5.27: Внутрішні кути в опуклих багатокутників

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 5.26: Визначте відсутні кутові заходи
- 5.28: Зовнішні кути в опуклих багатокутників

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Використовуйте формулу $(x - 2)180$ , щоб знайти суму внутрішніх кутів будь-якого багатокутника.

Внутрішній кут багатокутника - це один з кутів зсередини, як показано на малюнку нижче. Багатокутник має таку ж кількість внутрішніх кутів, як і сторін.

F-д_389 ФФ0723А 49Е71 Ф9 ЕС7Б5С21806Д212 Бе78А36Е4921973DA5C040+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{1}$

Сума внутрішніх кутів багатокутника залежить від кількості сторін, які він має. Формула суми багатокутників стверджує, що для будь-якого n−кутника внутрішні кути складаються до $(n−2)\times 180^{\circ}$ .

Ф-Д_ДК 6113С85БФ Ф 0605Б41Б9 А2Е6Ф06809Д9ФК 3633Е6525ФКС7Б83Б+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{2}$

$\begin{aligned}\rightarrow n=8 \\ (8−2) &\times 180^{\circ} \\ 6 &\times 180^{\circ} \\ &1080^{\circ}\end{aligned}$

Після того, як ви знаєте суму внутрішніх кутів у багатокутнику, легко знайти міру ОДНОГО внутрішнього кута, якщо багатокутник правильний: всі сторони конгруентні, а всі кути конгруентні. Просто розділіть суму кутів на кількість сторін.

Формула внутрішнього кута регулярного багатокутника: Для будь-якого рівнокутного n−кутника мірою кожного кута є $\dfrac{(n−2)\times 180^{\circ}}{n}$ .

F-D_C35906E4638039AD92C1150CE1C 1Д19012С9780Б4Б8Б1185+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{3}$

На малюнку нижче, якщо всі вісім кутів конгруентні, то кожен кут є $\dfrac{(8−2)\times 180^{\circ}}{8}=\dfrac{6\times 180^{\circ}}{8}=\dfrac{1080^{\circ}}{8}=135^{\circ}$ .

Що робити, якщо вам дали рівнокутний семисторонній опуклий багатокутник? Як можна було визначити міру його внутрішніх кутів?

Приклад $\PageIndex{1}$

Внутрішні кути п'ятикутника є $x^{\circ}$ , $x^{\circ}$ , $2x^{\circ}$ , $2x^{\circ}$ , і $2x^{\circ}$ . Що таке $x$ ?

Рішення

З формули суми багатокутника ми знаємо, що п'ятикутник має внутрішні кути, які сумуються $(5−2)\times 180^{\circ}=540^{\circ}$ .

Напишіть рівняння і вирішіть для x.

$\begin{aligned} x^{\circ}+x^{\circ}+2x^{\circ}+2x^{\circ}+2x^{\circ}&=540^{\circ} \\ 8x&=540 \\ x&=67.5\end{aligned}$

Приклад $\PageIndex{2}$

Яка сума внутрішніх кутів в 100-кутнику?

Рішення

Скористайтеся формулою суми багатокутника. $(100−2)\times 180^{\circ}=17,640^{\circ}$ .

Приклад $\PageIndex{3}$

Внутрішні кути багатокутника складають до $1980^{\circ}$ . Скільки у нього сторін?

Рішення

Скористайтеся формулою суми багатокутника і вирішіть для n\).

$\begin{aligned} (n−2)\times 180^{\circ}&=1980^{\circ} \\ 180^{\circ}n−360^{\circ}&=1980^{\circ} \\ 180^{\circ}n&=2340^{\circ} \\ n&=13\end{aligned}$

Багатокутник має 13 сторін.

Приклад $\PageIndex{4}$

Скільки градусів має кожен кут у рівнокутному нонагоні?

Рішення

Для початку нам потрібно знайти суму внутрішніх кутів; безліч $n=9$ .

$(9−2)\times 180^{\circ}=7\times 180^{\circ}=1260^{\circ}$

«Рівнокутний» говорить нам, що кожен кут дорівнює. Отже, кожен кут є $\dfrac{1260^{\circ}}{9}=140^{\circ}$ .

Приклад $\PageIndex{5}$

Внутрішній кут у правильному багатокутнику є $135^{\circ}$ . Скільки сторін має цей багатокутник?

Рішення

Тут ми встановимо формулу внутрішнього кута регулярного багатокутника рівну $135^{\circ}$ і вирішимо для n.

$\begin{aligned} \dfrac{(n−2)\times 180^{\circ}}{n}&=135^{\circ} \\ 180^{\circ}n−360^{\circ}−360^{\circ}&=135^{\circ}n \\ n&=−45^{\circ} \\ n&=8\qquad \text{The polygon is an octagon.} \end{aligned}$

Рецензія

Заповніть таблицю.

Кількість сторін	Сума внутрішніх кутів	Вимірювання кожного внутрішнього кута у регулярному n−кутнику
3		$60^{\circ}$
4	$360^{\circ}$
5	$540^{\circ}$	$108^{\circ}$
6		$120^{\circ}$
7
8
9
10
11
12

Яка сума кутів у 15-кутнику?
Яка сума кутів в 23-кутнику?
Сума внутрішніх кутів багатокутника дорівнює $4320^{\circ}$ . Скільки сторін має багатокутник?
Сума внутрішніх кутів багатокутника дорівнює $3240^{\circ}$ . Скільки сторін має багатокутник?
Яка міра кожного кута в правильному 16-кутнику?
Яка міра кожного кута в рівнокутному 24-кутнику?
Кожен внутрішній кут у правильному багатокутнику є $156^{\circ}$ . Скільки у нього сторін?
Кожен внутрішній кут в рівнокутному багатокутнику є $90^{\circ}$ . Скільки у нього сторін?

Для питань 10-18 знайдіть значення відсутньої змінної (ів).

Малюнок $\PageIndex{5}$
Малюнок $\PageIndex{6}$
Малюнок $\PageIndex{7}$
Малюнок $\PageIndex{8}$
Малюнок $\PageIndex{9}$
Малюнок $\PageIndex{10}$
Малюнок $\PageIndex{11}$
Малюнок $\PageIndex{12}$
Малюнок $\PageIndex{13}$

Внутрішні кути шестикутника є $x^{\circ}$ $(x+1)^{\circ}$ , $(x+2)^{\circ}$ , $(x+3)^{\circ}$ , $(x+4)^{\circ}$ , і $(x+5)^{\circ}$ . Що таке $x$ ?

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 6.1.

Ресурси

Лексика

Термін	Визначення
Внутрішні кути	Внутрішні кути - це кути всередині фігури.
Формула суми багатокутника	Формула суми багатокутників стверджує, що для будь-якого багатокутника з n сторонами внутрішні кути складаються до $(n−2)\times 180$ градусів.

Додаткові ресурси

Інтерактивний елемент

Відео: Внутрішні та зовнішні кути багатокутника

Діяльність: Внутрішні кути в опуклих багатокутниках Питання обговорення

Навчальні посібники: Полігони Навчальний посібник

Практика: Внутрішні кути в опуклих багатокутниках

Реальний світ: внутрішні кути в опуклих багатокутниках