\(\PageIndex{}\)

    Томас описує обертання як точку,\(J\) що рухається від\(J(−2,6)\) до\(J′(6,2)\). Напишіть позначення, щоб описати це обертання для Томаса.

    \(J:(−2,6)\qquad J′:(6,2)\)

    F-D_97CFF фасадний кабель BD35F5A14793 FFF720AF2192F0E66E14DD4E5A46A08E44+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{8}\)

    Рішення

    Оскільки\(x\) -координата множиться на -1,\(y\) координата -залишається незмінною, і, нарешті,\(x\) - і\(y\) -координати змінюються місцями, це обертання про початок на\(270^{\circ}\) або\(−90^{\circ}\). Позначення це:\(R_{270^{\circ}}J\rightarrow J′=R_270^{\circ}(x,y)\rightarrow (y,−x)\)

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Напишіть позначення, яке представляє обертання жовтого діаманта до повернутого зеленого діаманта на діаграмі нижче.

    F-D_627 ДК8БФ 2Д5АЕ0253С263СЕ22 АФСЕ36881590 БФ 48246799Ф13FA0E32+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{9}\)

    Рішення

    Для того, щоб написати позначення для опису обертання, виберіть одну точку на попередньому зображенні (жовтий ромб), а потім повернену точку на зеленому діаманті, щоб побачити, як точка перемістилася. Зверніть увагу, що точка E\) показана на схемі:

    \(E(−1,3)\rightarrow E′(−3,−1)\)

    Оскільки обидва\(x\) - і\(y\) -координати є зворотними місцями, а\(y\) координата -помножена на -1, обертання становить приблизно початок\(90^{\circ}\). Позначення для цього обертання було б:\(R_{90^{\circ}}(x,y)\rightarrow (−y,x)\).

    F-D_5DA2D322D2BF0 ФЕД 06ФЕ19 СА12677 ФД501ЕА 3Б840Ф316Д1Д604А800+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{10}\)

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Карен грала з програмою малювання на своєму комп'ютері. Вона створила наступні діаграми, а потім хотіла визначити перетворення. Напишіть правило позначення, яке представляє перетворення фіолетової та синьої діаграми на помаранчеву та синю діаграму.

    Ф-Д_С5ДФ 849237 ДД510Б51Е4КФ2Д08Б03Д21ДФ169ЕЕ5А51Е9BE0+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{11}\)

    Рішення

    Для того, щоб написати позначення для опису перетворення, виберіть одну точку на попередньому зображенні (фіолетова та синя діаграма), а потім перетворену точку на помаранчевій та синій діаграмі, щоб побачити, як точка перемістилася. Зверніть увагу, що точка\(C\) показана на схемі:

    \(C(7,0)\rightarrow C′(0,−7)\)

    Оскільки\(x\) -координати множаться лише на -1, а потім\(x\) - і\(y\) -координати міняються місцями, перетворення є обертанням приблизно на початок\(270^{\circ}\). Позначення для цього обертання було б:\(R_{270^{\circ}}(x,y)\rightarrow (y,−x)\).

    Рецензія

    Заповніть наступну таблицю:

    Початкова точка \(90^{\circ}\)Обертання \(180^{\circ}\)Обертання \(270^{\circ}\)Обертання \(360^{\circ}\)Обертання
    1. \((1, 4)\) \ (90^ {\ circ}\) Обертання» клас = "lt-k12-6036"> \ (180^ {\ circ}\) Обертання» клас = "lt-k12-6036"> \ (270^ {\ circ}\) Обертання» клас ="lt-k12-6036"> \ (360^ {\ circ}\) Обертання» клас = "lt-k12-6036">
    2. \((4, 2)\) \ (90^ {\ circ}\) Обертання» клас = "lt-k12-6036"> \ (180^ {\ circ}\) Обертання» клас = "lt-k12-6036"> \ (270^ {\ circ}\) Обертання» клас ="lt-k12-6036"> \ (360^ {\ circ}\) Обертання» клас = "lt-k12-6036">
    3. \((2, 0)\) \ (90^ {\ circ}\) Обертання» клас = "lt-k12-6036"> \ (180^ {\ circ}\) Обертання» клас = "lt-k12-6036"> \ (270^ {\ circ}\) Обертання» клас ="lt-k12-6036"> \ (360^ {\ circ}\) Обертання» клас = "lt-k12-6036">
    4. \((-1, 2)\) \ (90^ {\ circ}\) Обертання» клас = "lt-k12-6036"> \ (180^ {\ circ}\) Обертання» клас = "lt-k12-6036"> \ (270^ {\ circ}\) Обертання» клас ="lt-k12-6036"> \ (360^ {\ circ}\) Обертання» клас = "lt-k12-6036">
    5. \((-2, -3)\) \ (90^ {\ circ}\) Обертання» клас = "lt-k12-6036"> \ (180^ {\ circ}\) Обертання» клас = "lt-k12-6036"> \ (270^ {\ circ}\) Обертання» клас ="lt-k12-6036"> \ (360^ {\ circ}\) Обертання» клас = "lt-k12-6036">

    Запишіть позначення, що представляє обертання попереднього зображення, до зображення для кожної діаграми нижче.

    1. Ф-д_00934570А85ФД Д 7834Ф2986Ф4Е28Е Е 93Б21528С949Е258Б140+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{12}\)
    2. Ф-Д_Е913 ДД600Б5449БК 96CF268 де 3ББ42552АФ 45С7 А3FF96252CE0CE8D+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{13}\)
    3. Ф-Д_ДАФ Б2Ф609С8Е2 ЕЕ9Д89Д13ФД115А45Б50ДБ9Ф782С006Д223Е9А246+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{14}\)
    4. F-д_6046д7Ф5943C0С285E8C07980d6F56C 70ДК023668D8ДФДБ12Б7Е75+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{15}\)
    5. F-D_2821667E67E 67059844C6D0F1BE87 Кафе 0D2488A00BE28F5C2F818 ББД38+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{16}\)

    Запишіть позначення, що представляє обертання попереднього зображення, до зображення для кожної діаграми нижче.

    1. F-д_03119Д6Ф29Ф8 ЕСЕ 25533А72А72А4831736Б5ЦФ Ф 16Ф6Д72 КБ18DC878E+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{17}\)
    2. F-D_6A823428501 ДК 0Б30Е258 АБ75936 ДДФК 20С CAF6884D42E3DEC9438BE+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{18}\)
    3. F-д_1д524692 ДДА 0ДД4 АЕ 9175Б8Д92067Д600Е7ББ802ФБ87С14810E1FCD7+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{19}\)
    4. F-д_4211С7Е1Ф7961С0C07C7570ФД7А58ДДД0163С85ААААБ 6C4BFFF8862099+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{20}\)
    5. F-д_76Б8Д5А378 FF86504E4829d078C9Б428А68КС72650AE8EA4E2DDF34+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{21}\)

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 10.9.

    Додаткові ресурси

    Відео: Правила обертання

    Практика: Правила ротації