1.9: Вимірювання кутів

Вимірювання кутів за допомогою транспортирів та постулат додавання кута.

Кути

Кут утворюється, коли два промені мають однакову кінцеву точку. Вершина є загальною кінцевою точкою двох променів, які утворюють кут. Сторони - це два промені, які утворюють кут.

Малюнок$\PageIndex{1}$

Позначте це	Скажи це
$\angle ABC$	Кут$ABC$
$\angle CBA$	Кут$CBA$

Вершина є,$B$ а сторони -$\overrightarrow{BA}$ і$\overrightarrow{BC}$. Завжди використовуйте три літери, щоб назвати кут,$\angle$ SIDE-VERTEX-SIDE.

Кути вимірюються чимось, званим транспортиром. Транспортир - це вимірювальний прилад, який вимірює, наскільки «відкритий» кут. Кути вимірюються в градусах і маркуються$^{\circ}$ символом. Наразі кути завжди позитивні.

Малюнок$\PageIndex{2}$

Є два набори вимірювань, один починається зліва, а інший з правого боку транспортира. Обидва йдуть навколо від$0 ^{\circ}$ до$180 ^{\circ}$. При вимірюванні кутів можна вирівняти одну сторону з$0 ^{\circ}$, і подивитися, де інша сторона потрапляє на транспортир. Вершина лінії вгору посередині лінії низу.

Малюнок$\PageIndex{3}$

Зверніть увагу, що якщо ви не вирівнюєте одну сторону з$0 ^{\circ}$, міра кута буде різницею градусів, де сторони кута перетинаються з транспортиром.

Іноді вам захочеться намалювати кут, який є певною кількістю градусів. Виконайте наведені нижче дії, щоб намалювати$50 ^{\circ}$ кут за допомогою транспортира:

1. Почніть з малювання горизонтальної лінії по всій сторінці, довжиною 2 дюйма.

Малюнок$\PageIndex{4}$

2. Помістіть кінцеву точку в лівій частині лінії.
3. Помістіть транспортир на цю точку, таким чином, щоб лінія проходила через$0 ^{\circ}$ мітку на транспортирі, а кінцева точка виявилася в центрі. Відзначте$50 ^{\circ}$ на відповідній шкалі.

\(\Індекс сторінки малюнка {5}\)

4. Зніміть транспортир і з'єднайте вершину і$50 ^{\circ}$ mark.

Figure $\PageIndex{6}$

This process can be used to draw any angle between $0 ^{\circ}$ and $180 ^{\circ}$.

When two smaller angles form to make a larger angle, the sum of the measures of the smaller angles will equal the measure of the larger angle. This is called the Angle Addition Postulate. So, if B is on the interior of $\angle ADC$, then

$\angle ADC = m \angle ADB + \angle BDC$

Figure $\PageIndex{7}$

Example $\PageIndex{1}$

How many angles are in the picture below? Label each one.

Figure $\PageIndex{8}$

Solution

There are three angles with vertex $U$. It might be easier to see them all if we separate them.

Figure $\PageIndex{9}$

So, the three angles can be labeled, ( $\angle XUY$ or $\angle YUX$), $\angle YUZ$ (or $\angle ZUY$), and $\angle XUZ$ (or $\angle ZUX$).

Example $\PageIndex{2}$

Measure the three angles from Example 1, using a protractor.

Figure $\PageIndex{10}$

Solution

Just like in Example 1, it might be easier to measure these three angles if we separate them.

Figure $\PageIndex{11}$

With measurement, we put an m in front of the $\angle$ sign to indicate measure. So, $m \angle XUY = 84^{\circ}$, $m \angle YUZ = 42^{\circ}$ and $m \angle XUZ = 126^{\circ}$.

Example $\PageIndex{3}$

What is the measure of the angle shown below?

Figure $\PageIndex{12}$

Solution

This angle is not lined up with 0∘, so use subtraction to find its measure. It does not matter which scale you use, as long as you are consistent.

Inner scale: $140^{\circ} - 15 ^{\circ} = 125 ^{\circ}$

Outer scale: $165^{\circ} - 40 ^{\circ} = 125 ^{\circ}$

Example $\PageIndex{4}$

Use a protractor to measure $\angle RST$ below.

Figure $\PageIndex{13}$

Solution

Lining up one side with $0 ^{\circ}$ on the protractor, the other side hits $100 ^{\circ}$.

Example $\PageIndex{5}$

What is $m \angle QRT$ in the diagram below?

Figure $\PageIndex{14}$

Solution

Using the Angle Addition Postulate, $m\angle QRT = 15^{\circ}+30^{\circ}=45^{\circ}$.

Review

1. What is $m \angle LMN$ if $m \angle LMO = 85^{\circ}$ and $m \angle NMO = 53^{\circ}$?

Figure $\PageIndex{15}$

2. If $m \angle ABD = 100^{\circ}$, find $x$.

Figure $\PageIndex{16}$

For questions 3-6, determine if the statement is true or false.

3. For an angle $\angle ABC$,$C$ is the vertex.
4. For an angle $\angle ABC$, $\overline{AB}$ and $\overline{BC}$ are the sides.
5. The $m$ in front of $m \angle ABC$ means measure.
6. The Angle Addition Postulate says that an angle is equal to the sum of the smaller angles around it.

For 7-12, draw the angle with the given degree, using a protractor and a ruler.

7. $55 ^{\circ}$
8. $92 ^{\circ}$
9. $178 ^{\circ}$
10. $5 ^{\circ}$
11. $120 ^{\circ}$
12. $73 ^{\circ}$

For 13-16, use a protractor to determine the measure of each angle.

13. Figure $\PageIndex{17}$

14. Figure $\PageIndex{18}$

15. Figure $\PageIndex{19}$

16. Figure $\PageIndex{20}$

Solve for $x$.

17. $m \angle ADC = 56^{\circ}$

Figure $\PageIndex{21}$

Review (Answers)

To see the Review answers, open this PDF file and look for section 1.5.

Vocabulary

Term	Definition
Angle	A geometric figure formed by two rays that connect at a single point or vertex.
Protractor	A protractor is a tool used to measure an angle in terms of degrees.
Vertex	A vertex is a point of intersection of the lines or rays that form an angle.

Additional Resource

Interactive Element

Video: Angle Basics

Activities: Angle Measurement Discussion Questions

Study Aids: Angles Study Guide

Practice: Measuring Angles

Real World: Angle Measurement