11.4.1: Таблиці істинності

Розробимо те, що називається формальною семантикою Sentential Logic. Семантика стосується, серед іншого, того, як істина деяких речень впливає на істинність інших речень. Правда та брехня, як кажуть, є двома значеннями істини, які можуть мати речення. Але речення не може мати обох одночасно.

Ось таблиця істини, яка дає картину того, як працює заперечення:

Ця таблиця передбачає, серед іншого, що (A & B) та ~ (A & B) мають протилежні значення істини, як ви можете бачити, дозволивши P скорочувати «(A & B)» в таблиці істинності.

Ось таблиця істинності того, як «v» впливає на істинні значення речення:

Останній рядок цієї таблиці означає, що якби речення A (при заміні на P) було помилковим, а речення B (замінене на Q) було помилковим, то речення A v B повинно бути помилковим. Але таблиця не поширюється лише на прості літери речення. Останній рядок також означає, що якщо речення C & A є помилковим, а речення C & B є помилковим, то речення (C & A) v (C & B) також є помилковим.

Ось таблиця правди для &

&-таблиця говорить вам, що єдиний спосіб & речення бути істинним - це те, щоб обидва його складові речення були правдивими. Наприклад, єдиний спосіб для (A v B) & (C v A) бути істинним - це істина (A v B), щоб бути правдою і (C v A) бути правдою.

Ось таблиця істини для →

Ви можете побудувати більші таблиці істинності, щоб допомогти вам з'ясувати істинні значення складних речень, знаючи правдиві значення їх складових букв речення. Ось таблиця істинності для (A & (A → B)) → B. Проміжні стовпці для A → B і для A & (A → B) - це наша «робота з подряпинами», щоб допомогти нам з'ясувати істинне значення великого речення.

Вам потрібен рядок таблиці істинності для кожного способу, який ви можете призначити Ts і Fs компонентним літерам речення. Якби в офіційному реченні була третя буква речення, така як C, то її таблиця істинності потребувала б вісім рядків замість чотирьох. Як ми з'ясували, що T належить в останньому рядку в останньому стовпці наведеної вище таблиці? Ми використали той факт, що речення (A & (A → B)) → B - це в основному → речення, якщо частина якого F [як ми виявили, виконуючи роботу з подряпиною] і чиї тодішньої частини F. Тоді ми помітили, що таблиця істинності для P → Q говорить, що, коли P має значення істини F і Q має значення F, ми повинні призначити T до P → Q. Ось чому T належить в нижньому рядку в правій колонці таблиці вище.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Яке значення істини E v (F & G) в рядку таблиці істинності, де E є помилковим, а F і G є істинними?

Відповідь

Це правда. Якщо F і G є істинними, то F & G має бути істинним. Але це робить правильну сторону «v», і таблиця правди для «v» тоді вимагає, щоб повне речення було правдою.

Для кожного речення Sentential Logic, незалежно від того, наскільки довгим є речення, ми можемо побудувати його таблицю істинності таким чином і з'ясувати умови (рядки), за яких воно є істинним, і умови, за яких воно помилкове. Ця особливість Sentential Logic називається істинною функціональністю Sentential Logic.

Щоб сказати трохи більше про семантику, ми можемо визначити логічно істинне речення або тавтологію в Sentential Logic, щоб бути реченням, яке є істинним незалежно від того, якими є істинні значення його простих літер. Наприклад, A v ~A є тавтологією, а A v B - ні. V B може бути істинним або може бути помилковим залежно від того, які значення A і B мають. Це вийде помилковим, якщо A і B є помилковими, як ви могли б перевірити, розробляючи таблицю істинності. Речення, яке завжди є помилковим, не більше того, що є істина-значення його простих літер, називається протиріччям. A & ~A - це протиріччя. Більшість речень логіки речень не є ні тавтологіями, ні протиріччями. Ми називаємо такі вироки контингентними. Наприклад, речення A v B є умовним. У деяких умовах вони істинні, а в інших умовах помилкові.

Давайте повернемося на мить до англійської мови і порівняємо те, що ми щойно сказали про умовні речення Sentential Logic з умовними реченнями англійської мови. 4Речення «Президент Ейзенхауер був генералом» є контингентним, оскільки воно може бути правдою і може бути помилковим. Але це насправді правда; це насправді не помилково. Це може бути помилковим, не в тому сенсі, що це може стати помилковим, а лише в тому сенсі, що це могло бути помилковим, якби факти світу були різними. Вирок «Президент Ейзенхауер був генералом або не був» є логічною істиною, і ви могли б зрозуміти, що це правда, навіть якщо ви ніколи не чули про президента Ейзенхауера. Немає ніякого способу змінити умови чи факти світу, щоб зробити це речення чимось іншим, ніж істинним. Ви зрозумієте, що це просто дивитися на його основну логічну форму і знати, як «або» і «заперечення» працюють англійською мовою. Тепер, припустимо, є людина, про яку ви ніколи не чули, скажіть Сен-Чу. Чи знаєте ви, чи відповідає дійсності наступне речення?

Сен-Чу був і не був генералом.

Ви можете сказати, що це помилково тільки через його смислової структури, про те, як працюють слова «і» і «не». Незалежно від того, хто ця людина Сен-Чу, вирок повинен бути помилковим. Це розуміння семантичної структури відображається в Sentential Logic, коли ви зрозумієте, що складне речення A & ~A має бути помилковим, навіть якщо ви не знаєте істинного значення A.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Одне з таких пропозицій - тавтологія, одне - контингентне, а одне - протиріччя. Що таке?

F & (~Ф в Г)
~F v (B & (B → F))
(С → Г) v ~ (С → Г)

Відповідь

контингент, протиріччя, тавтологія.

Заперечення пропозиції p - це ще одне речення q, яке має протилежну істину-значення як p в будь-якій ситуації, тобто при будь-якому присвоєнні Ts і Fs основним буквам пропозиції. Легко помітити, що ~A - це заперечення А.

Кажуть, що два твердження семантично еквівалентні (або просто еквівалентні), якщо вони погоджуються у своїх істинних значеннях незалежно від ситуації, тобто незалежно від того, яке призначення Ts і Fs їх основним буквам речення. A еквівалентно ~~A. B еквівалентно B v B ~ A еквівалентно A → (B & ~B).

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Речення C v ~B еквівалентно одному і лише одному з наступних речень. Який з них?

а. С → Б
Б. Б → C
c. ~B → C
d. B → ~C
e. ~B → ~C

Відповідь

б.