Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

33.3: Кілька претензій

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    51467

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Коли у нас є кілька претензій, ми можемо використовувати таблиці істинності, щоб порівняти їх, і при цьому визначити більш складні відносини.

    Послідовність

    Перші відносини, на які ми перевіримо, - це послідовність. Послідовність - це досить прості відносини. Це означає, що претензії можуть бути правдивими одночасно. Як і у випадку з тавтологією, протиріччя та непередбачених обставин іноді буде очевидно, що дві претензії є послідовними. Наприклад, непов'язані претензії завжди будуть послідовними. Троя любить яблука, а Годзілла - король монстрів послідовний, тому що вони не мають нічого спільного один з одним, і нам не потрібна таблиця, щоб перевірити це. Тим не менш, будуть випадки, коли претензії є складними (або коли ви хочете порівняти велику кількість претензій), і таблиці можуть бути дуже корисними в цих випадках. Заради простоти ми зупинимося на парах складних речень, але немає обмежень на кількість претензій, які ви могли б перевірити на послідовність одночасно.

    Що стосується того, як повинні виглядати таблиці, дві претензії узгоджуються, якщо є якийсь рядок, в якому обидва претензії вірні одночасно. Давайте подивимося на таблицю порівняння 'P v Q' і 'P & Q'.

    Скріншот (187) .png

    Обидва твердження вірні на рядку 1, тому ці твердження є послідовними.

    Тепер давайте розглянемо приклад, де претензії не є послідовними. Нижче наведено таблицю порівняння 'P & Q' і '~P & ~Q'.

    Скріншот (182) .png

    Зверніть увагу, що немає жодної лінії, де обидві претензії відповідають дійсності, тому претензії не є послідовними. Коли претензії не є послідовними, ми говоримо, що вони несумісні, і повторюємо, це означає, що вони не можуть бути правдивими одночасно.

    Еквівалентність

    Ми також можемо використовувати таблиці для порівняння тверджень, щоб визначити, чи є вони логічно еквівалентними. Коли претензії логічно еквівалентні, вони обидва містять однакову інформацію. Ви можете думати про це як про два твердження, що говорять одне і те ж (навіть якщо вони не виглядають так, як вони роблять). Для перевірки на еквівалентність складаємо таблицю істинності і знову ставимо на неї обидва твердження. Якщо твердження мають однакове значення істинності на всіх рядках, то вони логічно еквівалентні. Наступна таблиця істинності показує, що «~ (P v Q)» та «~ P & ~Q» логічно еквівалентні:

    Скріншот (183) .png

    Наступна таблиця істинності показує, що «P v Q» та «P & Q» не є логічно еквівалентними, оскільки результати таблиці відрізняються у рядках 2 та 3.

    Скріншот (184) .png

    Вправи

    Побудувати таблиці істинності для наступних наборів тверджень для перевірки на узгодженість і логічну еквівалентність.

    1. П в ~Q; Р → Q
    2. ~ (П в ~П); П & ~П
    3. ~ (Q v P) → Р; ~Q
    4. Р v [P & (Q → R)]; Р v (Q v R)
    5. (Р → Q) & (Q → Р); Р ← → Q
    6. П в ~П; П v Q
    7. Р ← → (Q ← → R); Р ← → R
    8. ← →Q; Q← → Р
    9. ~ (Р v ~Q); Р → Q
    10. P v ~ (Р ← → Q); (P & ~Q) v (~P & Q)
    11. Р → Q; Q → Р
    12. Р → Q; ~ (Q → Р)
    13. ~ (Р ← → Q); (~P & Q) v (П & ~Q)
    14. ~ (~П в ~~Q); P & ~Q
    15. Р ← → (Q → ~R); ~П v ~Q
    16. Р v (Q v R); (Р v Q) v R
    17. P & (Q & R); (P & R) & Q
    18. П & (Q v R); (П & Q) v R
    19. П & (Q v R); (Q v R) & P
    20. ~ (Р → Q) v [Р v (~Q → Р)]; (Р ← → Q) v [(P v ~P) & (Q v ~ Q)]
    Вибрані відповіді
    1. П в ~Q; Р → Q

    Ці твердження є послідовними, оскільки вони узгоджуються з рядками 1 та 4, але вони не є еквівалентними, оскільки вони не погоджуються на рядках 2 та 3.

    Скріншот (185) .png

    1. ← →Q; Q← → Р

    Ці претензії рівнозначні, оскільки вони узгоджуються з усіма рядками. Всі еквівалентні претензії є послідовними, тому вони також є послідовними.

    Скріншот (186) .png

    1. ~ (~П в ~~Q); P & ~Q

    Перш ніж навіть робити таблицю в цьому випадку, ми можемо використовувати правила маніпулювання запереченням, щоб зробити речі простішими для нас. '~ (~P v ~~Q) 'стає 'P & ~Q'. Тепер ми могли б зробити таблицю, але ми перетворили першу претензію точно так само, як і друга, тому ми знаємо, що вони еквівалентні.

    Скріншот (188) .png