3.5.3: Простий і складний відсоток

Last updated
Save as PDF

Page ID: 55008

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Простий і складний відсоток

Припустимо, ви повторно домовляєтеся про допомогу з батьками. В даний час вам дають 25 доларів на тиждень, але це перше червня, і ви почали косити газон і вивозити сміття щотижня, і ви вважаєте, що ваша допомога повинна бути збільшена.

Ваш батько розглядає ситуацію і робить вам наступну пропозицію:

«Я тобі що кажу, синок. Я дам вам три варіанти вашої допомоги, ви скажете мені, якого хотіли б»

«Варіант А: Ви тримаєте $25 на тиждень»

«Варіант B: Ви берете $15 на цьому тижні, потім $16 наступного тижня, і так далі. Я буду продовжувати додавати $1 на тиждень до Нового року».

«Варіант C: Я дам вам 1 копійку на цьому тижні, а потім подвоюйте свою допомогу щотижня до першого жовтня, а потім тримайте його за такою швидкістю».

Який варіант ви б обрали?

Простий і складний відсоток

Простий відсоток - це відсотки, які нараховуються лише на основі основної суми інвестиції або кредиту. Простий відсоток розраховується як відсоток від основної суми.

Простий інтерес: i=p⋅r⋅т.

Змінна i - відсотки, p - основна сума, r - процентна ставка, а t - кількість часу нарахування відсотків. Наприклад, скажімо, ви позичаєте 2000 доларів у члена сім'ї, і наполягаєте на погашенні з відсотками. Ви погоджуєтеся виплатити 5% відсотків, а повернути гроші через 3 роки.

Відсотки, які ви будете заборгувати, становитимуть 2000 (0,05) (3) = 300 доларів. Це означає, що при погашенні кредиту ви заплатите 2300 доларів. Зверніть увагу, що відсотки, які ви сплачуєте через 3 роки, складають не 5% від початкового кредиту, а 15%, оскільки ви сплачували 5% від 2000 доларів щороку протягом 3 років.

Тепер розглянемо приклад, в якому посилюється інтерес. Скажіть, що ви вкладаєте 2000 доларів на банківський рахунок, і він заробляє 5% відсотків щорічно. Скільки коштує на рахунку після 3 років?

Складений відсоток: A (t) =p⋅ (1+r) ^t

Тут A (t) - це сума А на рахунку через певний час у роках, p rincinial - початкова інвестиція, а або ставка - процентна ставка. Зверніть увагу, що ми використовуємо (1+r) замість просто r, тому ми можемо знайти всю суму на рахунку, а не тільки сплачені відсотки.

А (т) = 2000⋅ (^1.053)

Через три роки у вас на рахунку буде 2315,25 доларів, а це означає, що ви заробили 315,25 доларів у відсотках.

Складання призводить до більшого інтересу, оскільки основний капітал, на який нараховуються відсотки, збільшується з кожним роком. Інший спосіб подивитися на це полягає в тому, що складання створює більше інтересу, тому що ви заробляєте відсотки на відсотки, а не тільки на основну суму.

Приклади

Приклад 1

Раніше вас запитали, який варіант допомоги ви виберете.

Рішення

Припустимо, ви хочете заробити якомога більше грошей до кінця року. Припустимо також, що залишилося 24 тижні.

Варіант А = 25⋅24 = $600 всього

Варіант Б = 15+16+17... +39=$609 всього

Варіант C (припускаючи 16 тижнів до жовтня) = 1⋅ (2 ¹⁶) = $655.36 щотижня після 1 жовтня.

Цілком можливо, що дорогий старий тато не сприйняв експоненціального зростання досить серйозно, йому може знадобитися друга робота!

Приклад 2

Використовуйте формулу складних відсотків, щоб визначити суму грошей в інвестиції через 20 років, якщо ви вкладаєте 2000 доларів, а процентна ставка становить 5%, що складається щорічно.

Рішення

Інвестиції будуть коштувати $5306.60.

А (т) = П (1 + р) ^т

А (20) = 2000 (1.05) ²⁰

А (20) = $5306,60

Приклад 3

Скільки часу знадобиться для 2000 доларів, інвестованих на 5%, що складають щорічно, щоб досягти 7000 доларів?

Рішення

Якщо скласти графік функції A (t) = 2000 (1.05) ^t, то можна побачити значення за будь-яку кількість років.

F-D_A23602657452017БАФ 351 АА4ДФ 822Ф1860746C3D7780 Деф 299368A+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg

Якщо ви графуєте цю функцію за допомогою графічного калькулятора, ви можете визначити значення інвестиції шляхом трасування вздовж функції або <TRACE>натиснувши на графічний калькулятор, а потім ввівши значення x.

Ви також можете вибрати інвестиційну вартість, яку ви хотіли б досягти, а потім визначити кількість років, які знадобляться для досягнення цієї суми. Знайти перетин експоненціальної функції з лінією y = 7000.

Ф-д_60е 70477Д28ББФ Б91Д02Е3009 Беб7ад00Е364АААА5Б784А2Б761Е637+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg

Тут можна побачити, що лінія і крива перетинаються трохи менше x = 26. Тому знадобиться майже 26 років, щоб інвестиції досягли 7000 доларів.

Приклад 4

Яка вартість інвестиції через 20 років, якщо вкласти $2000, а процентна ставка 5% посилюється безперервно?

Рішення

Чим частіше інтерес посилюється, тим більше він збільшується, але є межа. Кожен раз, коли ви збільшуєте кількість сполук, ви зменшуєте частку річного відсотка, який застосовується до кожного складу. Зрештою, відмінності стають настільки малими, що бути незначними. Це відоме як безперервне компаундування.

Функція A (t) = Pe ^rt - це формула, яку ми використовуємо для обчислення суми грошей, коли відсотки постійно збільшуються, а не відсотки, які складаються через дискретні проміжки часу, наприклад, щомісяця або щокварталу.

А (т) = Пе ^рт

А (20) = 2000 е ^{.05 (20)}

А (20) = 2000 е ¹

А (20) = $5436.56

Приклад 5

Порівняйте значення вкладень, наведені в таблиці. Якщо все інше тримається постійним, як компаундування впливає на вартість інвестицій?

	Принципал	р	п	т
а.	$4,000	.05	1 (річна)	8
б.	$4,000	.05	4 (щоквартально)	8
c.	$4,000	.05	12 (щомісяця)	8
д.	$4,000	.05	365 (щодня)	8
е.	$4,000	.05	8760 (погодинно)	8

Рішення

Використовуйте складну формулу відсотків. Для цього прикладу n - величина, яка змінюється:

$\ A(8)=4000\left(1+\frac{.05}{n}\right)^{8 n}$

	Принципал	р	п	т	A
а.	$4,000	.05	1 (річна)	8	$599,82
б.	$4,000	.05	4 (щоквартально)	8	$5952,52
c.	$4,000	.05	12 (щомісяця)	8	$5962,34
д.	$4,000	.05	365 (щодня)	8	$5967.14
е.	$4,000	.05	8760 (погодинно)	8	$5967,29

Графік функції$\ f(x)=4000\left(1+\frac{.05}{x}\right)^{8 x}$ наведено нижче:

F-D_CA6F57A2A507871152 CDB17706D ФЕФ 541 CF792E949F6EC755207AE1+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

Графік, здається, вказує на те, що функція має горизонтальну асимптоту на рівні $6000. Однак, якщо ми збільшимо масштаб, ми можемо побачити, що горизонтальна асимптота ближче до 5967.

F-D_1CC 29873 ФСЕ 763DBE22А 7504ФБ82С885Е88ЕФ6019207D0EB0468EC0F+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

Що це означає? Це означає, що для інвестицій в $4000, під 5% відсотків, протягом 8 років, складання все частіше і частіше ніколи не призведе до більш ніж близько $5968.00.

Приклад 6

Визначте вартість кожної інвестиції.

Ви інвестуєте 5000 доларів на рахунок, який дає 6% відсотків, що складаються щомісяця. Скільки у вас грошей після 10 років?
Ви інвестуєте 10 000 доларів на рахунок, який дає 2,5% відсотків, що складаються щоквартально. Скільки у вас грошей після 10 років?

Рішення

$5000, інвестовані протягом 10 років під 6% відсотків, посилюються щомісяця.
$\ A(t)=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t}$

$\ A(10)=5000\left(1+\frac{.06}{12}\right)^{12 \cdot 10}$

$\ A(10)=5000(1.005)^{120}$

А (10) = $9096,98
$10000, інвестовані протягом 10 років під 2,5% відсотків, складаються щоквартально.
Квартальне складання означає, що відсотки посилюються чотири рази на рік. Отже, в рівнянні n = 4.

$\ A(t)=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t}$

$\ A(10)=6000\left(1+\frac{.025}{4}\right)^{4 \cdot 10}$

$\ A(10)=6000(1.00625)^{40}$

$\ A(10)=$12,830.30$

У кожному прикладі вартість інвестицій через 10 років залежить від трьох величин: основної суми інвестицій, кількості складів на рік та процентної ставки.

Приклад 7

Скільки часу знадобиться 2000 доларів, щоб вирости до 25 000 доларів за 5% процентною ставкою?

Рішення

Знадобиться близько 50 років:

А (т) = Пе ^рт
25,000 = 2000 е ^{0,05 (т)}
12,5 = е ^{0,05 (т)}	Розділіть обидві сторони на 2000
лн 12,5 = пн е ^{0,05 (}^т⁾	Візьміть перо з обох сторін
лн 12,5 = 0,05 т лн е	Використовувати властивість power колод
пн 12,5 = 0,05 т × 1	лн е = 1
пн 12,5 = 0,5 т	Ізолювати т
$\ t=\frac{\ln 12.5}{.05} \approx 50.5$

Рецензія

Яка формула для визначення простого інтересу?
Яка формула для визначення складних відсотків?
Якби хтось вклав $4500.00, скільки б вони заробили через 4 роки, при простій процентній ставці 2%?
Кайл відкрив ощадний рахунок у липні. Він депонував $900,00. Банк виплачує просту процентну ставку 5% щорічно. Який баланс Кайла в кінці 4 років?
Після наявності рахунку протягом 6 років, скільки грошей має Роберта на рахунку, якщо її початковий депозит становив 11 000 доларів, а щорічна проста процентна ставка її банку становить 8,4%?
Том зателефонував до свого банку сьогодні, щоб перевірити залишок на його ощадному рахунку. він був здивований, виявивши залишок у розмірі 6600 доларів, коли він запустив рахунок лише з $5000,00 8 років тому. Виходячи з цих даних, яку процентну ставку банк платив на рахунку?
Джулі відкрила 4% відсотковий рахунок у банку, який щоквартально поєднує відсотки. Якби Джулі внесла $3000,00 на рахунок на початку року, скільки вона могла б очікувати в кінці року?
Сьюзен вже кілька років має ощадний рахунок. Банк виплачував їй прості відсотки за ставкою 5%. Вона заробила $45.00 на її початковий депозит $300.00. Як довго у неї був рахунок?
Який залишок на депозиті $818.00 заробляє 5% відсотків, що складаються півроку протягом 5 років?
Карен зробила гідні інвестиції. Через 4 роки вона мала 3250,00 доларів на своєму рахунку і очікує мати 16 250 доларів, ще через 4 роки. Її ощадний рахунок - це складний відсотковий рахунок. Скільки коштував її початковий депозит?
Яка щорічна проста процентна ставка, яку заробляє Кен, якщо лише через три місяці він заробив $16.00 на початковому депозиті $800.00?
Напишіть вираз, який правильно представляє залишок на рахунку через 7 років, якщо рахунок складався щорічно зі ставкою 5%, з початковим балансом $1000.00
Керіл дає кожному з трьох своїх дітей по 3000,00 доларів кожен, і кожен з них використовує його, щоб відкрити ощадні рахунки в трьох різних банках. Грузія, його найстарша, заробляє 3% щорічно у своєму банку. Кірк заробляє 7% щорічно у своєму банку. Банк Лотті платить їй річну ставку 4%. Наприкінці 6 років покаже, що кожен з них матиме у своїх відповідних рахунках.
Кеті отримує чек на спадщину на 3000,00 доларів і вирішує помістити його на ощадний рахунок, щоб вона могла відправити дочку до коледжу, коли вона стане старше. Подивившись, вона знаходить рахунок, який щорічно виплачує відсотки за ставкою 14% $. Залишок на рахунку може бути представлений функцією, де х - час в роках. Напишіть функцію, а потім за допомогою неї визначте, скільки буде на рахунку в кінці 7 років.
Стен запізнюється на оплату автомобіля. Фінансова компанія нараховує 3% відсотків на місяць, коли запізнюється. Його щомісячний платіж становить $300.00. Яку загальну суму він заборгує, якщо він сплатить перший серпневий рахунок жовтня першим? (припускаючи, що він зміг зробити свій вересневий законопроект вчасно)

Сьогодні ви отримуєте свою першу кредитну картку. Він стягує 12,49% відсотків на всі покупки та з'єднання, які щомісяця відсотки. Протягом одного дня ви максимальний кредитний ліміт $1,200.00.

Якщо ви сплачуєте щомісячні нараховані відсотки плюс $50,00 до початкової суми 1,200 доларів щомісяця, скільки ви все ще будете заборгувати наприкінці перших 12 місяців?
Скільки ви заплатите загалом наприкінці року?

Ви готуєтеся до виходу на пенсію. Ви інвестуєте 10 000 доларів протягом 5 років, на рахунок, який щомісяця складається зі 12% на рік. Однак, якщо ці гроші не знаходяться в IRA або іншому безподатковому транспортному засобі, з нульовою інфляцією, ви також маєте щорічний податковий платіж 30% від зароблених відсотків.

Скільки у вас буде через 5 років?
Тепер візьміть до уваги, що гроші втрачають 3% вартості витрат на рік через інфляцію, скільки дійсно коштує те, що ви заощадили в кінці 5 років?

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 3.11.

Лексика

Термін	Визначення
Нарахування	Нарахування означає «збільшення суми або вартості з плином часу». Якщо відсотки нараховуються на банківський рахунок, у вас на рахунку буде більше грошей. Якщо відсотки нараховуються по кредиту, ви будете заборгувати більше грошей своєму кредитору.
Складні відсотки	Складні відсотки відносяться до відсотків, зароблених на загальну суму в момент її складання, включаючи раніше зароблені відсотки.
Безперервне компаундування	Постійне складання відноситься до позики або інвестицій з відсотками, які посилюються постійно, а не за певним графіком. Це еквівалентно нескінченно багатьом, але нескінченно малим періодам складання.
Принципал	Основна сума - це сума початкового кредиту або оригінального депозиту.
Ставка	Ставка - це відсоток, за яким нараховуються відсотки.

Атрибуції зображень

[Малюнок 1]
Кредит: CK-12
Джерело: CK-12
[Малюнок 2]
Кредит: CK-12
Джерело: CK-12