3.5.2: Логарифмічні моделі
- Page ID
- 55013
Логарифмічні моделі
На попередніх уроках ви використовували експоненціальну модель для прогнозування населення міста на основі постійних темпів зростання, таких як 6% на рік.
Однак у реальному світі населення часто не просто зростає безперервно і без обмежень. Спочатку містечко, засноване поблизу зручного джерела води, може рости дуже швидко, але розширення різко сповільниться, оскільки будинки та підприємства закінчуються з місця біля джерела води, і потрібно починати транспортувати воду все далі і далі.
Як можна змоделювати подібну ситуацію за допомогою рівняння?
Логарифмічні моделі
На попередньому уроці ми розглянули розв'язки простих рівнянь журналу. Тепер ми повернемося до цієї теми і досліджуємо кілька більш складних прикладів. Вирішення більш складних рівнянь журналу може бути менш складним, ніж ви можете подумати, використовуючи наші знання про властивості журналу.
Для прикладу розглянемо журнал рівняння 2 (х) + лог 2 (х - 2) = 3. Ми можемо вирішити це рівняння за допомогою властивості log.
| журнал 2 (х) + журнал 2 (х - 2) = 3 | |
|---|---|
| журнал 2 (х (х - 2)) = 3 | журнал б х + журнал б у = журнал б (xy) |
| колода 2 (х 2 - 2 х) = 3 ⇒ | записати рівняння в експоненціальній формі. |
| 2 3 = х 2 - 2 х | |
| х 2 - 2 х - 8 = 0 | Розв'яжіть отриману квадратичну |
| (х - 4) (х + 2) = 0 | |
| х = -2, 4 |
Отримана квадратика має два рішення. Однак лише x = 4 є рішенням нашого вихідного рівняння, оскільки журнал 2 (-2) не визначено. Ми називаємо х = -2 стороннім рішенням.
Приклади
Раніше вас запитали, як можна моделювати ситуацію за допомогою рівняння.
Рішення
Популяція, яка постійно збільшується з постійною швидкістю, може бути змодельована за допомогою експоненціальної функції.
Популяція, яка швидко збільшується, а потім вирівнюється, може бути змодельована за допомогою логарифмічної функції.
Вирішіть кожне рівняння.
- журнал (х + 2) + журнал 3 = 2
- лн (х + 2) - лн (х) = 1
Рішення
-
журнал (3 (х + 2)) = 2 журнал б х + журнал б у = журнал б (xy) колода (3 х + 6) = 2 Спрощення виразу 3 (x +2) 10 2 = 3 х + 6 Запишіть вираз журналу в експоненціальній формі 100 = 3 х + 6 3 х = 94 Розв'яжіть лінійне рівняння х = 94/3 -
\(\ \ln \left(\frac{x+2}{x}\right)=1\) \(\ \log _{b} x-\log _{b} y=\log _{b}\left(\frac{x}{y}\right)\) \(\ e^{1}=\frac{x+2}{x}\) Запишіть вираз журналу в експоненціальній формі. ex=x+2 Помножте обидві сторони на x. ex−x=2 Фактор з х. x (e−1) =2 Ізолювати x. \(\ x=\frac{2}{e-1}\) Рішення вище є точним рішенням. Якщо ми хочемо десяткового наближення, ми можемо використовувати калькулятор, щоб знайти, що х ≈ 1,16. Ми також можемо скористатися графічним калькулятором, щоб знайти приблизне рішення. Розглянемо знову рівняння ln (х + 2) - ln (x) = 1. Ми можемо вирішити це рівняння, вирішивши систему:
\ (\\ ліворуч\ {\ begin {масив} {l}
y=\ ln (x+2) -\ ln (x)\\
y=1
\ end {масив}\ вправо.\)Якщо ви графуєте систему на графічному калькуляторі, ви повинні побачити, що крива і горизонтальна лінія перетинаються в одній точці. Використовуючи функцію INTERSECT в меню CALC (натисніть <2nd>[CALC]), ви повинні виявити, що координата x точки перетину дорівнює приблизно 1,16. Цей метод дозволить знайти приблизні рішення для більш складних рівнянь журналу.
Використовуйте графічний калькулятор для вирішення кожного рівняння:
- журнал (5 - х) + 1 = журнал х
- журнал 2 (3 х + 8) + 1 = журнал 3 (10 - х)
Рішення
- Графіки y = log (5 - x) + 1 і y = log x перетинаються на х ≈ 4,5454545.
Тому рішення рівняння дорівнює х ≈ 4,54.
- По-перше, для того, щоб скласти графік рівнянь, необхідно переписати їх в терміні загального колоди або натурального колоди. Отримані рівняння такі:\(\ y=\frac{\log (3 x+8)}{\log 2}+1 \text { and } y=\frac{\log (10-x)}{\log 3}\) Графіки цих функцій перетинаються при x ≈ -1,87. Ця величина є приблизним рішенням рівняння.
Розглянемо зростання чисельності населення:
| Рік | Населення |
|---|---|
| 1 | 2000 |
| 5 | 4200 |
| 10 | 6500 |
| 20 | 8800 |
| 30 | 10500 |
| 40 | 12500 |
Рішення
Якщо ми побудуємо ці дані, то побачимо, що зростання не зовсім лінійне, і воно також не є експоненціальним.
Ми можемо знайти логарифмічну функцію для моделювання цих даних. Спочатку введіть дані в таблицю в L1 і L2. Потім натисніть STAT, щоб перейти до меню CALC. Цього разу виберіть варіант 9. Ви повинні отримати функцію y = 930.4954615 + 2780.218173 ln x Якщо переглянути графік і точки даних разом, як описано в Технологічній Примітці вище, ви побачите, що графік функції не стосується точок даних, а моделює загальну тенденцію даних.
Примітка про технології: ви також можете зробити це за допомогою електронної таблиці Excel. Введіть дані на аркуші та створіть розсіювач, вставивши діаграму. Після створення діаграми в меню діаграми виберіть «додати лінію тренду». Потім ви зможете вибрати тип функції. Зверніть увагу, що якщо ви хочете використовувати логарифмічну функцію, домен вашого набору даних повинен бути додатним числом. Меню діаграми насправді не дозволить вам вибрати логарифмічну лінію тренду, якщо ваші дані включають нульові або негативні значення x. Дивіться нижче:
Розв'язувати для x: log2x−log2 (x−4) =12.
Рішення
Щоб вирішити журнал 2 x−log 2 (x−4) =12:
\(\ \log _{2} \frac{x}{x-4}=12\): Використання\(\ \log _{x} y-\log _{x} z=\log _{x} \frac{y}{z}\)
\(\ 2^{12}=\frac{x}{x-4}\): Напишіть в експоненціальній формі
\(\ 4,096=\frac{x}{x-4}\): За допомогою калькулятора
4,096x−16384=x: помножити обидві сторони на x−4
4,095x=16,384: Спрощення
x=4: Розділити
Біологи використовують формулу n=k⋅loga для оцінки кількості видів n, що мешкають у даній області A шляхом множення на константу k, яка змінюється за місцем розташування. Якщо конкретний тропічний ліс має постійний k 943, скільки видів, за оцінками, живуть на площі 950 км 2?
Рішення
Щоб знайти кількість видів на ділянці 950км 2:
n=943⋅log950: Підставляємо задані значення k та A
n=943⋅2.977: За допомогою калькулятора
n=2,807
Тому 2,807 видів, ймовірно, будуть жити в цьому районі.
Рецензія
Експрес 1-7 в експоненціальній формі:
- \(\ \log _{12} \frac{1}{1728}=-3\)
- \(\ \log _{216} 6=\frac{1}{3}\)
- \(\ \log _{\frac{1}{3}} \frac{1}{9}=3\)
- \(\ \log _{\frac{1}{4}} \frac{1}{16}=2\)
- \(\ \log _{5} 125=3\)
- \(\ \log _{15} 225=2\)
- \(\ \log _{25} 5=\frac{1}{2}\)
Для питань 8-13 вирішуйте для х.
- \(\ \log _{x} 64=2\)
- \(\ \log _{3} 6561=x\)
- \(\ \log _{5} x=4\)
- \(\ \log _{x} 27=3\)
- \(\ \log _{2} x=6\)
- \(\ \log _{4} 64=x\)
Для питань 14-19 вирішуйте для х.
- \(\ 4 \log \left(\frac{x}{5}\right)+\log \left(\frac{625}{4}\right)=2 \log x\)
- \(\ \log _{5} z+\frac{\log _{5} 125}{\log _{5} x}=\frac{7}{2}\)
- \(\ \log p=\frac{2-\log p}{\log p}\)
- \(\ 2\log x−2\log (x+1)=0\)
- \(\ \log(25−z^3)−3\log(4−z)=0\)
- \(\ \frac{\log \left(35-y^{3}\right)}{\log (5-y)}=3\)
Огляд (Відповіді)
Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 3.10.
Лексика
| Термін | Визначення |
|---|---|
| Загальний журнал | Загальний логарифм - це колода з підставою 10. Колоду зазвичай пишуть без підстави. |
| Загальний логарифм | Загальний логарифм - це колода з підставою 10. Колоду зазвичай пишуть без підстави. |
| експоненціальна модель | Експоненціальна модель - це функція, що відображає величину, яка зростає або розпадається зі швидкістю, пропорційною її поточному значенню. |
| стороннє рішення | Стороннє рішення - це рішення спрощеного варіанту вихідного рівняння, яке при перевірці в початковому рівнянні фактично не є рішенням. |
| Логарифмічні функції | Логарифмічні функції є оберненнями експоненціальних функцій. Нагадаємо, що журнал b n=a еквівалентний b a =n. |
| Природний журнал | Натуральний логарифм - це лог з основою e, натуральний логарифм записується як ln. |
| Натуральний логарифм | Натуральний логарифм - це лог з основою e, натуральний логарифм записується як ln. |