Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

3.4.1: Графіки логарифмічних функцій

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    55024

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Графічні логарифмічні функції

    Ваше домашнє завдання з математики полягає в тому, щоб з'ясувати, в які квадранти потрапляє графік функції f (x) = 4ln (x+3). По дорозі додому ваш найкращий друг каже вам: «Це найпростіше домашнє завдання коли-небудь! Усі логарифмічні функції потрапляють у квадранти I та IV.» Ви не настільки впевнені, тому ви йдете додому і графік функції відповідно до інструкцій. Ваш графік падає в квадрант I, як думав ваш друг, але замість квадранта IV він також потрапляє в квадранти II та III. Хто з вас правильний?

    Графічні логарифмічні функції

    Тепер, коли нам зручніше використовувати ці функції як зворотні, давайте використаємо цю ідею для графіка логарифмічної функції. Нагадаємо, що функції є оберненнями один одного, коли вони є дзеркальними зображеннями над рядком y=x, тому, якщо відобразити y=b x над y=x, то отримаємо графік y=log b x.

    Ф-Д_80525656Ф38Ф5А7А15А4 ДБА 8С4А08637С010А86Е45ЕДС22ФК78С+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG[Малюнок 1]
    Ф-Д_75Ф2037 АЕ4А256БЕ115АЕ2Д5АА78ФЦ1Е59С20Е280Е401А548Ф197Б03+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG[Малюнок 2]

    Нагадаємо, що експоненціальна функція має горизонтальну асимптоту. Оскільки логарифм є його зворотним, він матиме вертикальну асимптоту. Загальна форма логарифмічної функції - f (x) =a log b (x−h) +k, а вертикальна асимптота дорівнює x=h. Домен x>h, а діапазон - всі дійсні числа. Нарешті, якщо b> 1, графік рухається вправо. Якщо 0<b<1, графік рухається вниз вправо.

    Давайте проведемо графік y=log 3 (x−4) і вкажемо домен і діапазон.

    F-D_8651d270561B5C075E0AF578C62724043B84970C84ABAC1D30A8761+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_jpg

    Щоб графікувати логарифмічну функцію без калькулятора, почніть з малювання вертикальної асимптоти, при x=4. Ми знаємо, що графік буде мати загальну форму першої функції вище. Ділянка кілька точок, таких як (5, 0), (7, 1), і (13, 2) і з'єднайте.

    Домен x>4, а діапазон - всі дійсні числа.

    Тепер давайте визначимо, чи є (16, 1) на y=log (x−6).

    Підключіть точку до рівняння, щоб побачити, чи воно відповідає дійсності.

    \ (\\ begin {масив} {l}
    1=\ лог (16-6)\\
    1=\ лог 10\\
    1 = 1
    \ end {масив}\)

    Так, це правда, тому (16, 1) знаходиться на графіку.

    Нарешті, давайте графік f (x) = 2ln (x+1).

    Для побудови графіків природного журналу ми можемо використовувати графічний калькулятор. Натисніть Y= і введіть у функції, Y=2LN (x+1), GRAPH.

    F-D_60d1549 АБ00033571c12973 c3a5d8d22F7EA549Fe1FDA623EC4FC5+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_jpg

    Приклади

    Приклад 1

    Раніше вас просили визначити, чи вірний ваш друг.

    Рішення

    Вертикальна асимптота функції f (x) =4ln (x+3) дорівнює x=−3. Оскільки x наближається до −3, але ніколи не досягне цього, x може припустити деякі від'ємні значення. Отже, функція буде потрапляти в квадранти II і III. Тому ви маєте рацію, а ваш друг помиляється.

    Приклад 2

    Графік\(\ y=\log _{\frac{1}{4}} x+2\) у відповідному вікні.

    Рішення

    По-перше, існує вертикальна асимптота при x = 0. Тепер визначте кілька простих точок, точок, де журнал легко знайти; такі як (1, 2), (4, 1), (8, 0,5), і (16, 0).

    F-D_59041B96B2019E7B4BE9A27911104AEF12FA39DB3C6B1C035763C3C347+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_jpg

    Щоб графікувати логарифмічну функцію за допомогою TI-83/84, введіть функцію в Y= і скористайтеся Зміною базової формули:\(\ \log _{a} x=\frac{\log _{b} x}{\log _{b} a}\). Натискання клавіш буде:\(\ Y=\frac{\log (x)}{\log \left(\frac{1}{4}\right)}+2\), GRAPH

    Щоб переглянути таблицю значень, натисніть 2-е → GRAPH.

    Приклад 3

    Графік y=−logx за допомогою графічного калькулятора. Знайдіть домен і діапазон.

    Рішення

    Натискання клавіш Y=−log (x), GRAPH.

    F-D_1B61A7E5C22993F531A044692713BCE83E9Bcd7E56d88372C9E1CB2+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка_jpg

    Домен x>0, а діапазон - всі дійсні числа.

    Приклад 4

    Є (-2, 1) на графіку\(\ f(x)=\log _{\frac{1}{2}}(x+4)\)?

    Рішення

    Підключіть (-2, 1),\(\ f(x)=\log _{\frac{1}{2}}(x+4)\) щоб побачити, чи рівняння відповідає дійсності.

    \ (\\ begin {масив} {l}
    1=\ log _ {\ frac {1} {2}} (-2+4)\\
    1=\ log _ {\ frac {1} {2}} 2\\
    1\ neq-1
    \ end {масив}\)

    Тому (-2, 1) немає на графіку. Однак (-2, -1) є.

    Рецензія

    Графік наступних логарифмічних функцій без використання калькулятора. Створіть рівняння асимптоти, області та діапазону кожної функції.

    1. \(\ y=\log _{5} x\)
    2. \(\ y=\log _{2}(x+1)\)
    3. \(\ y=\log (x)-4\)
    4. \(\ y=\log _{\frac{1}{3}}(x-1)+3\)
    5. \(\ y=-\log _{\frac{1}{2}}(x+3)-5\)
    6. \(\ y=\log _4(2-x)+2\)

    Графік наступні логарифмічні функції за допомогою графічного калькулятора.

    1. \(\ y=\ln(x+6)-1\)
    2. \(\ y=-\ln(x-1)+2\)
    3. \(\ y=\log(1-x)+3\)
    4. \(\ y=\log(x+2)-4\)
    5. Як би ви графували\(\ y=\log_4x\) на графічному калькуляторі? Графік функції.
    6. Графік\(\ y=\log_{\frac{3}{4}}x\) на графічному калькуляторі.
    7. Є (3, 8) на графіку\(\ y=\log_3(2x-3)+7\)?
    8. Є (9, -2) на графіку\(\ y=\log_{\frac{1}{4}}(x-5)\)?
    9. Є (4, 5) на графіку\(\ y=5\log_2(8-x)\)?

    Відповіді на проблеми з оглядом

    Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 8.7.

    Лексика

    Термін Визначення
    Асимптоти Асимптота - це рядок на графіку функції, що представляє значення, до якого функція може наблизитися, але не досягати (за деякими винятками).
    операція Операції - це дії, що виконуються над змінними, константами або виразами. Загальними операціями є додавання, віднімання, множення та ділення.

    Атрибуції зображень

    1. [Малюнок 1]
       Кредит: CK-12
      Джерело: CK-12
    2. [Малюнок 2]
       Кредит: CK-12
      Джерело: CK-12
    3. [Малюнок 3]
       Кредит: Фонд CK-12