3.4.2: Загальні та природні логарифми

Last updated
Save as PDF

Page ID: 55030

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Загальні та природні логарифми

На даний момент ви знаєте, що журнал ₂ 64=x може бути вирішений, якщо ви визнаєте, що 2 ⁶ = 64. А як щодо чисел, які не такі «чисті»? Є не так багато людей, які могли б обчислити відповідь на журнал ₇ 247=x у своїй голові! Було б здорово використовувати калькулятор, але більшість мають лише дві функції журналу: base 10 і base e.

Чи є спосіб конвертувати з однієї бази в іншу, щоб ми могли використовувати калькулятор?

Загальні та природні логарифми

Хоча функція журналу може мати будь-яке додатне число в якості основи, насправді існує лише дві основи, які зазвичай використовуються в реальному світі. Обидва можуть бути написані без зазначеної бази, наприклад: logx, тому вам може знадобитися використовувати контекст, щоб вирішити, який з них підходить.

Звичайне колоду являє собою колоду з підставою 10. Він використовується для визначення рН, магнітуди землетрусу та рівнів децибел звуку, серед багатьох інших загальних реальних значень.

Природний журнал, іноді написаний ln (x), являє собою колоду з основою e. Трансцендентне число е становить приблизно 2.71828 і використовується в будь-якій кількості розрахунків, пов'язаних з постійним зростанням в хімії, фізиці, біології, фінансах тощо.

Використання калькулятора для журналів

Можливо, ви помітили, що загальний журнал і природний журнал є єдиними кнопками журналу на вашому калькуляторі. Ми можемо використовувати або загальний журнал, або природний журнал, щоб знайти значення колод з іншими основами.

Рівняння\(\ \log _{b} x=\frac{\log x}{\log b}\) називається зміною базової формули, і може бути використано для перетворення на загальний журнал або натуральний журнал.

Ви також можете побачити зміну базової формули як\(\ \log _{b} x=\frac{\ln x}{\ln b}\), яка є тією ж формулою, яка визначає перетворення в натуральний журнал.

Використовуючи зміну базової формули, ми можемо знайти загальний журнал (або природний журнал) еквівалент будь-якої іншої бази, щоб ми могли використовувати калькулятор, щоб знайти значення виразу.

Розглянемо журнал ₃ 35. Якщо ми використовуємо зміну базової формули для перетворення в базу 10, а потім кнопку журналу на калькуляторі, ми знайдемо, що\(\ \log _{3} 35=\frac{\log 35}{\log 3}=3.23621727\).

Приклади

Приклад 1

Раніше вам було запропоновано вирішити таку проблему:\(\ \log _{7} 247=x\)

Рішення

Використовуючи зміну базової формули:\(\ \log _{7} 247=\frac{\log 247}{\log 7}\)

За допомогою калькулятора знайти загальні колоди 247 і 7, отримуємо (приблизно)\(\ \frac{2.4}{.8}=2.8313\).

Ми можемо перевірити\(\ 7^{2.8313}=247\)

\(\ \therefore \log _{7} 247=2.8313\)

Приклад 2

Оцініть кожен журнал.

Пам'ятайте, що logx (без вказаної бази) зазвичай відноситься до журналу ₁₀ x.

\(\ \log 1\)
\(\ \log 10\)
\(\ \log \sqrt{10}\)

Рішення

\(\ \log 1=0 \text { because } 10^{0}=1\)
\(\ \log 10=1 \text { because } 10^{1}=10\)
\(\ \log \sqrt{10}=\frac{1}{2} \text { because } \sqrt{10}=10^{1 / 2}\)

Приклад 3

Для кожного значення журналу визначте два цілих числа, між якими має лежати значення журналу. Потім за допомогою калькулятора знайти значення колоди.

\(\ \log 50\)
\(\ \log 818\)

Рішення

Значення цього колоди має бути між 1 і 2, так як 10 ¹ = 10, а 10 ² = 100.
Використовуючи калькулятор, ви повинні знайти цей журнал 50 ≈ 1.698970004.
Значення цього колоди має бути між 2 і 3, так як 10 ² = 100, а 10 ³ = 1000.
Використовуючи калькулятор, ви повинні знайти, що журнал 818 ≈ 2.912753304.

Приклад 4

Оцініть значення, а потім скористайтеся зміною базової формули, щоб знайти значення\(\ \log _{2} 17\).

Рішення

\(\ \log _{2} 17\)близький до 4, тому що 2 ⁴ = 16 і 2 ⁵ =32.

Використовуючи зміну базової формули, ми маємо\(\ \log _{2} 17=\frac{\log 17}{\log 2}\).

За допомогою калькулятора слід виявити, що приблизне значення цього виразу дорівнює 4.087462841.

Приклад 5

Знайдіть значення кожного натурального колоди.

\(\ \ln 100\)
\(\ \ln \sqrt{e}\)

Рішення

\(\ \ln 100\)знаходиться між 4 і 5. Оцінити це можна шляхом округлення e до 3, і враховуючи повноваження 3:
3^ {4} =81\ текст {і} 3^ {5} =243

Використовуючи калькулятор, ви повинні знайти, що\(\ \ln 100=4.605171086\)
Нагадаємо, що квадратний корінь - це те ж саме, що і показник 1/2.
Тому\(\ \ln \sqrt{e}=\ln \left(e^{1 / 2}\right)=1 / 2\)

Приклад 6

Розв'яжіть рівняння:\(\ 5^{x}=3 \cdot 7^{x}\)

Рішення

Вирішити:\(\ 3^{x}\left(2^{3 x}\right)=7\left(5^{x}\right)\)

\(\ 3^{x}\left(2^{3}\right)^{x}=7\left(5^{x}\right)\): Правило експонентів\(\ \left(x^{y}\right)^{z}=x^{y z}\)

\(\ 3^{x}\left(8^{x}\right)=7\left(5^{x}\right) \rightarrow 24^{x}=7\left(5^{x}\right)\): За множенням

\(\ \left(\frac{24}{5}\right)^{x}=7\): Розділити обидві сторони на\(\ 5^x\)

\(\ \log \left(\frac{24}{5}\right)^{x}=\log 7\): Візьміть колоду з обох сторін

\(\ x \log \left(\frac{24}{5}\right)=\log 7\): Використання\(\ \log x^{y}=y \log x\)

\(\ x=\frac{\log 7}{\log \frac{24}{5}}\): Розділити обидві сторони на\(\ \log \left(\frac{24}{5}\right)\)

\(\ x=1.24\): За допомогою калькулятора

Приклад 7

Знайдіть значення:\(\ \ln 6+\ln 7\)

Рішення

Скористайтеся калькулятором, щоб знайти значення:

\(\ \ln 6=1.79175 \text { and } \ln 7=1.94591\)

1,79175 + 1,94591 = 3,73766

Рецензія

Що таке загальний логарифм? Де найчастіше використовуються звичайні колоди?
Що таке натуральний логарифм? Де зазвичай використовуються натуральні колоди?

Оцініть кожен вираз:

\(\ \log \frac{17^{4}}{5}\)
\(\ \log 7\left(4^{3}\right)\)

Перетворити в загальний логарифм і оцінити:

\(\ \log _{6} 832\)
\(\ \log _{11} 47\)
\(\ \log _{3} 9\)

Перетворити в натуральний логарифм і оцінити:

\(\ \log _{7} 91\)
\(\ \log_5256\)
\(\ \log_90.712\)

Знайдіть значення натуральних логарифмів:

\(\ \ln56\)
\(\ \ln2000\)
\(\ \ln950.1\)
\(\ \ln.9\)

Перетворіть природні журнали в експоненціальну форму та вирішуйте.

Якщо\(\ \text { lne }=x \text { and } e^{x}=e \text { then } x=?\)
Якщо\(\ \ln e^{5} \text { then } x=?\)
Якщо\(\ \ln e^{a}=x \text { then } x=?\)
Якщо\(\ \ln e^{-3}=x \text { then } x=?\)

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 3.8.

Лексика

Термін	Визначення
е	е - ірраціональне число, яке приблизно дорівнює 2.71828. Як\(\ n \rightarrow \infty,\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \rightarrow e\).
Зміна базової формули	Нехай b, x і y будуть додатними числами, b1 і y1. Потім,\(\ \log _{y} x=\frac{\log _{b} x}{\log _{b} y}\). Більш конкретно,\(\ \log _{y} x=\frac{\log x}{\log y}\) і\(\ \log _{y} x=\frac{\ln x}{\ln y}\), щоб вирази можна було оцінити за допомогою калькулятора.
Загальний журнал	Загальний логарифм - це колода з підставою 10. Колоду зазвичай пишуть без підстави.
Загальний логарифм	Загальний логарифм - це колода з підставою 10. Колоду зазвичай пишуть без підстави.
е	е - ірраціональне число, яке приблизно дорівнює 2.71828. Як\(\ n \rightarrow \infty,\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \rightarrow e\).
Натуральний журнал	Натуральний логарифм - це лог з основою e, натуральний логарифм записується як ln.
Натуральний логарифм	Натуральний логарифм - це лог з основою e, натуральний логарифм записується як ln.
Трансцендентне число	Трансцендентне число — це число, яке не є коренем жодної раціональної поліноміальної функції. Приклади включають e і π.