2.5: Відносини, функції, ідентичність та множинні кількісні показники

15. Відносини, функції, ідентичність та множинні квантори

15.1 Відносини

Ми розробили логіку першого порядку, достатню для опису багатьох речей. Мета цієї глави - обговорити шляхи розширення та застосування цієї логіки. Ми представимо відносини та функції, зробимо цікаві спостереження щодо ідентичності та обговоримо, як використовувати кілька кванторів.

Нагадаємо, що якщо у нас є предикат арності більше одиниці, ми іноді називаємо це «відношення». Рідність один присудок на кшталт «... високий» не пов'язує речі в нашій області дискурсу. Швидше, це говорить нам про властивість речі в нашій області дискурсу. Але арність два присудки на кшталт «... вище, ніж...» пов'язує пари речей у нашій області дискурсу.

Більш загально, ми можемо думати про зв'язок як набір впорядкованих речей з нашої області дискурсу. Таким чином, відношення arity два є сукупністю впорядкованих пар речей; відношення «... вище, ніж...» буде всі впорядковані пари речей, де перший вище другого. Присудок «... вище, ніж...» був би вірним щодо всіх цих речей. Співвідношення «... сидить між... і...» було б колекцією всіх трійок речей, де перший сидів між другим і третім. Присудок «... сидить між... і...» був би вірним щодо всіх цих речей.

Логіки розробили безліч корисних способів розмови про відносини, особливо відносини між всього двома речами. Ми можемо проілюструвати це на прикладі. Лікарням та іншим лікувальним закладам часто потрібна кров для переливання. Але не будь-який вид крові може зробити. Одним із способів класифікації видів крові є використання системи АВО. Це ділить види крові на чотири групи: A, B, AB і O. ця класифікація описує антигени на поверхні клітин крові. Це дуже корисна класифікація, тому що деякі люди мають імунну систему, яка не буде переносити антигени на інші види крові. Ця толерантність визначається своєю групою крові.

Ті, хто має кров типу O, можуть здавати кров будь-кому, не викликаючи імунної реакції. Ті, хто має тип А, можуть здавати кров тим, хто має тип А та тип АВ. Ті, хто має тип B, можуть здавати кров тим, хто має тип B і тип AB. А ті, хто має тип AB, можуть дати тільки типу AB. Нехай стрілки означають, можна давати людям з цією групою крові, не викликаючи алергічної реакції на наступній схемі:

Зверніть увагу на ряд речей. По-перше, кожна група крові може ділитися кров'ю з людьми цієї групи крові. Але не завжди так, що якщо я можу поділитися кров'ю з тобою, ти можеш поділитися кров'ю зі мною: можливо, я тип О, а ти тип Б. Крім того, якщо я можу поділитися кров'ю з тобою, а ти можеш поділитися кров'ю з Томом, тоді я можу поділитися кров'ю з Томом.

Перша особливість відносин називається «рефлексивної». Для будь-якого відношення Φ (xy) відношення є рефлексивним тоді і тільки тоді, коли:

Xφ (хх)

Приклади рефлексивних відносин в англійській мові включають «... старе, як...». Кожній людині стільки ж років, як і їй. Відношення, яке не є рефлексивним, - це «... старше...». Жодна людина не старша за себе.

Для будь-якого відношення Φ відношення симетричне тоді і тільки тоді, коли:

х у (Φ (х у) → Φ (у х))

Приклади симетричних відносин в англійській мові включають «... одружений на...». У нашій правовій системі принаймні, якщо Пет одружений на Крісі, то Кріс одружений на Пет.

Нарешті, називайте відношення «перехідним», якщо і тільки якщо

х ψ у z (Φ (x y) ^Φ (y z)) → Φ (х z))

Приклади перехідних відносин в англійській мові включають «... старше...». Якщо Том старший за Стіва, а Стів старший за Пет, то Том старший за Пат.

Повернемося зараз до нашого прикладу груп крові. Ми вводимо наступний ключ перекладу:

G xy: x може давати кров у, не викликаючи імунної реакції

Справа в тому, що

3 х Г х х

І тому ми знаємо, що відношення G є рефлексивним. Людина з кров'ю типу О може здати собі кров, людина з кров'ю типу АВ може здати собі кров і так далі. (Люди роблять це, коли зберігають кров перед операцією.) Чи є відношення симетричним? Розглянемо, чи відповідає дійсності наступне:

4 х у (Г х х → Гкс)

Рефлексія мить показує, що це неправда. Людина типу О може здати кров людині типу АВ, але людина з кров'ю типу АВ не може здати кров людині з типом О, потенційно не викликаючи реакції. Так що G не симетричний.

Нарешті, щоб визначити, чи є G перехідним, подумайте, чи відповідає дійсності наступне.

(Г х ^ Г) → Г х х) → Г х х х)

Людина з кров'ю типу O може здати кров людині з кров'ю типу А, і ця людина може здати кров комусь типу AB. Чи випливає, що людина з типом О може здати кров людині з АВ? Це робить. І аналогічно це так і для всіх інших можливих випадків. G - перехідне відношення.

15.2 Функції

Функція - це свого роду зв'язок між двома або більше речами. Те, що всі функції мають спільне, полягає в тому, що вони пов'язують певну кількість речей саме з однією річчю. Знайомим прикладом з математики може бути функція квадратування. Пишемо для цього п 2. Це займає одне число, скажімо, 7, а потім пов'язує його точно з одним іншим числом, 49. Або додавання - це функція, яка приймає два числа і пов'язує їх рівно з одним іншим числом, їх сумою.

Ідея функції дуже загальна і виходить за рамки математики. Наприклад, кожна з наступних функцій може бути функцією (якщо заздалегідь передбачаються певні речі):

мати...

батько...

Подумайте, як ви могли б використовувати щось подібне в нашій логічній мові. Ви могли б сказати: «Батько Тома канадець». Але тепер, хто такий канадець? Не Том. Батько Тома є. У цьому реченні в якості функції виступає «батько...». Він пов'язує людину з іншою людиною. І, в нашому присудку, «батько Тома» діє як ім'я, в тому, що воно посилається на одне.

Функції мають рідкість. Додавання - це функція arity two; вона приймає два об'єкти для того, щоб сформувати символічний термін. Але для того, щоб бути функцією, отриманий символічний термін завжди повинен стосуватися тільки одного об'єкта. (Це правило дуже порушується в математиці, де деякі відносини називаються «функціями», але можуть мати більше одного виходу. Це виникає тому, що в обмежених областях дискурсу ці операції є функціями, а потім вони застосовуються в нових областях, але все ще називаються «функціями». Таким чином, функція квадратного кореня - це функція, коли ми вивчаємо натуральні числа, але як тільки ми вводимо негативні числа, вона більше не є функцією. Але математики називають це «функцією», оскільки це в обмежених областях функція, і тому, що різноманітний вихід передбачуваний різними способами. Логіка - єдине поле, де заробляє право називати математиків неакуратними.)

Функції напрочуд корисні. Комп'ютери, наприклад, можна розуміти як функціональні машини, а програмування можна з користю описати як написання функцій для комп'ютера. Значна частина математики пов'язана з вивченням функцій, і вони часто виявляються корисними для вивчення інших речей в математиці, які самі не є функціями.

Ми можемо додати функції до нашої логічної мови. Ми дозволимо f, g, h,... бути функціями. Кожна функція, як зазначалося, має свою рідність. Функція парності в поєднанні з n символічними термінами є символічним терміном.

Таким чином, щоб зробити ключ для перекладу речення вище, ми можемо мати:

K x: x є канадським.

f x: батько х.

в: Том

б: Стів

(Очевидно, ми припускаємо, що кожна людина має лише одного батька. Можливо, це лише одне вживання слова «батько», але наша мета тут - створити знайомий приклад, а не брати сторону в жодному питанні про сімейні відносини. Так що ми дозволимо припущенню просто зробити нашу точку зору.) Використовуючи цей ключ, наступне означало б «Том канадець»:

К а

А наступне означало б «Батько Тома канадець»:

Якщо а

Ми також можемо сказати щось на кшталт: «Дід по батьківській лінії Тома канадець»:

Кфф а

Або навіть «прадід Тома по батьківській лінії - канадець»:

Кффф а

Це працює, тому що батько батька Тома є дідом Тома по батьківській лінії, який тоді є символічним терміном, і ми можемо застосувати до нього функцію. Нагадаємо, що, коли правило може бути застосовано повторно до свого продукту, ми називаємо це «рекурсією».

15.3 Ідентичність

Є один присудок, який завжди був надзвичайно корисним, і який в більшості логічних систем виділяється на особливу увагу. Це ідентичність.

В англійській мові слово «is» множиться неоднозначно, і ми повинні розібратися в ідентичності з присудком і існуванням. Для прикладу розглянемо наступні пропозиції:

Малкольм Ікс - великий оратор.

Малкольм Х - Малкольм Літл.

Малкольм Х є.

Останній приклад не дуже поширений у вживанні англійської мови, але він граматичний. Тут ми бачимо «є» існування. Речення стверджує, що Малкольм Х існує. У першому реченні ми розглядали б «... великий оратор» як присудок рідності один. «є» є частиною присудка, і в нашій логіці його неможливо відрізнити від присудка. Але в другому випадку використовується «є» ідентичності. Він стверджує, що Малкольм Х і Малкольм Літтл - це одне і те ж.

Оскільки так часто використовується символ «=» для ідентичності, ми також будемо використовувати його. Власне кажучи, наш синтаксис вимагає позначення префіксів. Але для будь-якої мови, яку ми створюємо, ми могли б ввести присудок arity два.

I xy: х ідентичний у

І тоді ми могли б сказати, щоразу, коли ми пишемо «α=β», ми дійсно маємо на увазі «Iαβ».

Примітка ідентичність описує відношення, яке є рефлексивним, симетричним і перехідним. Все ідентично собі. Якщо a = b, то b = a. А якщо a = b і b = c то a = c.

Однією особливістю ідентичності є те, що ми знаємо, що якщо дві речі ідентичні, то все, що є істинним, є вірним з іншого. Насправді філософ Лейбніц визначив ідентичність принципом, який ми називаємо законом Лейбніца: a і b ідентичні тоді і лише тоді, коли вони мають всі і лише однакові властивості. Однак наша логіка повинна сприймати ідентичність як примітив, тому що у нас немає ніякого способу сказати «всі властивості» (це те, що означає «перший порядок» у «логіці першого порядку»: наші квантори мають лише певні об'єкти у своїй області).

Однак розуміння Лейбніца передбачає правило висновку. Якщо α і β - символічні члени, а Φ (α) означає, що Φ - це формула, в якій фігурує α, можна сказати

Φ (α)

α=β

_____

Φ (β)

Де ми замінюємо одне або кілька випадків α в Φ на β. Це правило можна назвати «нерозбірливістю ідентичностей». Ми іноді також називаємо це «підміною ідентиків».

Це цікаве своєрідне правило. Деякі логіки назвали б це «нелогічним правилом». Причина в тому, що ми знаємо, що це правильно, тому що ми знаємо значення «=». На відміну, наприклад, modus ponens, який ідентифікує логічне відношення між двома видами пропозицій, це правило спирається не на семантику сполучного, а скоріше на значення присудка. Це поняття «нелогічне» є терміном мистецтва, але воно здається глибоким. Додавання таких правил до нашої мови може значно посилити її.

Додавання ідентичності до нашої мови дозволить нам перекласти деякі вирази, які ми не змогли б перекласти інакше. Розглянемо наш приклад вище, для функцій. Як би ми перевели вислів: «Стів - батько Тома»? Ми могли б додати до нашої мови присудок, «... є батьком...». Однак цікаво, що в цьому вираженні («Стів - батько Тома») «є» - це ідентичність. Кращим перекладом (використовуючи ключ вище) буде:

б = ф а

Ми також можемо сказати такі речі, як: «Батько Стіва - дід Тома по батьківській лінії»:

f б = ФФ а

Розглянемо зараз таке речення: хтось батько Тома. Знову ж таки, якби у нас був присудок для «... є батьком...», ми могли б просто сказати, є щось, що є батьком Тома. Але враховуючи, що у нас є функція для «батька х», ми могли б також перевести цю фразу як:

х х = ф а

З цих прикладів ми бачимо, що існують цікаві паралелі між відносинами (включаючи функції) та предикатами. Щоб представити якусь функцію, ми можемо ввести в нашу мову функцію, яка виступає особливим своєрідним символічним терміном, але також можна визначити присудок, який є істинним для всіх і тільки тих речей, до яких відноситься функція. Тим не менш, ми повинні бути обережними, щоб розрізняти присудки, які в поєднанні з відповідною кількістю імен утворюють речення; і функції, які при поєднанні з відповідною кількістю інших термінів є символічними термінами. У нашій логіці трактування предикатів як функцій (тобто прийняття їх як символічних термінів для інших предикатів) створить нісенітницю.

Нарешті, ми мали як приклад вище, речення «Malcolm X is». Це еквівалентно «Malcolm X існує». Нехай c означає Малкольм X. Ідентичність дозволяє нам висловити це речення. Ми говоримо, що є принаймні одна річ, яка є Malcolm X:

х х = с

15.4 Приклади використання декількох кванторів

Ми тільки почали досліджувати силу квантіфікаторів. Розглянемо тепер наступні пропозиції:

Кожне число більше або дорівнює деякому числу.

Деяке число більше або дорівнює кожному числу.

Кожне число менше або дорівнює деякому числу.

Деяке число менше або дорівнює кожному числу.

Залежно від нашої області дискурсу, деякі з цих речень є істинними, а деякі з них є помилковими. Чи можемо ми представити їх нашою логічною мовою?

Припустимо, що ми вводимо предикат arity two для «більше або дорівнює»:

G xy: x більше або дорівнює y

Ми можемо слідувати традиціям і використовувати «≥». Таким чином, коли ми пишемо «α≥β», ми розуміємо, що це «Gαβ». Давайте також припустимо, що наша область дискурсу - це натуральні числа. Тобто мова йде лише про 1, 2, 3, 4...

Тепер ми бачимо, як зробити перший крок до вираження цих речень. Якщо ми пишемо:

х ≥ у

Ми сказали, що х більше або дорівнює у. Ми використовували квантори, щоб сказати «все», і ми можемо написати

х х ≥ у

Що говорить про те, що кожне число більше або дорівнює y. Але як ми захопимо вищенаведені речення? Нам потрібно буде використовувати кілька кванторів. Щоб сказати, що «кожне число більше якогось числа», напишемо

х у х ≥ у

Це викликає важливі питання про те, як інтерпретувати кілька кванторів. Використання декількох кванторів надзвичайно розширює силу нашої мови. Однак треба бути дуже обережними, щоб зрозуміти їх значення.

Розглянемо наступні два пропозиції, в яких буде використовуватися наш ключ вище.

х у х ≥ у

y х х ≥ у

Чи мають вони однакове значення?

Оскільки ми розуміємо семантику квантіфікаторів, скажемо, що їх немає. Основна ідея полягає в тому, що ми читаємо квантори зліва направо. Таким чином, перше речення вище слід перекласти на англійську мову як «Кожне число більше або дорівнює деякому числу». Друге речення слід перекласти: «Деяке число менше або дорівнює кожному числу». Вони мають дуже різне значення. Залежно від нашої області дискурсу, вони можуть мати різні істинні цінності. Наприклад, якщо ми використовуємо натуральні числа як наш домен дискурсу, перше речення є істинним, а друге речення є істинним. Однак, якщо ми використовували цілі числа для нашої області дискурсу, так що ми включили негативні числа, то перше речення є істинним, але друге речення є помилковим.

Може бути корисно думати про кілька кванторів наступним чином. Якби ми були, щоб створити квантифікатори, то, ми б працювати зліва направо. Таким чином, перше речення говорить щось на зразок, виберіть будь-яке число в нашій області дискурсу, тоді в нашій області дискурсу буде принаймні одне число, яке менше або дорівнює тому першому числу, яке ви вже вибрали. Друге речення говорить щось зовсім інше: є принаймні одне число в нашій області дискурсу, таке, що, якщо ви виберете це число, то будь-яке число в нашій області дискурсу більше або дорівнює йому.

Маючи це на увазі, тепер ми можемо перевести чотири фрази вище. Ми включаємо англійську мову з перекладом, щоб уникнути плутанини.

Кожне число більше або дорівнює деякому числу.

х у х ≥ у

Деяке число більше або дорівнює кожному числу.

х y x ≥ у

Кожне число менше або дорівнює деякому числу.

х у ≥ х

Деяке число менше або дорівнює кожному числу.

х y y ≥ х

Як ми зазначали вище, істинна цінність цих речень може змінитися, якщо ми змінимо нашу область дискурсу. Якщо наша область дискурсу - натуральні числа, то лише друге речення є помилковим; це тому, що для натуральних чисел існує найменше число (1), але найбільшого числа немає. Але якщо наша область дискурсу - цілі числа, то друге і четверте речення помилкові. Це тому, що з від'ємними числами немає найменшого числа: ви завжди можете знайти менший від'ємний номер.

Сподіваємось, тепер стає дуже зрозуміло, чому нам потрібна можливість ряду змінних для наших кількісних показників. Ми не могли б написати вирази вище, якщо у нас не було помітно різних змінних, щоб дозволити різним квантифікаторам зв'язувати різні місця в предикаті.

15.5 Захоплення конкретних величин

Може бути цікаво побачити потужне використання декількох кількісних показників. У 1905 році британський філософ Бертран Рассел (1872-1970) опублікував дуже проникливу і впливову роботу «Про позначення». Цей документ та додаткова робота Рассела, яка слідувала за нею, блискуче використовувала низку проблем логіки та мови, які спантеличили Рассела. Рассел був стурбований низкою загадок, які виникають навколо таких фраз, як: «Нинішній президент Сполучених Штатів...». Така фраза, здається, діє як ім'я, і все ж виникає ряд дивних результатів, якщо ми ставимося до неї як до імені.

По-перше, припустимо, ми говоримо

Справа не в тому, що Сем лисий.

Тепер припустимо, що у кожного, хто не лисий, є волосся. Тоді ми могли б міркувати, що:

У Сема волосся.

Це здається правильним, якщо ми надамо передумову, що всі, хто не лисий, мають волосся. Але тепер розглянемо наступне речення.

Це не так, що нинішній король Франції лисий.

За тими ж міркуваннями це, здавалося б, тягне за собою, що:

Справжній король Франції має волосся.

Але це не так. Немає справжнього короля Франції!

Стає гірше. Будемо стверджувати, що

Нинішнього короля Франції не існує.

Це ніби вибирає річ, нинішнього короля Франції, і приписує їй майно, не існуюче. Адже в нашій логічній мові кожне ім'я має на щось посилатися. Але якщо ми можемо вибрати, що річ для того, щоб описати її як не існуючу, вона не існує? Тобто, хіба немає речі, до якої відноситься термін?

Деякі філософи дійсно стверджували, що кожен термін, навіть природною мовою, повинен мати річ, до якої він відноситься. Наприклад, філософ Олексій Мейнонг (1853-1920) запропонував, щоб кожне ім'я мало референт, який був, але це існування було зарезервовано для конкретних фактичних об'єктів. Це дуже дивно, якщо врахувати це: це означає, що «круглий квадрат» стосується чогось, того, що має бути, але якому не вистачає існування. Рассел вважав це жахливим рішенням, і хотів знайти інше.

Рассел використовує інший приклад, щоб проілюструвати третю проблему. Припустимо, що

Георг IV хотів дізнатися, чи був Скотт автором Уеверлі.

Тут Рассел піднімає проблему, пов'язану з тією, яку вже спостерігав математик Готтлоб Фреге. А саме, якщо Scott=Автор Waverley, то можна припустити, що ми могли б замінити «Скотт», де ми бачимо «автора Уеверлі» і отримати речення, яке має таку ж істинну цінність. Тобто, ми ввели вище правило - нерозбірливість ідентичних - яке, якщо застосовується тут, повинно дозволити нам замінити «автора Уеверлі» на «Скотт», якщо Скотт = автор Уеверлі. Але це не вдається: це не так

Георг IV хотів дізнатися, чи Скотт був Скотт.

Джордж IV вже знає, що Скотт - це Скотт.

Рассел висунув блискуче рішення цих головоломок. Він розробив аналіз деяких англійських фраз в логічну форму, яка є досить іншою, ніж ми могли б очікувати. Наприклад, він аргументує правильну форму перекладу «Це не так, що нинішній король Франції лисий» - це щось подібне. Нехай «G x» означає «х - нинішній король Франції», а «H x» означає «х лисий», тоді це речення перекладається:

х ((Г х ^ В х) ^ ‰ у (Г у → х = у))

Це говорить про те, що є щось - називайте це x поки що - це нинішній король Франції, і ця річ лиса, і якщо що-небудь є нинішнім королем Франції, це ідентично x Цей другий пункт є способом сказати, що є лише один король Франції, саме так Рассел захоплює значення «на» в « теперішній король Франції».

Це речення є помилковим, тому що немає нинішнього короля Франції. Але заперечувати, що нинішній король Франції лисий - це стверджувати, скоріше, що

х ((Г х ^ ¬ В х) ^ ‰ у (Г у → х = у) )

Це речення також помилкове. Він не може бути використаний для висновку, що є нинішній король Франції, який є гірсут.

Подібну швидку роботу можна виконати і з головоломкою про існування. «Нинішнього короля Франції не існує» еквівалентно «Це не так, що нинішній король Франції існує», і це ми перекладаємо як:

¬ х (Г х ^ у (Г у → х = у))

Зверніть увагу, що в цій формулі немає необхідності в імені, яке ні до чого не відноситься. У цій формулі немає назви.

Нарешті, коли Джордж IV хотів дізнатися, чи був Скотт автором Уеверлі, ми можемо дозволити «a» стояти за «Скотт», а «W x» означає «х автором Waverley», а тепер стверджувати, що те, що король хотів знати, чи є наступне:

х ((Ш х ^ у (Ш у → х = у)) ^ х = а)

У цьому частина формули, яка захоплює значення «автор Уеверлі», не вимагає назви, і тому немає питання про застосування нерозбірливості правила ідентичності. (Пам'ятайте, що нерозбірливість правила ідентичності дозволяє замінити символічний термін ідентичним символічним терміном. У цій формулі немає символічного терміна для «автора Уеверлі», і тому навіть якщо Скотт є автором Уеверлі, нерозбірливість правила ідентичності тут не може бути застосована.)

Рассел зробив щось дуже розумне. Він знайшов спосіб інтерпретувати таку фразу, як «нинішній король Франції», як складну логічну формулу; таку формулу можна побудувати так, що вона не використовує імен, щоб зафіксувати значення фрази. Цікаве питання, чи слід інтерпретувати аналіз Рассела як описує, в певному сенсі, те, що насправді знаходиться в нашій свідомості, коли ми використовуємо фразу на кшталт «Нинішній король Франції». Це, мабуть, питання для когнітивних вчених, щоб вирішити. Наш інтерес полягає в тому, що Рассел надихає новий і гнучкий спосіб використовувати логіку першого порядку, щоб зрозуміти можливі інтерпретації такого роду висловлювань.

Переклади Рассела також передбачають дивовижну можливість: можливо, багато імен, або навіть усі імена, насправді є такими фразами, які однозначно вірні одному і лише одному. Це було цікаво для філософів, які хотіли пояснити природу посилання; це говорить про те, що посилання можна пояснити, використовуючи поняття складного присудкового виразу, що є істинним для однієї речі. Це радикальна пропозиція, яку Рассел розробив і захищав. Він припустив, що єдиними іменами були самі основні примітивні «це» і «що». Усі інші назви природної мови можуть бути проаналізовані на складні фрази, подібні до вищевказаних. Це питання для філософії мови, і далі ми його розглядати тут не будемо.

Ще однією перевагою перекладу Рассела є те, що він ілюструє, як рахувати за допомогою квантора. Це викликає великий інтерес для нашої логіки. Будь-яке речення виду «є тільки одне, що є Φ» можна перекласти:

х (Φ (x) ^ y (Φ (y) → х = у))

Розуміння Рассела полягає в тому, що якщо тільки одне - Φ, то все, що виявляється Φ, повинно бути однаковим.

Трохи винахідливості показує, що ми можемо використовувати його розуміння, щоб сказати, що є рівно дві речі, які є Φ. Спочатку може бути корисно відокремити «є принаймні два» і «їх не більше двох». Це:

х у (Φ (x) ^Φ (y)) ^ ¬ х = у)

х ψ у z ((Φ (x) ^Φ (y)) ^Φ (z)) → (x = у в х = з) в у = з))

Перше речення говорить, що існує річ x і річ у така, що x має властивість Φ, а у має властивість Φ і х і у - це не одне і те ж. Це стверджує, що є принаймні дві речі, які мають властивість Φ. Друге речення говорить для будь-яких x, y, z, якщо кожен має властивість Φ, що принаймні один з них такий же, як і інший. Це стверджує, що є щонайменше дві речі, які мають властивість Φ.

Поєднуйте їх із сполучником, і у вас є твердження, принаймні дві речі - ЦЕ Φ, і щонайменше дві речі - Φ. Тобто є рівно дві речі, які є Φ.

(х у (Φ (x) ^Φ (y)) ^ ¬ х = у) ^ ‰ х у z (((Φ (x) ^Φ (y)) ^Φ (z)) → (x = у v х = з) в у = з)))

Це незручно, але це показує, що ми можемо висловити будь-яку конкретну кількість, використовуючи нашу існуючу логічну мову. Ми зможемо сказати, наприклад, що існує рівно 17 речей, які є Φ. Досить дивно думати, що нам не потрібні числа, щоб мати можливість виражати певні кінцеві величини, і що наша логіка досить сильна для цього.

15.6 Проблеми

1. Для кожного з наступних опишіть, чи є відношення рефлексивним, симетричним або перехідним. Якщо йому не вистачає будь-якої з цих властивостей, наведіть приклад того, де властивість не вдасться для відносини. (Тобто, якщо ви говорите, що відношення не симетричне, наприклад, то наведіть приклад виключення.) Припустимо область дискурсу людей.
   1. ... є рідним братом...
   2. ... є матір'ю...
   3. ... така ж національність, як...
   4. ... старше, ніж...
   5. ... закоханий в...
2. Зробіть свій власний ключ, а потім перекладіть наступне на нашу логічну мову. У перекладі кожного речення слід використовувати функцію, яка має неявну функцію.
   1. Мати Людвіга - музична.
   2. Людвіг не музичний.
   3. Батьківська бабуся Людвіга музична, а ось бабуся по материнській лінії - ні.
   4. Батько Людвіга вище матері.
   5. Мати Людвіга не вище Людвіга, або його батька.
   6. Мати Людвіга не є батьком Людвіга.
   7. Хтось - мати Людвіга.
   8. Хтось - чиїсь мати.
   9. У кожного є мати.
   10. Ніхто не є матір'ю кожного.
3. Надайте свій власний ключ і перекладіть наступне в нашу логіку. Для цього буде потрібно кілька кількісних показників.
   1. Кожен з кимось дружить.
   2. Хтось з кимось дружить.
   3. Хтось дружить з усіма.
   4. Всі дружать з усіма.
   5. Ніхто не дружить з усіма.
4. Використовуйте інтерпретацію Рассела для перекладу наступних виразів. Зробіть свій власний ключ.
   1. Імператор Нью-Йорка є ротондом.
   2. Імператор Нью-Джерсі не ротунд.
   3. Імператор Нью-Йорка не є імператором Нью-Джерсі.
   4. Там немає імператора Нью-Йорка, але є імператор Нью-Джерсі.
   5. Є два і тільки два імператора Нью-Йорка.
5. Використовуйте нашу логіку, щоб висловити твердження: рівно три речі мають властивість F.