5.4.2: Програми векторного аналізу

Застосування векторного аналізу

Скільки роботи виконується за 10kg м'яч котитися вниз на 25 ^o схил для 10 ярдів?

Як можна розрахувати силу, яка рухає протон через магнітне поле?

Як ви могли обчислити крутний момент, який чинили діти на пилці?

Цей урок присвячений реальному використанню векторного аналізу.

---

Застосування векторного аналізу

Вектори можуть використовуватися авіадиспетчерами при спостереженні за літаками, метеорологами при описі умов вітру та комп'ютерними програмістами при проектуванні віртуальних світів. У цьому розділі ми представимо три застосування векторів, які зазвичай використовуються у вивченні фізики: робота, крутний момент та магнітна сила.

Робота

У фізиці термін робота використовується для опису енергії, яка додається або видаляється з об'єкта або системи, коли до нього прикладається сила. З експерименту було визначено, що робота максимізується, коли прикладена сила паралельна руху об'єкта і що жодна робота не виконується, коли сила прикладається перпендикулярно руху. Тому роботу, виконану силою, можна описати точковим добутком вектора сили і вектора зміщення. Наприклад, на лижника діють кілька сил на схемі нижче.

Вага Свена тягне вниз до центру землі, снігову опору Свена штовхаючи вгору на лижах перпендикулярно схилу, а тертя між лижами Свена і снігом вказує в протилежному напрямку від його руху. Роботу, виконану кожною з цих сил, можна визначити за допомогою точкового добутку сили і вектора зміщення\(\ \overrightarrow{\triangle x}\).

\ (\\ begin {масив} {l}
W =\ overrightarrow {F}\ times\ overrightarrow {\ трикутник x} =F (\ трикутник x)\ cos\ theta\\
W_ {\ text {тертя}}\ час\ переправо {\ text {тертя}}\ вправо) (\ трикутник х)\ cos 180^ {\ circ} =-F_ {\ текст { тертя}}\ трикутник х\\
W_ {\ текст {підтримка}} =\ переправа стрілка {F_ {\ текст {підтримка}}}\ раз\ переправа стрілка {\ трикутник x} =( F_ {\ текст {підтримка}}) (\ трикутник x)\ cos 90^ {\ circ} =0\
W_ {\ текст {вага}} =\ переправа стрілка {F_ {\ текст {вага}}}\ раз\ overrightarrow {\ трикутник x} =\ left (F_ {\ text { вага}}\ праворуч) (\ трикутник х)\ cos\ theta=\ ліворуч (F_ {\ text {вага}}\ право) (\ трикутник x)\ sin\ phi
\ end {масив}\)

Магнітна сила

Сила, яку магнітне поле чинить на заряджену частинку, найсильніша, коли частинка рухається перпендикулярно полю, а магнітна сила на частку дорівнює нулю, коли вона рухається паралельно полю. Тому магнітну силу можна описати за допомогою перехресного добутку вектора напруженості поля і вектора швидкості частинки:\(\ \vec{F}=q \vec{v} \times \vec{B}\) де\(\ \vec{F}\) сила на частинку, q - заряд частинки,\(\ \vec{v}\) - швидкість частинки, і \(\ \vec{B}\)вектор, що представляє магнітне поле. Якщо швидкість вимірюється в м/с і якщо магнітне поле вимірюється в теслах, то сила буде вимірюватися в ньютонах, метричній базі-одиниці сили.

Крутний момент

Коли ви піднімаєте бейсбол з стільниці, ви надаєте силу, яка рухає об'єкт в цілому. Коли ви прикладаєте зусилля до дверної ручки, ви змушуєте двері обертатися на її петлі. Вчені використовують термін крутний момент для опису силоподібної властивості, яка впливає на обертання об'єкта. Крутний момент можна описати за допомогою перехресного добутку вектора сили та важеля важеля, вектора, спрямованого радіально назовні від осі обертання до точки, де сила прикладається до об'єкта:\(\ \vec{\tau}=\vec{r} \times \vec{F}\), де\(\ \vec{\tau}\) крутний момент,\(\ \vec{r}\) - важіль важеля, і\(\ \vec{F}\) прикладена сила.

---

Приклади

Приклад 1

Сяо повертає кривошип, щоб опустити відро води в колодязь. Визначте загальну роботу, виконану на ковші, якщо вага ковша 15 Н і сила натягу в мотузці 13 Н. Ківш піднімається на відстань 4,5 м, поки він провертає.

Рішення

Робота, виконана силою, що діє на об'єкт, описується точковим добутком вектора сили і вектора зміщення:\(\ W=\vec{F} \times \overrightarrow{\Delta x}=F(\triangle x) \cos \theta\). У цьому випадку мотузка робить негативну роботу на ковші, оскільки рух і сила знаходяться в протилежних напрямках. Якщо сила вимірюється в ньютонах і зміщення в метрах, робота вимірюється в джоулі.

\(\ W_{\text {rope }}=\overrightarrow{F_{\text {rope }}} \times \overrightarrow{\triangle x}=F_{\text {rope }}(\triangle x) \cos \theta=(13 N)(4.5 m) \cos 180^{\circ}=-58.5 J\)

Сила ваги робить позитивну роботу на ковші, оскільки рух і сила знаходяться в одному напрямку.

\(\ W_{\text {weight }}=\overrightarrow{F_{\text {weight }}} \times \overrightarrow{\triangle x}=F_{\text {weight }}(\triangle x) \cos \theta=(15 N)(4.5 m) \cos 0^{\circ}=67.5 J\)

Загальна кількість робіт - це сума двох індивідуальних обсягів роботи.

\(\ W_{\text {total }}=W_{\text {rope }}+W_{\text {weight }}=-58.5+67.5 J=9.0 J\)

Всього на ковші виконується 9,0 Дж роботи при русі ковша вниз в свердловину.

Приклад 2

На схемі нижче показано, як Санджай тягне велику обрешітку по всій підлозі. Чотири сили, які діють на обрешітку під час цього процесу, показані на схемі нижче. Яка з чотирьох сил чинить ненульову силу на обрешітку?

Рішення

Точковий добуток визначається\(\ \vec{A} \times \vec{B}=|A||B| \cos \theta\) таким чином, тільки сили, які мають хоча б якусь складову паралельно руху, виконуватимуть ненульову роботу над об'єктом. Кут θ між зміщенням і силами, перпендикулярними руху, дорівнює 90 ^o so\(\ \vec{A} \times \vec{B}=|A||B| \cos \theta=0\). Зусилля від підлоги і вага обрешітки не роблять ніякої роботи, так як обидві ці сили перпендикулярні руху обрешітки. Мотузка робить позитивну роботу на обрешітці, так як сила мотузки на обрешітку має ненульову x-складову. Тертя робить негативну роботу на обрешітку, так як вона знаходиться в протилежному напрямку від зсуву.

Приклад 3

Деандра тягне свою іграшкову качку (маса 0,75 кг) з постійною швидкістю 3,0 м/с Струна, яку вона використовує для витягування качки, робить кут 42 ^о вище горизонталі і Деандра тримає постійну напругу в струні 2,0 Н. вперед на відстань 2,8 м?

Рішення

Робота, яку виконує Деандра над качкою, залежить від сили, яку вона використовує, щоб витягнути качку, і від відстані, яку качка рухається, поки вона тягне. Це також залежить від кута між силою тяги і вектором зміщення.

\(\ \overrightarrow{F_{\text {pull }}} \times \vec{x}=\left|\overrightarrow{F_{\text {pull }}}\right||\vec{x}| \cos \theta=(2.0 N)(2.8 m) \cos 42^{\circ}=4.16 \mathrm{Nm}\)

N являє собою «ньютон», одиницю сили. m являє собою «метри», одиницю переміщення. (1,0 Н) (1,0 м) = 1,0 Дж, де J представляє «джоулі», одиницю роботи та енергії.

Приклад 4

Beuford в черговий раз взяв Бринну в парк, щоб пограти на гірці. Якщо Бринна має вагу 25 кг і якщо гірка має нахил на 30 ^о над горизонталлю, яку роботу виконує її вага, коли вона ковзає вниз по ухилу 3,5 м? Пам'ятайте, що сила ваги в ньютонах дорівнює добутку маси і прискорення сили тяжіння, 9,8 м/с ².

Рішення

Якщо слайд нахилений на 30 ^о вище горизонталі, то θ = 60 ^о від вертикалі. Робота, виконана силою над об'єктом, задається точковим добутком сили і зміщення об'єкта. Ось\(\ \overrightarrow{F_{\text {weight }}}=m g=(25 \mathrm{~kg})\left(9.8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right)=245 \mathrm{~N}\). Тому,\(\ W=\overrightarrow{F_{\text {weight }}} \times \vec{d}=\left|\overrightarrow{F_{\text {weight }}}\right||\vec{d}| \cos \theta=(245 N)(3.5 m) \cos 60^{\circ}=428.75 J\)

Приклад 5

Вчені з лабораторії Фермі в Чикаго, штат Іллінойс, використовують магнітні поля для направлення пучків протонів під час дослідження субмікроскопічної структури атомів і кварків. І напруженість магнітного поля, і швидкість протонів є векторними величинами. Визначте силу на протон, що рухається на північ зі швидкістю 4,2 × 10 ⁶ м/с через магнітне поле 2,5 Т, орієнтоване зі сходу на захід. (Примітка: протони дуже крихітні і тому здатні рухатися ДУЖЕ швидко.)

Рішення

Визначте систему координат, де на схід - напрямок +z, на північ - напрямк+y, а вгору - напрямок +z. У цій системі координат,\(\ \vec{v}=\left\langle 0,4.2 \times 10^{6}, 0\right\rangle\) і\(\ \vec{B}=\langle-2.5,0,0\rangle\). Тому,\(\ |\vec{F}|=q|\vec{v} \times \vec{B}|=q(|\vec{v}||\vec{B}| \sin \theta)\). Оскільки швидкість знаходиться на північ, а магнітне поле - на захід, кут між двома векторами дорівнює 90 ^o.

\ (\\ почати {масив} {l}
|\ vec {F} |=q|\ vec {v}\ times\ vec {B} |= q (|\ vec {v} ||\ vec {B} |\ sin\ тета) =\ лівий (1.6\ раз 10^ {-19}\ праворуч)\ лівий (4.2\ раз 10^ {6}\ правий) (2.5)\ sin 90 ^ {\ circ}\ праворуч) =
16.8\ раз 10^ {-13} N
\ end {масив}\)

За допомогою правого правила ми можемо визначити напрямок сили на протон. Якщо ви наведете великий палець на північ вздовж вектора швидкості, а вказівний палець на захід вздовж вектора магнітного поля, долоню та розширений середній палець вказують вгору. Тому сила, яку магнітне поле чинить на протон, знаходиться в напрямку+z:
\(\ |\vec{F}|=q \vec{v} \times \vec{B}=\left\langle 0,0,16.8 \times 10^{-13} N\right\rangle\).

Приклад 6

Якщо двоє дітей, Рудольфо (вага = 210 Н) і Дженніфер (вага = 175 Н), сідають на обидва кінці пилки, як показано нижче. Рудольфо знаходиться в 1,0 м від стрижня, а Дженніфер - 1,4 м від стрижня. Які крутні моменти надають діти на пилці?

Рішення

Система координат визначена таким чином, що вектори вагової сили паралельні осі y, а вектори важеля - паралельні осі x. Спочатку визначте складову форму кожного векторного рівняння, а потім скористайтеся компонентною версією рівняння перехресного добутку для визначення крутного моменту, що надається кожним дочірнім.

\ (\\ begin {масив} {l}
\ переправа стрілка {\ tau_ {R}} =\ переправа стрілка {r_ {R}}\ times\ overrightarrow {F_ {\ текст {вага}, R}} =\ langle-1.0\ mathrm {~m}, 0,0\ діапазон\ раз\ langle 0, -210 N, 0\ діапазон
\ vec {r}\ times\ vec {F} =\ лівий\ кут\ лівий (r_ {y} F_ {z} -r_ {z} F_ {y}\ праворуч),\ лівий (r_ {z} F_ {x} -r_ {x} F_ {z}\ праворуч),\ ліворуч (r_ {x} F_ {y} -r_ {y} F_ {x}\ праворуч)\ правий
\ діапазон\\ переправа стрілка {r_ {R}}\ раз\ переправа {F_ {R}} =\ кут ((0 * 0) - (0 *-210)), (0 * 0), (0 * 0) - (-1 * 0)), (-1 *-210) - (0 * 0))
\ діапазон =\ кут 0,210 м N\ діапазон\\
\ переправа стрілка {\ tau_ {J}} =\ переправа стрілка {r_ {J}}\ час\ переправа стрілка {F_ {\ текст {вага,} J}} =\ кут 1,4 м, 0,0\ діапазон\ раз\ кут 0, -170 N, 0\ діапазон\\ vec {r}
\ times\ vec {F} =\ лівий\ кут\ лівий\ лівий (r_ {y} F_ {z} -r_ {z}}\ праворуч),\ ліворуч (r_ {z} F_ {x} -r_ {x} F_ {z}\ праворуч),\ ліворуч (r_ {x} F_ {y} -r_ {y} F_ {x}\ праворуч)\ праворуч\ діапазон\
\ стрілка переправо {r_ {J}}\ раз\ переправа стрілка {F_ {J}} =\ кут ((0 * 0) - (0 *-170)), (0 * 0) - (1.4* 0)), (1.4*-170) - (0 * 0))\ діапазон =
\ кут 0,0, -238 м N\ діапазон
\ кінець {масив}\)

Приклад 7

Вчені та фізіотерапевти використовують крутний момент для аналізу різних вправ, таких як вправа трицепса, показана на діаграмі нижче. Тут триголовий м'яз чинить силу на ліктьовий кінець передпліччя, впливаючи на обертання передпліччя. Якщо трицепс чинить силу 17 Н, який крутний момент прикладається до передпліччя?

Рішення

Так як передпліччя розташоване під кутом 15 ^о до вертикалі, то кут між двома векторами дорівнює 90 ^о — 15 ^о = 75 ^о. Величина вектора важеля - це відстань від ліктьового шарніра до точки, де трицепс тягне за кістку,\(\ |\vec{r}|=2.5 \mathrm{~cm}\). Аналогічно величина вектора сили - це сила сили,\(\ |\vec{F}|=17 N\). Оскільки нам відомі величини обох векторів і кут між ними, ми можемо використовувати кут-версію рівняння крос-добутку для визначення величини крутного моменту.

\(\ |\vec{\tau}|=r F \sin \theta=(2.5 \mathrm{~cm})(17 N) \sin 75=41.05 \mathrm{~cm} \cdot \mathrm{N}\)

---

Рецензія

1. Рибальський човен пливе на захід при постійній 15 км/год, струм 3 км/год працює через південь. Яка швидкість руху човна щодо морського дна?
2. Два бульдозера тягнуть за велике дерево, щоб зрушити його з дороги. Один бульдозер тягне 3000N на захід, а інший бульдозер 2500N в південному напрямку через рельєф місцевості. Визначте результуючу силу, що діє на дерево. Якщо дерево має масу 1000 кг, обчисліть прискорення дерева за рахунок діючої на нього результуючої сили.
3. Три копланарні горизонтальні сили, кожна з величиною 10 Н, діють на тіло масою 5 кг, як показано нижче. Визначте величину чистих сил, що діє на тіло, і величину результуючого прискорення.
4. Якщо вектор A = 5 N на північ і вектор B = 10 N на схід, знайти результуючий вектор A — вектор B.
5. Підводний човен рухається зі швидкістю 20 км/год на схід. Незабаром після цього він їде на північ зі швидкістю 15 км/год.
6. Винищувач має справжню швидкість польоту 1000 км/год на схід. Існує поперечний вітер, що дме 60 градусів на схід від півдня зі швидкістю 100 км/год Розрахуйте швидкість струменя щодо землі.
7. Піддон масою 10 кг сидить на горизонтальній поверхні, зусилля на піддон чиниться за допомогою ланцюга, нахиленого під 60° до горизонталі. Якщо натяг в ланцюзі становить 150 Н, а сила тертя між піддоном і горизонтальною поверхнею 55 Н, чи буде піддон рухатися в цих умовах? Поясніть. Якщо піддон дійсно рухається, визначте розмір прискорення, з яким він рухається.
8. Розбитий автомобіль загальною масою 300 кг тягне єдиною буксирною магістраллю, прикріпленою до тягача масою 1000 кг. Якщо тяга на вантажівці та автомобілі становить одну десяту їх відповідних ваг, а загальна сила вперед, що чиниться тягачем, становить 5130 кг сили (тобто 5130 х 9,8 Н), знайдіть величину: a. загальна сила, що чинить опір руху вперед вантажівки та автомобіля; б. прискорення системи вантажівки/автомобіля; c. незбалансоване прискорювальне зусилля на зламаному автомобілі; d. натяг в буксирувальній лінії.
9. Пілот-винищувач масою МА = 80 кг сидить в кабіні з горизонтальною до землі спиною. Його струмінь рухається вертикально з прискоренням а. якщо прискорення внаслідок сили тяжіння на пілоті дорівнює g = 9,8 мс-2, напишіть математичний вираз для і обчислите значення сили реакції R між пілотом і спинкою його сидіння в струмені при: a. a = 0; б. a = 8 мс-2 вгору; c. a = 8 мс-2 вниз.
10. Літак летить 691 миль/год на чолі 13° на схід від півночі. Хвостовий вітер дме з північного заходу зі швидкістю 90 миль/год. Визначте реальну швидкість площини щодо землі.
11. Птах прямує 40° на схід від півночі зі швидкістю 67 миль/год. Хвостовий вітер дме 45° західно-західний зі швидкістю 68 миль/год. Визначте напрямок птиці.
12. НЛО ковзає вздовж зі швидкістю 516 миль/год, прямуючи 32° на схід від півдня. Визначте напрямок НЛО, якщо хвостовий вітер дме 42° на захід від півночі зі швидкістю 29 миль/год.
13. Ракета летить на 63° на захід від півночі зі швидкістю 575 миль/год. Визначте фактичний напрямок ракети, якщо хвостовий вітер дме 22° на захід від півдня зі швидкістю 78 миль/год.
14. Який результуючий напрямок швидкісного човна, що мчить на 66.5 миль/год, очолив 80° на захід від півдня на 611 миль/год, якщо хвостовий вітер штовхає його у напрямку 89° на схід від півдня на 4.5 миль/год?
15. Кілька злих лиходіїв тримають Людина-павука на місці з мотузками. Якщо Френкі з плоским носом тягне з постійною силою 19 фунтів, 44° до горизонталі, Green-Toe Гері тягне з постійною силою 29 фунтів уздовж 31° до горизонталі, а Jelly-Knee Jennifyr тягне з постійною силою 26 фунтів під кутом 33°, Наскільки важко і в якому напрямку помаранчевий підборіддя Освальд тягне, якщо Людина-павук застряг на місці?

---

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 5.11.

---

Лексика

Термін	Визначення
Джоулі	Джоулі - стандартна одиниця енергії. Один джоуль еквівалентний одному ньютон-метру.
Ньютони	Ньютони - стандартна одиниця роботи.
Правило праворуч	Правило правої руки використовується для позначення напрямку поперечного виробу. Розмістіть великий і вказівний пальці правої руки першим вектором уздовж великого пальця, а другий вектор уздовж вказівного пальця. Ваш середній палець при розширенні перпендикулярно долоні вкаже напрямок перехресного добутку двох векторів.
крутний момент	Термін крутний момент використовується для опису силоподібної властивості, яка впливає на обертання об'єкта.
Робота	Робота - це вираз того, скільки енергії потрібно для переміщення об'єкта на відстань. Робота визначається як час переміщення сили, і вимірюється в джоулів.