33.3: Кілька претензій
- Page ID
- 51467
Коли у нас є кілька претензій, ми можемо використовувати таблиці істинності, щоб порівняти їх, і при цьому визначити більш складні відносини.
Послідовність
Перші відносини, на які ми перевіримо, - це послідовність. Послідовність - це досить прості відносини. Це означає, що претензії можуть бути правдивими одночасно. Як і у випадку з тавтологією, протиріччя та непередбачених обставин іноді буде очевидно, що дві претензії є послідовними. Наприклад, непов'язані претензії завжди будуть послідовними. Троя любить яблука, а Годзілла - король монстрів послідовний, тому що вони не мають нічого спільного один з одним, і нам не потрібна таблиця, щоб перевірити це. Тим не менш, будуть випадки, коли претензії є складними (або коли ви хочете порівняти велику кількість претензій), і таблиці можуть бути дуже корисними в цих випадках. Заради простоти ми зупинимося на парах складних речень, але немає обмежень на кількість претензій, які ви могли б перевірити на послідовність одночасно.
Що стосується того, як повинні виглядати таблиці, дві претензії узгоджуються, якщо є якийсь рядок, в якому обидва претензії вірні одночасно. Давайте подивимося на таблицю порівняння 'P v Q' і 'P & Q'.
Обидва твердження вірні на рядку 1, тому ці твердження є послідовними.
Тепер давайте розглянемо приклад, де претензії не є послідовними. Нижче наведено таблицю порівняння 'P & Q' і '~P & ~Q'.
Зверніть увагу, що немає жодної лінії, де обидві претензії відповідають дійсності, тому претензії не є послідовними. Коли претензії не є послідовними, ми говоримо, що вони несумісні, і повторюємо, це означає, що вони не можуть бути правдивими одночасно.
Еквівалентність
Ми також можемо використовувати таблиці для порівняння тверджень, щоб визначити, чи є вони логічно еквівалентними. Коли претензії логічно еквівалентні, вони обидва містять однакову інформацію. Ви можете думати про це як про два твердження, що говорять одне і те ж (навіть якщо вони не виглядають так, як вони роблять). Для перевірки на еквівалентність складаємо таблицю істинності і знову ставимо на неї обидва твердження. Якщо твердження мають однакове значення істинності на всіх рядках, то вони логічно еквівалентні. Наступна таблиця істинності показує, що «~ (P v Q)» та «~ P & ~Q» логічно еквівалентні:
Наступна таблиця істинності показує, що «P v Q» та «P & Q» не є логічно еквівалентними, оскільки результати таблиці відрізняються у рядках 2 та 3.
Вправи
Побудувати таблиці істинності для наступних наборів тверджень для перевірки на узгодженість і логічну еквівалентність.
- П в ~Q; Р → Q
- ~ (П в ~П); П & ~П
- ~ (Q v P) → Р; ~Q
- Р v [P & (Q → R)]; Р v (Q v R)
- (Р → Q) & (Q → Р); Р ← → Q
- П в ~П; П v Q
- Р ← → (Q ← → R); Р ← → R
- ← →Q; Q← → Р
- ~ (Р v ~Q); Р → Q
- P v ~ (Р ← → Q); (P & ~Q) v (~P & Q)
- Р → Q; Q → Р
- Р → Q; ~ (Q → Р)
- ~ (Р ← → Q); (~P & Q) v (П & ~Q)
- ~ (~П в ~~Q); P & ~Q
- Р ← → (Q → ~R); ~П v ~Q
- Р v (Q v R); (Р v Q) v R
- P & (Q & R); (P & R) & Q
- П & (Q v R); (П & Q) v R
- П & (Q v R); (Q v R) & P
- ~ (Р → Q) v [Р v (~Q → Р)]; (Р ← → Q) v [(P v ~P) & (Q v ~ Q)]
- Вибрані відповіді
-
- П в ~Q; Р → Q
Ці твердження є послідовними, оскільки вони узгоджуються з рядками 1 та 4, але вони не є еквівалентними, оскільки вони не погоджуються на рядках 2 та 3.
- ← →Q; Q← → Р
Ці претензії рівнозначні, оскільки вони узгоджуються з усіма рядками. Всі еквівалентні претензії є послідовними, тому вони також є послідовними.
- ~ (~П в ~~Q); P & ~Q
Перш ніж навіть робити таблицю в цьому випадку, ми можемо використовувати правила маніпулювання запереченням, щоб зробити речі простішими для нас. '~ (~P v ~~Q) 'стає 'P & ~Q'. Тепер ми могли б зробити таблицю, але ми перетворили першу претензію точно так само, як і друга, тому ми знаємо, що вони еквівалентні.