1.7: «Або»

7. «Або»

7.1 Історичний приклад: аргумент Евтріфро

Філософ Платон (який жив приблизно з 427 року до н.е. до 347 року до н.е.) написав серію великих філософських текстів. Платон був першим філософом, який розгорнув аргумент енергійно і послідовно, і тим самим він показав, як філософія сприймає логіку як свій основний метод. Ми вважаємо Платона головним засновником західної філософії. Американський філософ Альфред Уайтхед (1861-1947) насправді колись хвацько сказав, що філософія - це «серія виносок до Платона».

Вчителем Платона був Сократ (c. 469-399 рр. До н.е.), ґедзь стародавніх Афін, який зробив багато ворогів, показуючи людям, як мало вони знали. Сократ нічого не писав, але більшість творів Платона - це діалоги, які схожі на невеликі п'єси, в яких Сократ є головним героєм філософської драми, що настає. Кілька діалогів названі на честь людини, яку побачать сперечаючись з Сократом. У діалозі Євтифро Сократ стоїть в черзі, чекаючи суду над ним. Його звинуватили у розбещенні молоді Афін. Суд у стародавніх Афін був по суті дебатами перед зібраними громадянами міста. Перед Сократом в черзі стоїть молода людина, Евтифро. Сократ запитує у Євтифро, в чому його справа того дня, і Евтифро з гордістю проголошує, що він там, щоб звинуватити власного батька у вбивстві. Сократ шокований. У стародавніх Афін повагу до батька високо цінувалося і очікувалося. Сократ з характерним сарказмом говорить Євтифру, що він повинен бути дуже мудрим, щоб бути таким впевненим. Ось два глибоких і суперечливих обов'язки: поважати батька і карати вбивством. Euthyphro здається, дуже легко вирішити, який є більшим обов'язком. Евтифро не турбує. Для нього ці етичні питання прості: треба бути благочестивим. Коли Сократ вимагає визначення благочестя, яке застосовується до всіх благочестивих вчинків, Євтифро каже:

Благочестя - це те, що люблять боги, а нечестя - це те, що не люблять їх.

Сократ зауважує, що це неоднозначно. Це може означати, що вчинок хороший, тому що боги люблять цей акт. Або це може означати, що боги люблять вчинок, тому що це добре. Тоді ми маємо твердження «або», яке логіки називають «диз'юнкцією»:

Або вчинок хороший, тому що боги люблять цей акт, або боги люблять вчинок, тому що це добре.

Чи може перше бути правдою? Ця думка - що вчинок хороший, тому що боги люблять його - тепер називається «теорією божественного командування», і теїсти не погоджувалися з часів Сократа щодо того, чи це правда. Але Сократ вважає це абсурдним. Бо, якщо завтра боги люблять, скажімо, вбивство, значить, завтра вбивство було б добре.

Евтифро погоджується, що не може бути, що вчинок хороший, тому що боги люблять цей акт. Наш аргумент поки що має таку форму:

Або вчинок хороший, тому що боги люблять цей акт, або боги люблять вчинок, тому що це добре.

Це не так, що вчинок хороший, тому що боги люблять його.

Сократ робить висновок, що боги люблять вчинок, тому що це добре.

Або вчинок хороший, тому що боги люблять цей акт, або боги люблять вчинок, тому що це добре.

Це не так, що вчинок хороший, тому що боги люблять його.

_____

Боги люблять вчинок, тому що це добре.

Цей аргумент є одним з найважливіших аргументів у філософії. Більшість філософів вважають деяку версію цього аргументу як дійсною, так і здоровою. Деякі, хто не згоден з цим, кусають кулю і стверджують, що якби завтра Бог (більшість теїстичних філософів, живих сьогодні монотеїстів) любив цуценя тортури, перелюб, випадкові акти жорстокості, забруднення і брехня, це все було б добре. (Якщо ви схильні говорити: «Це несправедливо, Бог ніколи не любив би цих речей», то ви вже погодилися з Сократом. Тому що причина, по якій ви вірите, що Бог ніколи не любив би такого роду вчинків, полягає в тому, що такі дії погані. Але тоді бути поганим чи хорошим - це щось незалежне від любові до Бога.) Але більшість філософів згодні з Сократом: вони вважають абсурдним вважати, що випадкові акти жорстокості та інші подібні вчинки можуть бути хорошими. Є щось за своєю суттю погане до цих вчинків, вважають вони. Важливість аргументу Euthyphro полягає не в тому, що він допомагає проілюструвати, що божественна теорія командування є надзвичайно дивною і дорогою позицією, яку потрібно утримувати (хоча це важливий результат), а скоріше в тому, що аргумент показує, що етика може бути вивчена незалежно від богослов'я. Бо, якщо є щось про вчинки, які роблять їх хорошими чи поганими незалежно від божої волі, то нам не потрібно вивчати волю бога вивчати те, що робить ці вчинки хорошими чи поганими.

Звичайно, багато філософів є атеїстами, тому вони вже вірили в це, але протягом більшої частини історії філософії один був зобов'язаний бути теїстом. Навіть сьогодні миряни схильні думати про етику як про продовження релігії. Філософи вважають натомість, що етика - це своя область вивчення. Аргумент Евтифро пояснює, чому, навіть якщо ви теїст, ви можете вивчати етику незалежно від вивчення богослов'я.

Але чи справедливий аргумент Сократа? Це звук?

7.2 Диз'юнкція

Ми хочемо розширити нашу мову так, щоб вона могла представляти речення, які містять «або». Такі речення, як

Том поїде до Берліна чи Парижа.

У нас є кава або чай.

Ця веб-сторінка містить фразу «Марк Твен» або «Семюель Клеменс».

Логіки називають такого роду пропозиції «диз'юнкціями». Кожна з двох частин диз'юнкції називається «диз'юнктом». Ідея полягає в тому, що вони дійсно еквівалентні наступним реченням:

Том поїде до Берліна або Том поїде до Парижа.

У нас є кава або ми п'ємо чай.

Ця веб-сторінка містить фразу «Марк Твен» або ця веб-сторінка містить фразу «Samuel Clemens».

Тому ми можемо бачити, що (принаймні у багатьох реченнях) «або» діє як сполучна між двома реченнями.

Традиційно для «або» використовується символ «v». Це походить від латинського «vel», що означає (в деяких контекстах) або.

Синтаксис для диз'юнкції дуже базовий. Якщо Φ і ψ - речення, то

(Φ v ψ)

це вирок.

Семантика трохи суперечливіша. Це значна частина визначальної таблиці істини, більшість людей вважають очевидною:

Φ	ψ	(ΦVψ)
Т	Т
Т	F	Т
F	Т	Т
F	F	F

Подумайте: якщо я обіцяю, що принесу вам троянди або бузок, то, здається, я сказала правду або якщо я приніс вам троянди, але не бузок, або якщо я приніс вам бузок, але не троянди. Точно так само останній ряд повинен бути інтуїтивним, теж. Якщо я обіцяю, що принесу вам троянди або бузок, а нічого не принесу, то я говорив неправдиво.

А як щодо першого ряду? Багато людей, які не є логіками, хочуть, щоб це було так, що ми визначаємо цю умову як помилкову. Отримане значення відповідало б тому, що іноді називають «ексклюзивним» або «». Логіки не згодні. Вони віддають перевагу визначенню, де диз'юнкція істинна, якщо дві її частини є істинними; це іноді називають «інклюзивним» або «». Звичайно, все, що має значення, полягає в тому, що ми вибираємо визначення і дотримуємося його, але ми можемо запропонувати кілька причин, чому «інклюзивне» або «», як ми його називаємо, є більш загальним, ніж «ексклюзивний» або «».

Розглянемо перші два речення вище. Здається, що перше речення - «Том поїде до Берліна чи Парижа» - має бути правдою, якщо Том поїде до обох. Або розглянемо друге речення: «У нас є кава або чай». У більшості ресторанів це означає, що у них є як кава, так і чай, але вони очікують, що ви замовите лише один з них. Адже було б дивно сказати, що у них є кава або чай, а потім кажуть, що помилково, що у них є і кава, і чай. Або, аналогічно, припустимо, офіціант сказав: «У нас є кава або чай», а потім ви сказали «Я буду мати обидва», а офіціант відповів «У нас немає обох». Це здавалося б дивним. Але якщо вам здасться дивним, то ви неявно погоджуєтеся, що диз'юнкція повинна трактуватися як інклюзивне «або».

Подібні приклади свідчать логікам, що інклюзивне «або» (де перший рядок таблиці є істинним) є випадком за замовчуванням, і що контекст нашої мови говорить нам, коли не обидва диз'юнкти вірні. Наприклад, коли в ресторані є меню з фіксованою ціною - де ви платите одну плату, а потім отримуєте або стейк, або омарів, під контекстом розуміється, що це означає, що ви можете мати той чи інший, але не обидва. Але це не логіка, це соціальний звичай. Потрібно знати про ресторани, щоб визначити це.

Таким чином, семантику диз'юнкції прийнято визначати як

Φ	ψ	(ΦVψ)
Т	Т	Т
Т	F	Т
F	Т	Т
F	F	F

Ми не втратили можливості висловити ексклюзивне «або». Можна сказати, «той чи інший, але не обидва», що виражається формулою «(Φ v ψ) ^ ¬ (Φ ^ ψ))». Щоб перевірити, ми можемо скласти таблицю істинності для цього складного виразу:

Φ	ψ	(Φ ^ ψ)	(Φ v ψ)	¬ (Φ ^ ψ)	((Φ v ψ) ^ ¬ (Φ ^ ψ))
Т	Т	Т	Т	F	F
Т	F	F	Т	Т	Т
F	Т	F	Т	Т	Т
F	F	F	F	Т	F

Зауважте, що ця формула еквівалентна виключному «або» (це правда, коли Φ істинно або ψ є істинним, але не тоді, коли обидва є істинними або обидва є хибними). Отже, якщо нам потрібно сказати щось на зразок ексклюзивного «або», ми можемо це зробити.

7.3 Альтернативні форми

Здається, не існує багато альтернативних виразів в англійській мові, еквівалентних «або». У нас є

P або Q

Або P або Q

Вони обидва виражені в нашій логіці з (P v Q).

Один вираз, який виникає в англійській мові, - це «ні... ні...». Цей вираз, здається, найкраще захоплений, просто перетворюючи його в «ні... або...». Давайте перевіримо цю пропозицію. Розглянемо речення

Ні Сміт, ні Джонс не поїдуть до Лондона.

Це речення висловлює думку про те, що Сміт не поїде в Лондон, і що Джонс не поїде в Лондон. Отже, безумовно, було б помилкою висловити це як

Або Сміт не поїде в Лондон, або Джонс не поїде в Лондон.

Чому? Тому що це останнє речення було б правдою, якби хтось із них поїхав до Лондона, а один з них - ні. Розглянемо таблицю істини для цього виразу, щоб побачити це. Використовуйте наступний ключ перекладу.

П: Сміт поїде до Лондона.

Q: Джонс поїде до Лондона.

Тоді припустимо, що ми зробили (неправильно) перевести «Ні Сміт, ні Джонс не поїдуть до Лондона» з

(¬П v ¬Q)

Ось таблиця істинності для цього виразу.

П	Q	¬Q	¬П	(¬пв¬q)
Т	Т	F	F	F
Т	F	Т	F	Т
F	Т	F	Т	Т
F	F	Т	Т	Т

Зауважте, що це речення є істинним, якщо P є істинним, а Q помилковим, або якщо Q є істинним, а P є хибним. Іншими словами, це правда, якщо хтось із двох їде до Лондона. Це не те, що ми маємо на увазі англійською мовою під цим реченням, стверджуючи, що жоден з них не поїде до Лондона.

Краще переклад ¬ (PvQ).

П	Q	(ПВХ)	¬ (ПВХ)
Т	Т	Т	F
Т	F	Т	F
F	Т	Т	F
F	F	F	Т

Це добре захоплює ідею: це правда лише в тому випадку, якщо кожен не їде до Лондона. Отже, ми можемо просто перевести «ні... ні...» як «Це не так, що ні... або...».

7.4 Міркування з диз'юнкціями

Як ми будемо міркувати з диз'юнкцією? Дивлячись на таблицю правди, яка визначає диз'юнкцію, ми виявляємо, що ми мало знаємо, якщо нам кажуть, що, скажімо, (P v Q). P може бути істинним, а може бути помилковим. Те ж саме стосується Q. Все, що ми знаємо, це те, що вони обидва не можуть бути помилковими.

Це дійсно пропонує розумний і корисний вид правила висновку. Якщо у нас є диз'юнкція, і ми виявляємо, що половина її помилкова, то ми знаємо, що інша половина повинна бути правдою. Це вірно для будь-якого диз'юнкта. Це означає, що у нас є два правила, але ми можемо згрупувати обидва правила з єдиним ім'ям і розглядати їх як одне правило:

(Φ v ψ)

¬Φ

_____

ψ

і

(Φ v ψ)

¬ψ

_____

Φ

Це правило традиційно називається «modus tollendo ponens».

Що робити, якщо нам потрібно показати диз'юнкцію? Одне розуміння, яке ми можемо використовувати, полягає в тому, що якщо якесь речення є істинним, то будь-яка диз'юнкція, яка його містить, є істинною Це так, чи складається речення перший або другий ди'юнкт. Знову ж таки, у нас було б два правила, які ми можемо згрупувати разом під одним ім'ям:

Φ

_____

(Φ v ψ)

і

ψ

_____

(Φ v ψ)

Це правило часто називають «доповненням».

Правило додавання часто збиває з пантелику учнів. Здається, це чит, ніби нам щось йде безкоштовно. Але момент роздумів допоможе уточнити, що вірно якраз навпаки. Ми втрачаємо інформацію, коли використовуємо правило додавання. Якщо ви запитаєте мене, де Джон, і я скажу: «Джон у Нью-Йорку», я сказав вам більше, ніж якби я відповів вам: «Джон або в Нью-Йорку, або в Нью-Джерсі». Просто так, коли ми переходимо від якогось речення P до (PvQ), ми не отримали щось безкоштовно.

Це правило має, здавалося б, дивне наслідок, що з, скажімо, 2+2=4 ви можете отримати, що або 2+2=4, або 7=0. Але це здається дивним, тому що в нормальній мові ми маємо ряд неявних правил. Філософ Пол Грайс (1913-1988) описав деякі з цих правил, і ми іноді називаємо описані ним правила «Максимами Гріса». ^[9] Він зауважив, що в розмові ми очікуємо, що люди дадуть всю необхідну інформацію, але не більше; намагатися бути правдивими; говорити речі, які є релевантними; і бути чіткими, короткими та впорядкованими. Отже, у звичайних англійських розмовах, якщо хтось каже: «Том у Нью-Йорку чи Нью-Джерсі», вони порушували б правило давати достатньо інформації та говорити про те, що є актуальним, якби знали, що Том у Нью-Йорку. Це також означає, що ми очікуємо, що люди будуть використовувати диз'юнкцію, коли у них є підстави вважати, що будь-який або обидва диз'юнкти можуть бути правдою. Але наша логічна мова розроблена лише для того, щоб бути точною, і ми робимо мову точною, вказуючи, коли речення є істинним чи хибним, і вказуючи відносини між реченнями з точки зору їх істинних значень. Таким чином, ми не представляємо і не вкладаємо в нашу мову, максими розмови Гріса. Залишається правдою, що якби ти знав, що Том у Нью-Йорку, але відповів на моє запитання «Де Том?» сказавши «Том у Нью-Йорку чи Нью-Джерсі», то ви даремно витратили мій час. Але ви не сказали чогось помилкового.

Зараз ми в змозі перевірити аргумент Сократа. Використовуючи наступний ключ перекладу, ми можемо перевести аргумент в символічну форму.

П: Вчинок хороший, тому що боги люблять цей акт.

З: Боги люблять вчинок, тому що це добре.

Евтифро сперечався

\ [\ fitchprf {\ лінія [1] {(P\ lor Q)} [приміщення]} {}\]» клас = «ql-img-відображений-рівняння швидкого латексного автоматичного формату» висота = «55" title="Відображено QuickLatex.com» ширина = «422" src =» https://human.libretexts.org/@api/de...660092f_l3.png "/>

Сократ змусив Евтріфро визнати, що

\ [\ fitchprf {\ лінія [1] {(P\ або Q)} [приміщення]\\\ лінія [2] {\ lnot P} [передумова]} {}\]» клас = «ql-img-відображений-рівняння швидкого латексного автоматичного формату» висота = «77" title="Відображено QuickLatex.com» width="422" src=» https://human.libretexts.org/@api/de...2496b43_l3.png "/>

І так у нас є просте пряме виведення:

\ [\ fitchprf {\ лінія [1] {(P\ або Q)} [приміщення]\\\ лінія [2] {\ not P} [приміщення]} {\ рядок [3] {Q} [модуль tollendo ponens, 1, 2]}\]» клас = «ql-img-відображений-рівняння швидкого латекс-автоформату» висота = «77" title="Відображено QuickLatex.com» width="579" src =» https://human.libretexts.org/@api/de...c0db84f_l3.png "/>

Аргумент Сократа є справедливим. Я залишу це вам, щоб визначити, чи здоровий аргумент Сократа.

Інший приклад може бути корисним. Ось аргумент в нашій логічній мові.

(Р в Q)

¬П

(¬П → (Q → R)

_____

(R v S)

Це буде використано правило додавання, і тому корисно для ілюстрації застосування цього правила. Ось один з можливих доказів.

\ [\ fitchprf {\ лінія [1] {(P\ або Q)} [приміщення]\\\ лінія [2] {\ not P} [приміщення]\\\ лінія [3] {(\ не P\ lif (Q\ lif R))} [приміщення]} {\ лінія [4.] {Q} [режим полендо, 1, 2]\\\ pline [5] {(Q\ lif R)} [режим поненса, 3, 2]\\\ pline [6.] {R} [режим поненса, 5, 4]\\\ pline [7.] {(R\ lor S)} [додавання, 6]}\]» клас = «ql-img-відображений-рівняння швидкого латекс-автоформату» висота = «165" title="Відображено QuickLatex.com» ширина = «579" src=» https://human.libretexts.org/@api/de...901798b_l3.png "/>

7.5 Альтернативні символізації диз'юнкції

Нам пощастило, що не було популярних альтернатив використанню «v» як символу диз'юнкції. Мабуть, другим найбільш широко використовуваним альтернативним символом був «||», такий, що (P v Q) буде символізуватися:

(Р || Q)

7.6 Проблеми

1. Переведіть наступний уривок в нашу логіку пропозиції. Доведіть, що аргумент є дійсним.

   Або доктор Кронекер, або єпископ Берклі вбили полковника Кардиналіті. Якщо доктор Кронекер вбив полковника Кардиналі, то доктор Кронекер опинився на кухні. Якщо єпископ Берклі вбив полковника Кардиналіті, значить, він опинився в вітальні. Якщо єпископ Берклі був у вітальні, то він був в чоботях. Але єпископ Берклі не був в чоботях. Так, доктор Кронекер вбив полковника.

2. Переведіть наступний уривок в нашу логіку пропозиції. Доведіть, що аргумент є дійсним.

   Або Вітгенштейн, або Мейнонг вкрали діаманти. Якщо Мейнонг вкрав діаманти, значить, він опинився в більярдному залі. Але якщо Мейнонг був в бібліотеці, то його не було в більярдному залі. Тому, якщо Мейнонг знаходився в бібліотеці, Вітгенштейн вкрав діаманти.

3. Доведіть наступне за допомогою деривації.
   1. Приміщення: (PvQ), (Q → S), (¬S^T). Висновок: (T ^ P).
   2. Приміщення: ((Р → ¬Q) ^ (R → S)), (Q v R). Висновок: (P → S).
   3. Приміщення: (РВ), (S → Т) ^V), ¬T, (R^V) → П). Висновок: (PvQ).
   4. Приміщення: ((P^Q) v R), ((P^Q) → S), ¬S. Висновок: Р.
   5. Висновок: ((PvQ) → (¬P → Q)).
4. Розглянемо наступні чотири карти на малюнку 7.1. Кожна карта має букву з одного боку, а фігуру з іншого боку.
   

   Малюнок 7.1

   Для кожної з наступних претензій визначте (1) мінімальну кількість карт, які ви повинні перевернути, щоб перевірити претензію, і (2) які ці картки, щоб визначити, чи відповідає вимога всім чотирьом картам.

   1. Якщо на літерній стороні картки є P або Q, то на стороні форми картки є ромб.
   2. Якщо на літерній стороні картки є Q, то на стороні форми картки є або діамант, або зірка.
5. У звичайній розмовній англійській мові напишіть свій власний вагомий аргумент принаймні з двома приміщеннями, принаймні одне з яких є диз'юнкцією. Ваш аргумент повинен бути просто абзацом (а не впорядкованим списком речень або чимось іншим, що виглядає як формальна логіка). Переведіть його в логіку пропозиції і доведіть, що вона дійсна.

---

[9] Грайс (1975).