8.11: Правила ротації
- Page ID
- 54939
Державні правила, що описують дані обертання.
Правила обертання
На малюнку нижче показана форма двох рибок. Запишіть правило відображення для повороту зображення A до зображення B.
У геометрії трансформація - це операція, яка переміщує, перевертає або змінює фігуру для створення нової форми. Обертання - це приклад перетворення, коли фігура обертається навколо певної точки (званої центром обертання), певної кількості градусів. Загальні обертання щодо походження показані нижче:
Центр обертання | Кут повороту | Передзображення (точка P) | Повернене зображення (точка P′) | Позначення (точка P′) |
---|---|---|---|---|
(0, 0) | \(90^{\circ}\)(або\(−270^{\circ}\)) | \((x,y)\) | \((−y,x)\) | \((x,y)\rightarrow (−y,x)\) |
(0, 0) | \(180^{\circ}\)(або\(−180^{\circ}\)) | \((x,y)\) | \((−x,−y)\) | \((x,y)\rightarrow (−x,−y)\) |
(0, 0) | \(270^{\circ}\)(або\(−90^{\circ}\)) | \((x,y)\) | \((y,−x)\) | \((x,y)\rightarrow (y,−x)\) |
Можна описати обертання словами, або з позначеннями. Розглянемо зображення нижче:
Зверніть увагу, що попереднє зображення обертається навколо вихідної\(90^{\circ}\) CCW. Якби ви описували повернуте зображення за допомогою нотації, ви б написали наступне:
\(R_{90^{\circ}}(x,y)=(−y,x)\)
Напишемо позначення для опису наступних обертань CCW на точці (3, 2)\) і намалюємо зображення:
- про походження в\(90^{\circ}\)
Обертання про походження при\(90^{\circ}: \(R_{90^{\circ}}(x,y)=(−y,x)\)
- про походження в\(180^{\circ}\)
Обертання про походження при\(180^{\circ}\):\(R_{180^{\circ}}(x,y)=(−x, −y)\)
- про походження в\(270^{\circ}\)
Обертання щодо походження на 270^ {\ circ}:\(R_270^{\circ}(x,y)=(y,−x)\)
Тепер давайте виконаємо наступні обертання на зображенні,\(A\) показаному нижче на схемі нижче, і опишемо обертання:
- про походження в\(90^{\circ}\), і позначити його\(B\).
Обертання про походження при\(90^{\circ}\):\(R_{90^{\circ}}A\rightarrow B=R_{90^{\circ}}(x,y)\rightarrow (−y,x)\)
- про походження в\(180^{\circ}\), і позначити його\(O\).
Обертання про походження при\(180^{\circ}\):\(R_{180^{\circ}}A\rightarrow O=R_{180^{\circ}}(x,y)\rightarrow (−x,−y)\)
- про походження в\(270^{\circ}\), і позначити його\(Z\).
Обертання про походження при\(270^{\circ}\):\(R_{270^{\circ}}A\rightarrow Z=R270^{\circ}(x,y)\rightarrow (y,−x)\)
Нарешті, давайте напишемо позначення, яке представляє обертання попереднього зображення A до повернутого зображення J на діаграмі нижче:
Спочатку виберіть точку на діаграмі, щоб побачити, як вона обертається.
\(E:(−1,2)\qquad E′:(1,−2)\)
Зверніть увагу, як обидва\(x\) - і\(y\) -координати множаться на -1. Це вказує на те, що попереднє зображення\(A\) відбивається про походження за допомогою\(180^{\circ}\) CCW для формування повернутого зображення J. Тому позначення є\(R_{180^{\circ}}A\rightarrow J=R_{180^{\circ}}(x,y)\rightarrow (−x,−y)\).
Приклад\(\PageIndex{1}\)
Раніше вам давали малюнок нижче, на якому зображений візерунок з двох рибок. Напишіть правило відображення для повороту Image\(A\) to Image\(B\).
Рішення
Зверніть увагу, що вимірювання кута є,\(90^{\circ}\) а напрямок - за годинниковою стрілкою. Тому зображення\(A\) було повернуто\(−90^{\circ}\) у форму зображення\(B\). Щоб написати правило для цієї ротації, ви б написали:\(R_{270^{\circ}}(x,y)=(−y,x)\).
Приклад\(\PageIndex{}\)
Томас описує обертання як точку,\(J\) що рухається від\(J(−2,6)\) до\(J′(6,2)\). Напишіть позначення, щоб описати це обертання для Томаса.
\(J:(−2,6)\qquad J′:(6,2)\)
Рішення
Оскільки\(x\) -координата множиться на -1,\(y\) координата -залишається незмінною, і, нарешті,\(x\) - і\(y\) -координати змінюються місцями, це обертання про початок на\(270^{\circ}\) або\(−90^{\circ}\). Позначення це:\(R_{270^{\circ}}J\rightarrow J′=R_270^{\circ}(x,y)\rightarrow (y,−x)\)
Приклад\(\PageIndex{1}\)
Напишіть позначення, яке представляє обертання жовтого діаманта до повернутого зеленого діаманта на діаграмі нижче.
Рішення
Для того, щоб написати позначення для опису обертання, виберіть одну точку на попередньому зображенні (жовтий ромб), а потім повернену точку на зеленому діаманті, щоб побачити, як точка перемістилася. Зверніть увагу, що точка E\) показана на схемі:
\(E(−1,3)\rightarrow E′(−3,−1)\)
Оскільки обидва\(x\) - і\(y\) -координати є зворотними місцями, а\(y\) координата -помножена на -1, обертання становить приблизно початок\(90^{\circ}\). Позначення для цього обертання було б:\(R_{90^{\circ}}(x,y)\rightarrow (−y,x)\).
Приклад\(\PageIndex{1}\)
Карен грала з програмою малювання на своєму комп'ютері. Вона створила наступні діаграми, а потім хотіла визначити перетворення. Напишіть правило позначення, яке представляє перетворення фіолетової та синьої діаграми на помаранчеву та синю діаграму.
Рішення
Для того, щоб написати позначення для опису перетворення, виберіть одну точку на попередньому зображенні (фіолетова та синя діаграма), а потім перетворену точку на помаранчевій та синій діаграмі, щоб побачити, як точка перемістилася. Зверніть увагу, що точка\(C\) показана на схемі:
\(C(7,0)\rightarrow C′(0,−7)\)
Оскільки\(x\) -координати множаться лише на -1, а потім\(x\) - і\(y\) -координати міняються місцями, перетворення є обертанням приблизно на початок\(270^{\circ}\). Позначення для цього обертання було б:\(R_{270^{\circ}}(x,y)\rightarrow (y,−x)\).
Рецензія
Заповніть наступну таблицю:
Початкова точка | \(90^{\circ}\)Обертання | \(180^{\circ}\)Обертання | \(270^{\circ}\)Обертання | \(360^{\circ}\)Обертання |
---|---|---|---|---|
1. \((1, 4)\) | \ (90^ {\ circ}\) Обертання» клас = "lt-k12-6036"> | \ (180^ {\ circ}\) Обертання» клас = "lt-k12-6036"> | \ (270^ {\ circ}\) Обертання» клас ="lt-k12-6036"> | \ (360^ {\ circ}\) Обертання» клас = "lt-k12-6036"> |
2. \((4, 2)\) | \ (90^ {\ circ}\) Обертання» клас = "lt-k12-6036"> | \ (180^ {\ circ}\) Обертання» клас = "lt-k12-6036"> | \ (270^ {\ circ}\) Обертання» клас ="lt-k12-6036"> | \ (360^ {\ circ}\) Обертання» клас = "lt-k12-6036"> |
3. \((2, 0)\) | \ (90^ {\ circ}\) Обертання» клас = "lt-k12-6036"> | \ (180^ {\ circ}\) Обертання» клас = "lt-k12-6036"> | \ (270^ {\ circ}\) Обертання» клас ="lt-k12-6036"> | \ (360^ {\ circ}\) Обертання» клас = "lt-k12-6036"> |
4. \((-1, 2)\) | \ (90^ {\ circ}\) Обертання» клас = "lt-k12-6036"> | \ (180^ {\ circ}\) Обертання» клас = "lt-k12-6036"> | \ (270^ {\ circ}\) Обертання» клас ="lt-k12-6036"> | \ (360^ {\ circ}\) Обертання» клас = "lt-k12-6036"> |
5. \((-2, -3)\) | \ (90^ {\ circ}\) Обертання» клас = "lt-k12-6036"> | \ (180^ {\ circ}\) Обертання» клас = "lt-k12-6036"> | \ (270^ {\ circ}\) Обертання» клас ="lt-k12-6036"> | \ (360^ {\ circ}\) Обертання» клас = "lt-k12-6036"> |
Запишіть позначення, що представляє обертання попереднього зображення, до зображення для кожної діаграми нижче.
Запишіть позначення, що представляє обертання попереднього зображення, до зображення для кожної діаграми нижче.
Огляд (Відповіді)
Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 10.9.
Додаткові ресурси
Відео: Правила обертання
Практика: Правила ротації