3.5.4: Число е

Last updated
Save as PDF

Page ID: 55003

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Трансцендентне число e та природний журнал

Трансцендентне число e

У цьому розділі представлено трансцендентне число e , яке є особливим числом, яке вважається природною основою. Окрім вивчення того, як спростити та вирішити рівняння за допомогою e , цей розділ також досліджує, як його можна використовувати для розуміння складного інтересу та реальних життєвих ситуацій з експоненціальним зростанням та розпадом.

Розминка

Складання відсотків щомісяця, щорічно або протягом будь-якого іншого дискретного інтервалу можна легко моделювати за допомогою експоненціальних функцій. Використовуйте інтерактивні нижче, щоб вивчити експоненціальну модель, яка щороку з'єднується. Пізніше в цьому розділі ви побачите, як число е можна використовувати для моделювання процентних ставок, які постійно ускладнюються.

Інтерактивний*

Розслідування

Опрацюйте це 1

Джанна відкриває ощадний рахунок на 1000 доларів і нараховує відсотки щомісяця за ставкою 5%. Який залишок на рахунку після першого місяця? Через 2 місяці? Через 1 рік? Через 2 роки? Чи можете ви написати рівняння, яке дозволило б визначити залишок на рахунку через m місяців?

Подивіться на процес, який ви використовували для обчислення значення після другого місяця. Ви почали з $1,000, який називається Принципал, і помножили його на 1,05 (це те саме, що додати 5% від вартості Принципала назад до Принципала). Другий місяць ви знову помножили на 1,05 і продовжуватимете робити це стільки місяців, скільки ви намагаєтеся обчислити. Це повторне множення говорить про те, що рівняння буде містити показник.

Обговорення

Через 1 місяць її банківський рахунок матиме початкові $1,000 плюс 5% відсотків ($50,00), або $1,050,00. Після другого місяця вона матиме щомісячний стартовий баланс (1 050,00 доларів) плюс 5% від цього ($52.50), або загалом $1,102,50. Ви можете продовжити цей процес, щоб розрахувати її баланс через 1 або 2 роки. Чи є ярлик? Іншими словами, яке рівняння дозволило б вам швидше визначити її баланс?

Працюйте це 2

Почніть з рівняння:$\ \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$.

Побудувати таблицю, яка показує, що відбувається із загальним значенням цього виразу, коли n стає більшим. Округляйте кожну десяткову кому до найближчих 4 знаків після коми.
Виходячи з вашої таблиці, чи здається, що загальна вартість наближається до певної кількості? Якщо так, то що, на вашу думку, це число?
Оцініть значення виразу при n=100 і коли n=1,000.
Поясніть, як ви зробили ці оцінки.
Коли n наближається до нескінченності, до чого наближається значення виразу?

Обговорення

Початок до таблиці нижче. Заповніть відсутні значення і продовжуйте додавати інші.

п	$\ \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$
1	$\ \left(1+\frac{1}{1}\right)^{1}=2$
2	$\ \left(1+\frac{1}{2}\right)^{2}=2.25$
3	$\ \left(1+\frac{1}{3}\right)^{3}=$
10
25

Що ви помічаєте про значення, коли n стає більше? Як ви можете використовувати цю таблицю для прогнозування значення виразу, коли n = 100 і n = 1,000?

Як n наближається до позитивної нескінченності,$\ \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$ наближається до 2.718281828459.

Ви можете бачити, що значення цього виразу ніколи не досягне 3, а скоріше число 2.718... вище. Це число має особливу назву: е.

Число е

e - число, яке$\ \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$ наближається до n→ ∞. e - ірраціональне число, яке наближається до 2.718281828459.

е також називають натуральним числом (або базовим), або числом Ейлера, названим на честь швейцарського математика Леонхарда Ейлера, який популяризував використання літери е для константи.

Графік та спрощення

Працюйте над цим 3

Графік рівняння y = 2 ^x і y=3 ^x на одній осі за допомогою графічної утиліти.

Спираючись на те, що ви дізналися вище, як би ви очікували, що графік y = e ^x буде виглядати?
Що таке асимптота?
Що таке y-перехоплення?
Що таке домен і діапазон?

Обговорення

Графік двох заданих рівнянь наведено нижче. Враховуючи зазначене вище значення e, як ви думаєте, як виглядатиме графік y = e ^x, і де б він був на цьому графіку?

F-D_485Faeeddc2BB77910259922AFA58F36284D830EB53660DC5A5378+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_поштова листівка_крихітка_jpg

Як ви думаєте, що асимптота для y=e ^x буде дано те, що відбувається з графіком, коли він наближається до осі x?

Яке значення будь-якого числа піднято до потужності 0? Як це допоможе вам визначити y-перехоплення?

Як ви можете використовувати цей графік для визначення діапазону (значення y) та області (значення x)?

Приклад 1

Спростити е ² ⋅е ⁴.

Рішення

Закони експонентів застосовуються з e як основа. Оскільки ці основи однакові, ви можете просто додати експоненти. Відповідь - e ⁶.

Використання калькулятора з журналами

Значення e має ще одну спільну мету: пошук журналу на калькуляторі.

Можливо, ви помітили, що більшість калькуляторів мають лише дві функції журналу, LOG та LN.

Функція LOG насправді є «загальним журналом», log10x, і вона використовується в багатьох реальних сценаріях, таких як PH, магнітуда землетрусу та звуковий тиск.
Функція LN - це «природний журнал», logex, і використовується в багатьох, багатьох розрахунках, пов'язаних з постійним зростанням фінансів та наук.

Для того, щоб використовувати ці функції з іншими лагами, спочатку змініть існуючу базу на 10 або e зі зміною базової формули:

$\ \log _{b} x=\frac{\log x}{\log b} \quad \text { OR } \quad \log _{b} x=\frac{\ln x}{\ln b}$

Зміна базової формули дозволяє оцінювати будь-яку базу як базу 10 або базу e.

Приклад 2

Скористайтеся калькулятором і зміною базової формули, щоб визначити значення$\ \log_7247$.

Рішення

Спочатку застосуйте зміну базової формули для перетворення в LN або LOG (процес однаковий, це просто залежить від функції, яку ви хочете використовувати на калькуляторі):

$\ \log _{7} 247=\frac{\ln 7}{\ln 247}$

Потім скористайтеся функцією LN, щоб знайти природний журнал 7 і 247:

$\ \frac{\ln 7}{\ln 247}=\frac{2.4}{0.8} \approx 2.831$

Працюйте над цим 4

Оцініть кожен журнал. Пам'ятайте про це$\ \log x=\log_{10}x$. Використовуйте калькулятор в міру необхідності.

$\ \log 1 $
$\ \log 100$
$\ \ln 100$
$\ \log_3 29$
$\ \log_9 0.518$

Розв'язування рівнянь природного журналу

Працюйте це 5

Вирішіть наступне логарифмічне рівняння і перевірте свою відповідь.

$\ 3\ln(−x)−5=10$

Обговорення

Спочатку додайте 5 з обох сторін, а потім розділіть на 3, щоб ізолювати натуральне колоду. Нагадаємо, що обернене натурального колоди - це натуральне число. Тому все потрібно поставити в експоненту е, щоб позбутися від колоди.

Приклад 3

Перепишіть наступний вираз під одним журналом.

$\ \ln e−\ln4x+2(e^{\ln x}⋅\ln5)$

Рішення

Застосовуємо властивості логарифмів:

\ (\\ почати {вирівняний}
\ ln е-\ ln 4 x+2\ ліворуч (e^ {\ ln x}\ cdot\ ln 5\ праворуч) &=\ ln\ ліворуч (\ frac {e} {4 x}\ праворуч) +2 х\ cdot\ ln\ ln\
&=\ ln\ ліворуч (\ frac {e} {4 x}\ праворуч) +\ ln\ ліворуч (\ {2 x}\ праворуч)\\
&=\ ln\ ліворуч (\ frac {e\ cdot 5^ {2 x}} {4 x}\ праворуч)
\ кінець {вирівняний }\)

Приклад 4

Вирішити:$\ \ln(x−1)−\ln(x+1)=8$.

Рішення

Почніть з ущільнення лівої сторони за допомогою Коефіцієнтного Правила. Оскільки ця проблема включає природні журнали, вам потрібно буде поставити все в експоненту e.

\ (\\ почати {вирівняний}
\ ln (x-1) -\ ln (x+1) &=8
\\\ ln\ ліворуч (\ розриву {x-1} {x+1}
\ праворуч) &= 8\\\ розриву {
x-1} {x+1} &=e^ {8}\\
x-1 & =( x+1) e^ {8}} +e^ {8}\\
х-х е^ {8} &=1+e^ {8}\\
x\ ліворуч (1-е^ {8}\ праворуч) &=1+e^ {8}\\
x &=\ розрив {1+e^ {8}} {1-e^ {8}}\ приблизно-1.0007
\ кінець {вирівняний}\)

Рішення становить приблизно -1.0007, що ви можете перевірити, підключивши його назад до рівняння. У кінцевому підсумку ви отримаєте ln (−1.0007−1) −ln (−1.0007+1) =8, і оскільки ви не можете взяти журнал від'ємного числа, для цього рівняння немає розв'язку. Якщо ви графуєте ліву і праву сторону, ви також можете побачити, що рішення не існує.

Безперервний експоненціальний ріст і розпад

Приклад 5

Відсотки на суму грошей, яка постійно поєднується, можна обчислити за формулою I=Pe ^rt −P, де P - сума інвестування (основна сума), r - процентна ставка, а t - сума часу вкладення грошей. Якщо ви інвестуєте 1,000 доларів на банківський рахунок, який сплачує 2,5% відсотків, що постійно посилюються, і ви залишаєте гроші на цьому рахунку протягом 4 років, скільки відсотків ви заробляєте?

Рішення

Підключіть задані значення до рівняння I=Pe ^rt −P і розв'яжіть для I.

\ (\\ почати {масив} {л} I
= P e^ {r t} -P\\ I
= 1000\ cdot e^ {0,025\ cdot 4}
-1000\ cdot e^ {0,1} -1000\\ I
= 1000\ cdot 1.10517-1000\
I=1105.17-1000\
I=105.17
\ кінець {масив}\)

Тому в кінці 4 років ви заробили 105,17$ в процентах.

Працюйте над цим 6

Джанна відкриває ощадний рахунок на 1000 доларів, і він постійно нараховує відсотки зі ставкою 5%. Який залишок на рахунку після 6 років?

Обговорення

Цей приклад будується на активному навчанні 1. Тут відсотки постійно сполучаються, що відрізняється від проблем слів, які передбачають складання відсотків щомісяця, щокварталу, щорічно тощо (іншими словами, через певні проміжки часу). Рівняння змінюється незначно, від$\ A=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t} \text { to } A=P e^{r t}$, без n, тому що більше немає ніякого інтервалу.

Яке рівняння для цього сценарію? Як можна за допомогою рівняння визначити залишок на рахунку після 6 років?

Розробити це 7

Визначте,$\ y=\frac{1}{2} e^{x}$ чи є експоненціальним зростанням, розпадом чи ні.

Обговорення

Нагадаємо, що щоб бути експоненціальним зростанням, база повинна бути більше одиниці. Щоб бути експоненціальним розпадом, основа повинна знаходитися між нулем і одиницею.

Отже, це рівняння росту, рівняння розпаду чи ні? Чому?

Працюйте над цим 8

Швидкість радіоактивного розпаду радію моделюється R=Pe ^−0,00043t, де R - кількість (у грамах) радію, присутнього через t років, а P - початкова кількість (також у грамах). Якщо через 5000 років присутній 698,9 грам радію, якою була початкова кількість?

Обговорення

Як можна використовувати формулу, наведену в задачі, для написання рівняння? Які кроки потрібні для вирішення рівняння для Р?

* Інтерактивний

Рецензія

Визначте, чи є наступні функції експоненціальним зростанням, розпадом чи ні. Дайте привід для вашої відповіді.

$\ y=\frac{4}{3} e^{x}$
$\ y=\left(\frac{1}{e}\right)^{x}+2$

Спростіть наступні вирази за допомогою e.

$\ e^{-3} \cdot e^{12}$
$\ \frac{5 e^{-4}}{e^{3}}$
$\ \left(\frac{4 e^{4}}{3 e^{-2} e^{3}}\right)^{-2}$

Вирішіть наступні проблеми зі словами.

Населення Спрінгфілда зростає в геометричній прогресії. Зростання може бути змодельовано функцією P=Ie ^0,055t, де P представляє прогнозовану сукупність, I представляє поточну чисельність населення 100 000 у 2012 році і t представляє кількість років після 2012 року.

Графік цього рівняння.
До найближчої людини, яким буде населення в 2022 році?
У якому році населення подвоїться в розмірах, якщо цей темп зростання збережеться?

Значення автомобіля Стіва зменшується у вартості відповідно до експоненціальної функції розпаду: V=Pe ^−0,12t, де V - поточна вартість транспортного засобу, t - кількість років, які Стів володів автомобілем, а P - ціна покупки автомобіля, $25 000.

До найближчого долара, якою буде вартість автомобіля Стіва через 2 роки?
До найближчого долара, яке значення буде через 10 років?

Naya інвестує $5,000 в рахунок, який щомісяця нараховує відсотки за ставкою 2%.

Напишіть експоненціальну функцію зростання для моделювання вартості її інвестицій через t років.
Скільки сумарних відсотків заробляє Ная за перші вісім місяців до найближчого долара?
Скільки грошей, до найближчого долара, знаходиться на рахунку через 3 роки?

Малкольм інвестує $7500 в рахунок, який постійно нараховує відсотки зі ставкою 4,5%.

Напишіть експоненціальну функцію зростання для моделювання вартості його інвестицій через t років.
Скільки відсотків заробляє Малкольм в перші півроку до найближчого долара?
Скільки грошей, до найближчого долара, знаходиться на рахунку через 8 років?

Опрацюйте це

п	\(\ \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\)
1	\(\ \left(1+\frac{1}{1}\right)^{1}=2\)
2	\(\ \left(1+\frac{1}{2}\right)^{2}=2.25\)
3	\(\ \left(1+\frac{1}{3}\right)^{3}=\)
10
25