Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

8.10: Визначення обертання

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    54952

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Перетворення, за допомогою яких фігура обертається навколо фіксованої точки для створення зображення.

    обертань

    Трансформація - це операція, яка рухає, перевертає або іншим чином змінює фігуру для створення нової фігури. Жорстке перетворення (також відоме як ізометрія або перетворення конгруентності) - це трансформація, яка не змінює розмір або форму фігури.

    Жорсткі перетворення - це переклади, роздуми та обертання. Нова фігура, створена перетворенням, називається зображенням. Оригінальна фігура називається передзображенням. Якщо попередній образ є\(A\), то зображення буде\(A′\), сказано «простим». Якщо є зображення\(A′\), що буде позначено\(A′′\), сказав «подвійне просте».

    Обертання - це перетворення, коли фігура обертається навколо фіксованої точки для створення зображення. Лінії, проведені від попереднього зображення до центру обертання і від центру обертання до зображення, утворюють кут повороту.

    Ф-Д_5БД 378816240175Б57 АФБ 19БД4153808Д8 Цеб9185448Д5А41ККА5AD+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{1}\)

    Хоча ми можемо повертати будь-яке зображення на будь-яку кількість градусів\(90^{\circ}\),\(180^{\circ}\) а\(270^{\circ}\) обертання є загальними і мають правила, які варто запам'ятати.

    Обертання\(180^{\circ}\):\((x,y)\rightarrow (−x,−y)\)

    Ф-д_Б4ЕФ9052919А49Е54ЕА44А8ЕБ70С9Е1607220Ф7859 ДББ521864Е127+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{2}\)

    Обертання\(90^{\circ}\):\((x,y)\rightarrow (−y,x)\)

    F-д_03349 БА 80СА27АФ7БФ 6 де 529СА4ДФ ДБ711ДФ 230232521052374Е7А05+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{3}\)

    Обертання\(270^{\circ}\):\((x,y)\rightarrow (y,−x)\)

    Ф-д_628ДФ 37АФД 1Б6174 ФФ 2Ф47С50Ф0Б169С69Б8630Ф6509Д8С1ЕЕ+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{4}\)

    Що робити, якщо вам дали координати чотирикутника, і вас попросили повернути цей чотирикутник\(270^{\circ}\) навколо початку? Якими будуть його нові координати?

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Обертання\(80^{\circ}\) за годинниковою стрілкою - це те саме, що обертання проти годинникової стрілки?

    Рішення

    Є\(360^{\circ}\) навколо точки. Отже,\(80^{\circ}\) обертання за годинниковою стрілкою таке ж, як\(360^{\circ}−80^{\circ}=280^{\circ}\) обертання проти годинникової стрілки.

    F-д_454ФБД 0676А577134Ф216708838Б2АД 4ФБД71АЕ22Д11307С36Б209С8+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNGМалюнок\(\PageIndex{6}\)

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    Обертання\ (160^ {\ circ} проти годинникової стрілки таке ж, як і обертання за годинниковою стрілкою?

    Рішення

    \(360^{\circ}−160^{\circ}=200^{\circ}\)обертання за годинниковою стрілкою

    F-D_141 ЕБ82986 CF4FDD2ЕС570705378 EDC 76ЕЦДФ 6А274ЕС0А54Ф9E366+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{7}\)

    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    Обертати\(\overline{ST} 90^{\circ}\).

    F-д_С9А 0 Мертвий 78 AB17b5167785F09d241c12df66c9d20afe 577F027D1CE+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{8}\)

    Рішення

    F-D_4649371723391Б5С19А7056С9А92Е621Б32А11Е898ФБ055ДЕА 4BEF8D+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{9}\)

    Приклад\(\PageIndex{4}\)

    Обертання чотирикутника показано нижче. Що таке міра\(x\) і\(y\)?

    F-D_986C5537B9FBB3570F61219D5DCFB529D2A6CB0550F23996F8BA0C88+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{10}\)

    Рішення

    Оскільки обертання створює конгруентні фігури, ми можемо встановити два рівняння для вирішення\(x\) і\(y\).

    \ (y=4\ begin {масив} {rr}
    2 y=80^ {\ circ} & 2 x-3 = 15\\
    y=40^ {\ circ} & 2 x = 18\\
    & x = 9
    \ кінець {масив}\)

    Приклад\(\PageIndex{5}\)

    Поворот\(\Delta ABC\), з вершинами\(A(7,4)\)\(B(6,1)\), і\(C(3,1)\),\(180^{\circ}\) про початок. Знайдіть координати\(\Delta A′B′C′\).

    F-д_2106Б0082Б257143ФББ4А52С940АФ 65к8ФБ7396Б520Ф6824Б28С411+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{11}\)

    Рішення

    Скористайтеся правилом вище, щоб знайти\(\Delta A′B′C′\).

    \(\begin{aligned}A(7,4)&\rightarrow A′(−7,−4) \\ B(6,1)&\rightarrow B′(−6,−1) \\ C(3,1)&\rightarrow C′(−3,−1)\end{aligned}\)

    Рецензія

    У наведених нижче питаннях кожне обертання відбувається проти годинникової стрілки, якщо не вказано інше.

    1. Якби ви повернули букву p 180^ {\ circ}\) проти годинникової стрілки, яка буква була б у вас?
    2. Якби ви повернули букву p\(180^{\circ}\) c\ (по годинниковій стрілці, яка буква була б у вас?
    3. Обертання\(90^{\circ}\) за годинниковою стрілкою те саме, що обертання проти годинникової стрілки?
    4. Обертання\(270^{\circ}\) за годинниковою стрілкою те саме, що обертання проти годинникової стрілки?
    5. Обертання\(210^{\circ}\) проти годинникової стрілки те саме, що обертання за годинниковою стрілкою?
    6. Обертання\(120^{\circ}\) проти годинникової стрілки те саме, що обертання за годинниковою стрілкою?
    7. Обертання\(340^{\circ}\) проти годинникової стрілки те саме, що обертання за годинниковою стрілкою?
    8. Обертання фігури\(360^{\circ}\) - це те саме, що інше обертання?
    9. Чи має значення, повертаєте ви фігуру\(180^{\circ}\) за годинниковою стрілкою або проти годинникової стрілки? Чому чи чому ні?
    10. Малюючи повернуту фігуру та використовуючи транспортир, було б легше повертати фігуру\(300^{\circ}\) проти годинникової стрілки або за годинниковою\(60^{\circ}\) стрілкою? Поясніть свої міркування.

    Поверніть кожну фігуру в координатній площині заданої міри кута. Центр обертання - це початок.

    1. \(180^{\circ}\)
      F-D_63703c4cb8AB951d54BF6940341c64c94d7E9589ad8CBC95C20B5+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{12}\)
    2. \(90^{\circ}\)
      F-д_Ф6956С0ФЧ 08d46105307A1c543971 ФАА872E279E565129BE4A71+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNGМалюнок\(\PageIndex{13}\)
    3. \(180^{\circ}\)
      F-д_Ф 29843КС3Б55Е68610128Е9 ЕБ 1804052 ФД1Е81560Е203Б2Е519Е4А54+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{14}\)
    4. \(270^{\circ}\)
      F-д_Ф0д2144Ф3Ф77Ф6БД 778881Д2Е5Ф468Б41890Д498Б901А16ЕЕ0Б6Д6+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{15}\)
    5. \(90^{\circ}\)
      F-D_080EBB6 ЕБФ 7Б98Е8Е4Е8 КС758С8425КС81879Ф867Б367ДД32266С2+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{16}\)
    6. \(270^{\circ}\)
      F-D_918CA54D3FC5878587С7дБ07Б27008400Ф4Ф7Е713ADF5D742+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{17}\)
    7. \(180^{\circ}\)
      F-D_4A22195243555095A7 ДДД9 С998 ДДБ Б 585С3 ФАЕЕ7С3Ф11С88CF301+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{18}\)
    8. \(270^{\circ} \)
      F-D_14A46E8CE6734A72415ЕФ 7А341 БД337 ЕЕЕ72Б73ДФД34Ф56862 CD65F+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{19}\)
    9. \(90^{\circ} \)
      F-D_1AED 1901 CE53397 Е3А3981Е737Е39Д67Д0346 ЕЕЕФ9 DeF43A6BFE 8+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{20}\)

    Знайдіть міру\(x\) в обертаннях нижче. Синя фігура - це преімідж.

    1. F-д_8Б488АА742А64899E3C16443D53E46C2258BCDB0D492D658EF2+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{21}\)
    2. F-D_90F54E345893CE27F2D74FA8868 CD3F51BCEBE2682B84A8CDE18739+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{22}\)
    3. F-д_Е1Ф8 АФ 28940ЕД 30С5ДБ261Б6Е93ЕД 6АА7ЕЕД 6ЦКК1А3698А2Ф+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{23}\)

    Знайдіть кут повороту для графіків нижче. Центр обертання - це початок, а синя фігура - передзображення. Ваша відповідь буде\(90^{\circ}\)\(270^{\circ}\), або\(180^{\circ}\).

    1. F-D_EBADE 3D8D191A2 А2 А67Ф773738 ADBB08920C5С0Ф8Б1 EABDF2278CB508+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{24}\)
    2. F-D_868c7738 ДК0987А25А2 ABFD694236CE25435 БЕК832Е0Е26Б1Д8Ф67Е+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{25}\)
    3. Ф-Д_ДД 16236А 956752560Б48Б506Ф38423Е5ФБ9С3Д43А0Б2061БФА032F1F+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{26}\)
    4. F-д_Ф642 Ф3 БК Е3972Д9816А75Е9С538Б86ЕД 5д8943807677D597A04+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{27}\)
    5. Ф-д_С2Ф8А248048Е8Ф8С96С73Е82С6Ф370Е0Е0Ф965961 Е4ДД1172724713E9+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{28}\)
    6. Ф-д_1д5326ДФ1Б312816970 Баеф 3Д Б5814 ЕД1681Д18А35Ф89ДФ62БА4687+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{29}\)

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 12.4.

    Лексика

    Термін Визначення
    Центр обертання При обертанні центр обертання - це точка, яка не рухається. Інша частина площини обертається навколо цієї нерухомої точки.
    Зображення Образ - це остаточний вигляд фігури після операції трансформації.
    Походження Походження - точка перетину осей x і y на декартовій площині. Координати початку координат є (0, 0).
    Передзображення Попереднє зображення - це оригінальний вигляд фігури в операції трансформації.
    Обертання Обертання - це перетворення, яке перетворює фігуру на координатній площині на певну кількість градусів навколо заданої точки без зміни форми або розміру фігури.
    Жорстке перетворення Жорстке перетворення - це перетворення, яке зберігає відстань і кути, воно не змінює розмір або форму фігури.

    Додаткові ресурси

    Інтерактивний елемент

    Відео: Трансформація: принципи ротації - основні

    Види діяльності: Ротації Питання обговорення

    Навчальні посібники: Види трансформацій Навчальний посібник

    Практика: Визначення обертання

    Реальний світ: Радикальні обертання