1.5: «І»

5. «І»

5.1 Кон'юнкція

Щоб зробити нашу логічну мову більш простою та інтуїтивною у використанні, тепер ми можемо додати до неї елементи, які роблять її здатною виражати еквіваленти інших речень з природної мови, як англійська. Наші переклади не будуть точними, але вони будуть досить близькими, що: по-перше, ми матимемо спосіб швидше зрозуміти мову, яку ми будуємо; і, по-друге, ми матимемо спосіб говорити англійською точніше, коли цього від нас вимагається.

Розглянемо наступні вирази. Як би ми перевели їх на нашу логічну мову?

Том поїде до Берліна та Парижа.

Число a рівномірно ділиться на 2 і 3.

Стів з Техасу, але не з Далласа.

Ми могли б перекласти кожне з них за допомогою атомного речення. Але тоді ми втратили, а точніше, ми б приховали - інформацію, яка явно присутня в англійських реченнях. Ми можемо захопити цю інформацію, запровадивши новий сполучний; той, який відповідає нашому «і».

Щоб переконатися в цьому, подумайте, чи погодитеся ви, що ці речення вище еквівалентні наступним реченням.

Том поїде до Берліна, а Том поїде до Парижа.

Число a рівномірно ділиться на 2, а число a рівномірно ділиться на 3.

Стів з Техасу, і це не так, що Стів з Далласа.

Як тільки ми надаємо, що ці речення еквівалентні вищезазначеним, ми бачимо, що ми можемо розглядати «і» у кожному реченні як істинно функціональну сполучну.

Припустимо, ми припустимо наступний ключ.

П: Том поїде до Берліна.

З: Том поїде до Парижа.

R: a рівномірно ділиться на 2.

S: a рівномірно ділиться на 3.

Т: Стів з Техасу

У: Стів з Далласа.

Частковий переклад цих речень був би таким:

П і Q

R і S

Т і ¬У

Наше третє речення вище може викликати деякі суперечки. Як ми повинні розуміти «але»? Вважайте, що з точки зору істинності значення пов'язаних речень, «але» - це те ж саме, що і «і». Тобто, якщо ви говорите «P, але Q», ви стверджуєте, що і P, і Q вірні. Однак в англійській мові є додаткове значення; англійське «але», здається, вказує на те, що додаткове речення є несподіваним або незрозумілим. «P, але Q», здається, говорить: «P - це правда, і ви знайдете це дивно або несподівано, що Q також вірний». Цей додатковий сенс втрачається в нашій логіці. Ми не будемо представляти сюрприз чи очікування. Отже, ми можемо розглядати «але» як те саме, що і «і». Це фіксує істинне значення речення, утвореного за допомогою «але», що є все, що ми вимагаємо від нашої логіки.

Дотримуючись нашого методу до цих пір, ми хочемо, щоб символ позначав «і». В останні роки найбільш часто використовуваним символом є «^».

Синтаксис «^» простий. Якщо Φ і ψ - речення, то

(Φ^ψ)

це вирок. Таким чином, наші переклади трьох прикладів речень повинні виглядати наступним чином:

(П ^ Q)

(R^S)

(T^¬U)

Кожен з них називається «кон'юнкція». Дві частини сполучника називаються «кон'юнктами».

Семантику сполучника дає його таблиця істинності. Більшість людей вважають семантику кон'юнктора очевидною. Якщо я стверджую, що обидва Φ і ψ є істинними, нормальне використання вимагає, щоб якщо Φ є помилковим або ψ помилковим, або обидва помилкові, то я також говорив помилково.

Розглянемо приклад. Припустимо, ваш роботодавець каже: «Після одного року працевлаштування ви отримаєте підвищення і двотижневу відпустку». Проходить рік. Припустимо, тепер, коли цей роботодавець дає вам підвищення, але не відпустку, або відпустку, але не підвищення, ні відпустку. У кожному конкретному випадку роботодавець порушив свою обіцянку. Речення, що утворює обіцянку, виявилося помилковим.

Таким чином, семантика для сполучника наведена з наступною таблицею істинності. Для будь-яких речень Φ і ψ:

Φ	ψ	(Φ^ψ)
Т	Т	Т
Т	F	F
F	Т	F
F	F	F

5.2 Альтернативні фрази та інше «і»

Ми зазначили, що англійською мовою «але» є альтернативою «і», і може бути перекладено так само в нашій логіці пропозиції. Є й інші фрази, які мають схоже значення: їх найкраще перекладати сполучниками, але вони передають (англійською) почуття подиву або провалу очікувань. Наприклад, розглянемо наступне речення.

Незважаючи на те, що вони програли битву, вони виграли війну.

Тут «хоч», здається, робить ту ж роботу, що і «але». Мається на увазі те, що дивно - можна очікувати, що якщо вони програли битву, то вони програли війну. Але, як ми вже зазначили, ми не будемо захоплювати очікування своєю логікою. Отже, ми б вважали це речення достатньо еквівалентним:

Вони програли битву і вони виграли війну.

За винятком «але», здається, в англійській мові немає іншого єдиного слова, яке є альтернативою «і», що означає те саме. Однак є багато способів, які можна мати на увазі кон'юнкцію. Щоб переконатися в цьому, розглянемо наступні пропозиції.

Том, який виграв гонку, теж виграв чемпіонат.

Зірка Фосфор, яку ми бачимо вранці, - Вечірня зірка.

Вечірня зірка, яку називають «Геспер», також є Ранковою зіркою.

Поки Стів високий, Том - ні.

Собаки - хребетні наземні ссавці.

Залежно від того, які елементи ми приймаємо як основні в нашій мові, всі ці речення включають неявні сполучники. Вони еквівалентні наступним пропозиціям, наприклад:

Том виграв гонку, а Том виграв чемпіонат.

Фосфор - це зірка, яку ми бачимо вранці, а фосфор - Вечірня зірка.

Вечірня зірка називається «Геспер», а Вечірня зірка - Ранкова зірка.

Стів високий, і Том не високий.

Собаки - хребетні, а собаки наземні, а собаки - ссавці.

Таким чином, нам потрібно бути чутливими до складних речень, які є сполучниками, але які не використовують «і» або «але» або фраз на кшталт «хоча».

На жаль, в англійській мові є деякі вживання «і», які не є сполучниками. Те ж саме стосується еквівалентних термінів в деяких інших природних мовах. Ось приклад.

Рочестер знаходиться між Буффало і Олбані.

«і» в цьому реченні не є сполучником. Щоб переконатися в цьому, зауважте, що це речення не еквівалентно наступному:

Рочестер знаходиться між Буффало і Рочестер знаходиться між Олбані.

Це речення навіть не є семантично правильним. Що відбувається в оригінальному реченні?

Питання тут полягає в тому, що «знаходиться між» - це те, що ми називаємо «присудком». Ми дізнаємося про присудки в главі 11, але те, що ми можемо сказати тут, це те, що деякі присудки приймають кілька імен, щоб сформувати речення. В англійській мові, якщо присудок приймає більше двох імен, то ми зазвичай використовуємо «і» для об'єднання імен, які описуються цим присудком. На відміну від цього, сполучник в нашій пропозіційній логіці об'єднує лише пропозиції. Отже, ми повинні сказати, що існують деякі використання англійського «і», які не еквівалентні нашому сполучнику.

Це може бути заплутаним, оскільки іноді англійською мовою ми ставимо «і» між іменами, і існує мається на увазі сполучник. Розглянемо:

Стів старший за Джо і Карен.

Поверхнево це виглядає такою ж структурою, як «Рочестер знаходиться між Буффало і Олбані». Але це речення дійсно еквівалентно:

Стів старший за Джо, а Стів старший за Карен.

Різниця, однак, полягає в тому, що для того, щоб одна була між двома іншими, має бути три речі. Потрібно лише дві речі, щоб одна була старшою за іншу. Отже, у реченні «Рочестер між Буффало і Олбані» нам потрібні всі три імена («Рочестер», «Буффало» та «Олбані»), щоб скласти єдине власне атомне речення з «між». Це говорить нам про те, що «і» просто використовується для об'єднання цих імен, а не для об'єднання неявних речень (оскільки не може бути ніякого мається на увазі речення про те, що є «між», використовуючи лише два або лише одне з цих імен).

Це звучить складно. Однак не впадайте у відчай. Використання «і» для ідентифікації імен, які використовуються предикатами, менш поширене, ніж «і», що використовується для сполучника. Крім того, після того, як ми обговоримо присудки в главі 11, і після того, як ви практикуєте переклад різних видів речень, відмінність між цими вживаннями «і» стане легко ідентифікувати майже у всіх випадках. А поки підберемо приклади, які не викликають цієї плутанини.

5.3 Правила умовиводу для сполучників

Дивлячись на таблицю правди для сполучника, слід сказати нам дві речі дуже чітко. По-перше, якщо кон'юнкція істинна, що ще має бути правдою? Очевидна відповідь полягає в тому, що обидві частини, кон'юнкти, повинні бути вірними. Ми можемо ввести правило, щоб зафіксувати це розуміння. Насправді ми можемо ввести два правила і називати їх однаковими іменами, оскільки порядок кон'юнктів не впливає на їх істинну цінність. Ці правила часто називають «спрощенням».

(Φ^ψ)

_____

Φ

І:

(Φ^ψ)

_____

ψ

Іншими словами, якщо (Φ^ψ) істинно, то Φ має бути істинним; а якщо (Φ^ψ) істинно, то ψ має бути істинним.

Ми також можемо ввести правило, щоб показати кон'юнкцію, засновану на тому, що ми бачимо з таблиці істинності. Тобто зрозуміло, що існує лише одна умова, в якій (Φ^ψ) є істинним, і це коли Φ істинно і коли ψ істинно. Це говорить про наступне правило:

Φ

ψ

_____

(Φ^ψ)

Ми могли б назвати це правило «сполучником», але щоб уникнути плутанини з назвою речень, ми будемо називати це правило «ад'юнкція».

5.4 Міркування зі сполучниками

Було б корисно розглянути деякі приклади міркувань з сполучниками. Почнемо з аргументу природною мовою.

Том та Стів поїдуть до Лондона. Якщо Стів поїде в Лондон, то він поїде на Око. Том теж буде їздити на Оці, за умови, що він поїде до Лондона. Отже, і Стів, і Том будуть їздити на Око.

Нам потрібен ключ перекладу.

Т: Том поїде до Лондона.

С: Стів поїде до Лондона.

У: Том буде їздити на Око.

В: Стів буде їздити на Око.

Таким чином, наш аргумент:

(Т ^ S)

(S → U)

(Т→В)

_____

(V^U)

Наше пряме доказ буде виглядати наступним чином.

\ [\ fitchprf {\ лінія [1] {(T\ земля S)} [приміщення]\\ pline [2.] {(S\ lif U)} [приміщення]\\ pline [3.] {(T\ lif V)} [приміщення]\\} {\ pline [4.] {T} [спрощення, 1]\\\ pline [5.] {V} [режим поненса, 3, 4]\\\ pline [6.] {S} [спрощення, 1]\\\ pline [7.] {U} [режим поненса, 2, 6]\\\ pline [8.] {(V\ land U)} [примикання, 5, 7]}\]» клас = "ql-img-відображається-рівняння швидкого латекс-автоформату» висота = «209" title="Відображено QuickLatex.com» width="512" src=» https://human.libretexts.org/@api/de...753f6d9_l3.png "/>

Тепер приклад з використанням тільки нашої логічної мови. Розглянемо наступний аргумент.

(Q→ ¬S)

(Р → (Q^R)

(Т → ¬ R)

П

_____

(¬ S^ ¬ Т)

Ось один з можливих доказів.

\ [\ fitchprf {\ лінія [1] {(Q\ lif\ not S)} [приміщення]\\\ лінія [2] {(P\ lif (Q\ земля R))} [приміщення]\\ pline [3.] {(T\ lif\ lnot R)} [приміщення]\\\ лінія [4] {P} [приміщення]} {\ pline [5.] {(Q\ земля R)} [модуль поненса, 2, 4]\\\ pline [6.] {Q} [спрощення, 5]\\\ pline [7.] {\ lnot S} [режим поненс, 1, 6]\\\ рядок [8] {R} [спрощення, 5]\\\ pline [9.] {\ not\ not R} [подвійне заперечення, 8]\\\ рядок [10] {\ not T} [модуль доповнення, 3, 9]\\\ рядок [1] {(\ lnot S\ land\ lnot T)} [примикання, 7, 10]}\]» клас = «ql-img-відображається-рівняння швидкого латексного автоматичного формату» висота = «253" title="Відображено QuickLatex.com» width="512" src=» https://human.libretexts.org/@api/de...b95bc4d_l3.png "/>

5.5 Альтернативні символізації для кон'юнкції

Альтернативні позначення для сполучника включають символи «&» і символ «∙». Таким чином, вираз (P^Q) буде записано в таких різних стилів, як:

(P&Q)

(Р∙Q)

5.6 Складні речення

Тепер, коли у нас є три різних зв'язку, це зручний час для розгляду складних речень. Приклад, який ми щойно розглянули, вимагав від нас символізувати складні речення, в яких використовується кілька різних видів зв'язків. Ми хочемо уникнути плутанини, чітко розуміючи природу цих речень. Ми також хочемо мати можливість зрозуміти, коли такі речення є істинними, а коли вони помилкові. Ці дві цілі тісно пов'язані між собою.

Розглянемо наступні пропозиції.

¬ (Р → Q)

(¬ П → Q)

(¬ П → ¬ Q)

Ми хочемо зрозуміти, що це за речення, а також коли вони правдиві і коли вони помилкові. (Іноді люди помилково припускають, що існує якийсь простий закон розподілу для заперечення та умовних, тому існує додаткове значення для перегляду цих конкретних прикладів.) Перше завдання - визначити, які це види речень. Якщо першим символом вашого виразу є заперечення, то ви знаєте, що пропозиція є запереченням. Перше речення вище - заперечення. Якщо першим символом вашого виразу є дужка, то для нашого логічного мови ми знаємо, що маємо справу з сполучною, яка об'єднує два речення.

Спосіб продовження полягає в тому, щоб відповідати дужкам. Взагалі люди вміють робити це на око, але якщо ви цього не зробите, ви можете скористатися наступним правилом. Рухаючись зліва направо, останнє «(», яке ви зустрічаєте, завжди відповідає першому «)», з яким ви стикаєтеся. Вони утворюють речення, яке повинно мати дві частини, поєднані з сполучною. Ви можете визначити дві частини, оскільки кожна буде атомним реченням, реченням заперечення або більш складним реченням, пов'язаним дужками з кожного боку сполучної.

У нашій пропозіціонной логіці кожен набір парних дужок утворює своє речення. Отже, коли ми стикаємося з речення, яке починається з дужок, ми виявляємо, що якщо ми збігаємося з іншими дужками, ми в кінцевому підсумку закінчимо з двома реченнями як складових, по одному на кожній стороні одного сполучного. Сполучна, яка об'єднує ці дві частини, називається «основною сполучною», і вона говорить нам, що це за речення. Таким чином, вище ми маємо приклади заперечення, умовного і умовного.

Як ми повинні розуміти значення цих пропозицій? Тут ми можемо використовувати таблиці істинності новим, третім способом (разом із визначенням сполучних та перевіркою аргументів). Наш метод буде таким.

Спочатку випишіть пропозицію праворуч, залишивши багато місця. Визначте, що це за речення. Якщо це речення заперечення, вам слід додати лише ліворуч стовпець для нерегульованого речення. Це тому, що таблиця істини, що визначає заперечення, говорить нам, що означає заперечене речення стосовно незапереченого речення, яке утворює речення. Якщо речення є умовним, зробіть два стовпці ліворуч, один для попереднього і один для послідовного. Якщо пропозиція є сполучником, зробіть зліва два стовпчики, по одному для кожного сполучника. Знову ж таки, ми робимо це, тому що семантичні визначення цих зв'язків говорять нам, що таке істинне значення речення, як функція істинної цінності двох його частин. Продовжуйте цей процес, поки частини не будуть атомними реченнями. Потім ми визначаємо всі можливі значення істини для атомних речень. Як тільки ми це зробили, ми можемо заповнити таблицю істинності, працюючи зліва направо.

Спробуємо його для ¬ (P → Q). Пишемо його праворуч.

¬ (Р → Q)

Це речення заперечення, тому ми пишемо ліворуч речення, яке заперечується.

(Р → Q)	¬ (Р → Q)

Це речення є умовним. Дві його частини - атомні речення. Ми ставимо їх ліворуч від розділової лінії, і ми обумовлюємо всі можливі комбінації істинних значень для цих атомних речень.

П	Q	(Р → Q)	¬ (Р → Q)
Т	Т
Т	F
F	Т
F	F

Тепер ми можемо заповнити кожен стовпець, рухаючись зліва направо. Ми обговорили значення P і Q, щоб ми могли визначити можливі значення істинності (P→Q). Смислове визначення «→» говорить нам, як це зробити, враховуючи, що ми знаємо для кожного рядка істинну цінність його частин.

П	Q	(Р → Q)	¬ (Р → Q)
Т	Т	Т
Т	F	F
F	Т	Т
F	F	Т

Цей стовпець тепер дозволяє нам заповнити останній стовпець. Речення в останньому стовпці є запереченням (P→Q), тому визначення «¬» говорить нам, що ¬ (P→Q) є істинним, коли (P→Q) є хибним, а ¬ (P→Q) є хибним, коли (P→Q) істинно.

П	Q	(Р → Q)	¬ (Р → Q)
Т	Т	Т	F
Т	F	F	Т
F	Т	Т	F
F	F	Т	F

Ця таблиця істинності говорить нам, що означає ¬ (P→Q) в нашій логіці пропозиції. А саме, якщо ми стверджуємо ¬ (P→Q), ми стверджуємо, що P є істинним, а Q є хибним.

Ми можемо скласти подібні таблиці істинності для інших речень.

П	Q	¬ П	(¬ П → Q)
Т	Т	F	Т
Т	F	F	Т
F	Т	Т	Т
F	F	Т	F

Як ми зробили цей стіл? Речення (¬ P → Q) - умовне з двома частинами, ¬ P і Q. Оскільки Q атомний, він буде з лівого боку. Робимо ряд для ¬ П. Речення ¬ P - заперечення P, яке є атомним, тому ставимо P також зліва. Заповнюємо стовпці, йдучи зліва направо, використовуючи наші визначення з'єднань.

І:

П	Q	¬П	¬Q	(¬П →¬Q)
Т	Т	F	F	Т
Т	F	F	Т	Т
F	Т	Т	F	F
F	F	Т	Т	Т

Така таблиця істинності дуже корисна для визначення того, коли речення є, а не є рівнозначними. Ми неодноразово використовували поняття еквівалентності, але ще не визначили його. Ми можемо запропонувати і смислове, і синтаксичне, пояснення еквівалентності. Тут актуальне семантичне поняття: ми говоримо, що два речення Φ і ψ є «еквівалентними» або «логічно еквівалентними», коли вони повинні мати однакове значення істини. (Синтаксичне поняття еквівалентності див. Розділ 9.2). Ці таблиці істини показують, що ці три речення не є еквівалентними, оскільки це не так, що вони повинні мати однакову істинну цінність. Наприклад, якщо P і Q є істинними, то ¬ (P→Q) є хибним, але (¬P→Q) є істинним і (¬P→¬Q) істинним. Якщо P є хибним, а Q істинним, то (¬P→Q) є істинним, але (¬P→¬Q) є хибним. Таким чином, кожне з цих пропозицій вірно в тій чи іншій ситуації, коли одне з інших є помилковим. Немає двох з них рівнозначних.

Ми повинні розглянути приклад, який використовує кон'юнкцію, і який може допомогти в деяких перекладах. Як нам перекласти «Не і Стів, і Том поїдуть до Берліна»? Це речення говорить нам, що не так, що обидва Стів поїде до Берліна, а Том поїде до Берліна. Однак вирок дозволяє, що один з них поїде до Берліна. Таким чином, нехай я маю на увазі Стів поїде до Берліна, а V означає, що Том поїде до Берліна. Тоді ми повинні перевести це речення, ¬ (U^V). Ми не повинні перекладати речення (¬U^¬V). Щоб зрозуміти, чому, розглянемо їх таблиці істинності.

U	V	(U ^ V)	¬ (U ^ V)	¬ U	¬ V	(¬U^¬V)
Т	Т	Т	F	F	F	F
Т	F	F	Т	F	Т	F
F	Т	F	Т	Т	F	F
F	F	F	Т	Т	Т	Т

Ми бачимо, що ¬ (U^V) і (¬U^¬V) не еквівалентні. Також зверніть увагу на наступне. Обидва ¬ (U^V) і (¬U^¬V) вірні, якщо Стів не їде до Берліна, а Том не їде до Берліна. Це зафіксовано в останньому рядку цієї таблиці істинності, і це відповідає значенню англійського речення. Але, тепер зауважте: це правда, що і Стів, і Том не поїдуть до Берліна, якщо Стів піде, а Том - ні. Це зафіксовано у другому рядку цієї таблиці істинності. Це правда, що і Стів, і Том не поїдуть до Берліна, якщо Стів не поїде, але Том. Це зафіксовано в третьому рядку цієї таблиці істинності. В обох випадках (в обох рядках таблиці істинності), ¬ (U^V) є істинним, але (¬U^¬V) помилковим. Таким чином, ми бачимо, що ¬ (U^V) є правильним перекладом «Не і Стів, і Том поїдуть до Берліна».

Розглянемо більш складне речення, яке використовує всі наші зв'язки поки що: ((P^¬Q) →¬ (P→Q)). Це речення є умовним. Попередник - це сполучник. Наслідком є заперечення. Ось таблиця істинності, завершена.

П	Q	¬Q	(Р → Q)	(Р^¬Q)	¬ (Р → Q)	((P^¬Q) →¬ (Р → Q)
Т	Т	F	Т	F	F	Т
Т	F	Т	F	Т	Т	Т
F	Т	F	Т	F	F	Т
F	F	Т	Т	F	F	Т

Це речення має цікаву властивість: воно не може бути помилковим. Це не дивно, коли ми думаємо про те, що він говорить. В англійській мові речення говорить: Якщо P істинний, а Q - помилковий, то це не той випадок, що P має на увазі Q. Це повинно бути правдою: якщо це був випадок, коли P має на увазі Q, то якщо P істинний, то Q є істинним. Але попередник каже, що P є істинним, а Q помилковим.

Речення логіки пропозиції, які повинні бути істинними, називаються «тавтологіями». Їх ми детально обговоримо в наступних розділах.

Нарешті, зауважте, що ми можемо поєднати цей метод пошуку умов істинності для складного речення з нашим методом визначення того, чи є аргумент дійсним за допомогою таблиці істинності. Нам потрібно буде це зробити, якщо будь-яке наше приміщення або висновок складний. Ось приклад. Почнемо з аргументу англійською мовою:

Якщо кити - ссавці, то у них є рустигіальні кінцівки. Якщо кити - ссавці, то у них чотириногий предок. Тому якщо кити - ссавці, то у них чотириногий предок і у них є рустигіальні кінцівки.

Нам потрібен ключ перекладу.

П: Кити - ссавці.

Q: У китів є рустигіальні кінцівки.

Р: У китів є чотириногий предок.

Потім аргумент буде символізуватися як:

(Р → Q)

(Р → Р)

____

(Р → (R ^ Q)

Ось семантична перевірка аргументу.

			приміщення	приміщення		висновок
П	Q	R	(Р → Q)	(Р → Р)	(R ^ Q)	(Р → (R ^ Q)
Т	Т	Т	Т	Т	Т	Т
Т	Т	F	Т	F	F	F
Т	F	Т	F	Т	F	F
Т	F	F	F	F	F	F
F	Т	Т	Т	Т	Т	Т
F	Т	F	Т	Т	F	Т
F	F	Т	Т	Т	F	Т
F	F	F	Т	Т	F	Т

Ми виділили ряди, де приміщення все вірно. Зверніть увагу, що для них висновок вірний. Таким чином, в будь-якій ситуації, в якій всі приміщення вірні, висновок вірний. Це рівнозначно, ми відзначили, нашому визначенню дійсного: обов'язково, якщо всі приміщення вірні, висновок вірний. Так що це вагомий аргумент. Третій стовпець аналізованих речень (стовпець для (R ^ Q)) є, щоб ми могли визначити, коли висновок вірний. Висновок є умовним, і нам потрібно було знати, для кожного виду ситуації, якщо його попередній P, і якщо його наслідок (R ^ Q), вірні. Третя колонка розповідає нам про ситуації, в яких наслідок є істинним. Положення зліва говорять нам, в якій ситуації істинний попередній P.

5.6 Проблеми

1. Перекладіть наступні пропозиції на нашу логічну мову. Для цього вам потрібно буде створити свій власний ключ.
   1. Улісс, який лукавий, родом з Ітаки.
   2. Якщо Улісс перехитрить і Кола, і Циклопа, то він може піти додому.
   3. Улісс може піти додому, тільки якщо він не з Трої.
   4. Улісс родом з Ітаки, але не з Трої.
   5. Улісс не одночасно лукавий і з Ітаки.
2. Доведіть, що наступні аргументи є дійсними, використовуючи пряму деривацію.
   1. Передумова: ((Р → Q) ^ ¬Q). Висновок: ¬П.
   2. Приміщення: ((Р → Q) ^ (R → S)), (¬Q ^ ¬S). Висновок: (¬P ^ ¬R).
   3. Приміщення: ((R ^ S) → Т), (Q ^ ¬T). Висновок: ¬ (R ^ S).
   4. Приміщення: (Р → (R → S), (R ^ P). Висновок: С.
   5. Приміщення: (Р → (R → S), (¬S ^ P). Висновок: ¬R.
3. Складіть таблиці істинності для наступних складних речень. Визначте, які тавтології.
   1. (((Р → Q) ^ ¬Q) → ¬П)
   2. ¬ (Р ^ Q)
   3. ¬ (¬П → ¬Q)
   4. (Р ^ ¬П)
   5. ¬ (Р ^ ¬П)
4. Зробіть таблиці істинності, щоб показати, коли наступні речення є істинними, а коли вони помилкові. Створіть, яке з цих речень рівнозначне.
   1. ¬ (Р ^ Q)
   2. (¬П ^ ¬Q)
   3. ¬ (Р → Q)
   4. (Р^¬Q)
   5. (¬П ^ Q)
   6. ¬ (¬П → ¬Q)
5. Напишіть дійсний аргумент звичайною розмовною англійською мовою принаймні з двома передумовами, одне з яких є сполучником або включає сполучник. Ваш аргумент повинен бути просто абзацом (а не впорядкованим списком речень або чимось іншим, що виглядає як формальна логіка). Перевести аргумент в логіку пропозиції. Доведіть, що це дійсно.
6. Напишіть дійсний аргумент у звичайній розмовній англійській мові принаймні з трьома передумовами, одне з яких є сполучником або включає сполучник і одне з яких є умовним або включає умовне. Перевести аргумент в логіку пропозиції. Доведіть, що це дійсно.
7. Зробіть свій власний ключ, щоб перевести наступний аргумент в нашу логіку пропозиції. Переводимо тільки частини жирним шрифтом. Доведіть, що аргумент є дійсним.

«Я підозрюю доктора Кронекера у злочині крадіжки книги Кантора», - сказав інспектор Тарський. Його помічник, містер Керролл, терпляче чекав його міркувань. «Бо, - сказав Тарський, - злодій залишив сигаретний попіл на столі. Злодій теж не надягав взуття, а безшумно прослизнув в кімнату. Таким чином, якщо доктор Кронекер курить і знаходиться в його панчохових ногах, то він, швидше за все, вкрав книгу Кантора. У цей момент Тарскі вказав на ноги Кронекера. «Доктор Кронекер в панчохах ніг. Тарський потягнувся вперед і витягнув з кишені Кронекера золотий портсигар. «А Кронекер курить». Містер Керролл мудро кивнув: «Ваш висновок очевидний: доктор Кронекер, швидше за все, вкрав книгу Кантора».