Розділ 10: Практичні вправи

Практика вправи

* Частина А Надайте обґрунтування (правила та номери рядків) для кожного рядка доказу, який вимагає його.

*Частина B Дайте доказ для кожного аргументу в SL.

1. \(K\)&\(L\),.. \(K\)↔\(L\)
2. \(A\)→ (\(B\)→\(C\)),. (\(A\)&\(B\)) →\(C\)
3. \(P\)& (\(Q\)⠀\(R\)),\(P\) →¬\(R\),.. \(Q\)∨\(E\)
4. (\(C\)&\(D\)) ⠀\(E\),.. \(E\)∨\(D\)
5. ¬\(F\) →\(G\)\(H\),\(F\) →,. \(G\)∨\(H\)
6. (\(X\)&\(Y\)) ⠀ (\(X\)&\(Z\)), ¬ (\(X\)&\(D\))\(D\),\(M\) ≠.. \(M\)

Частина C Дайте доказ для кожного аргументу в SL.

1. \(Q\)→ (\(Q\)& ¬\(Q\)),.. ¬\(Q\)
2. \(J\)→¬\(J\),.. ¬\(J\)
3. \(E\)⠀\(F\),\(F\) ⠀\(G\), ¬\(F\),.. \(E\)&\(G\)
4. \(A\)↔\(B\),\(B\) ↔\(C\),.. \(A\)↔\(C\)
5. \(M\)∨ (\(N\)→\(M\)),.. ¬\(M\) →¬\(N\)
6. \(S\)↔\(T\),.. \(S\)↔ (\(T\)⠀\(S\))
7. (\(M\)⠀\(N\)) & (\(O\)⠀\(P\)),\(N\) →\(P\), ¬\(P\),.. \(M\)&\(O\)
8. (\(Z\)&\(K\)) ⠀ (\(K\)&\(M\)),\(K\) →\(D\),.. \(D\)

Частина D Показати, що кожне з наступних пропозицій є теоремою в SL.

1. \(O\)→\(O\)
2. \(N\)¬\(N\)
3. ¬ (\(P\)&¬\(P\))
4. ¬ (\(A\)→¬\(C\)) → (\(A\)→\(C\))
5. \(J\)↔ [\(J\)⠀ (\(L\)&¬\(L\))]

Частина E Покажіть, що кожна з наступних пар речень є доказово еквівалентною в SL.

1. ¬¬¬¬¬\(G\),\(G\)
2. \(T\)→\(S\), ¬\(S\) →¬\(T\)
3. \(R\)↔\(E\),\(E\) ↔\(R\)
4. ¬\(G\) ↔\(H\), ¬ (\(G\)↔\(H\))
5. \(U\)→\(I\), ¬ (\(U\)&¬\(I\))

Частина F Надайте докази, щоб показати кожне з наступного.

1. \(M\)& (¬\(N\) →¬\(M\)) (\(N\)&\(M\)) ¬\(M\)
2. {\(C\)→ (\(E\)&\(G\)), ¬\(C\) →\(G\)}\(G\)
3. {(\(Z\)&\(K\)) ↔ (\(Y\)&\(M\)),\(D\) & (\(D\)→\(M\))}\(Y\) →\(Z\)
4. {(\(W\)₵\(X\)) ≠ (\(Y\)⠀\(Z\)),\(X\) →\(Y\), ¬\(Z\)}\(W\) ⠀\(Y\)

Частина G Для наступного надайте докази, використовуючи лише основні правила. Докази будуть довшими, ніж докази тих самих претензій використовуватимуть похідні правила.

1. Показати, що MT є законним похідним правилом. Використовуючи тільки основні правила, доведіть наступне:\(\mathcal{A}\) →\(\mathcal{B}\), ¬\(\mathcal{B}\),.. ¬\(\mathcal{A}\)
2. Покажіть, що Comm є законним правилом для біумовних. Використовуючи лише основні правила, доведіть, що\(\mathcal{A}\) ↔\(\mathcal{B}\) і\(\mathcal{B}\) ↔\(\mathcal{A}\) рівнозначні.
3. Використовуючи лише основні правила, доведіть наступний приклад законів ДеМорган: (¬\(A\) &¬\(B\)),.. ¬ (\(A\)∨\(B\))
4. Не використовуючи правило QN, доведіть\(x\)\(\mathcal{A}\) ¬¬\(x\)\(\mathcal{A}\)
5. Покажіть, що ↔ ex є законним похідним правилом. Використовуючи лише основні правила, доведіть, що\(D\) ↔\(E\) і (\(D\)→\(E\)) & (\(E\)→\(D\)) еквівалентні.

* Частина H

1. Визначте, які з наведених нижче примірників заміщення\(xRcx\):\(Rac\),\(Rca\),\(Raa\),\(Rcb\),\(Rbc\),,\(Rcc\),\(Rcd\),,\(Rcx\)
2. Визначте, які з наведених нижче екземплярів підстановки\(yLxy\):\(xLbx\)\(Lab\),\(x\)\(yLby\)\(xLxa\)

* Частина I Надайте обґрунтування (правила та номери рядків) для кожного рядка доказу, який вимагає одного.

* Частина J Надайте докази кожної претензії.

1. \(xFx\)¬⃣\(xFx\)
2. {\(x\)(\(Mx\)↔\(Nx\)),\(Ma\)\(xRxa\) &}\(xNx\)
3. {\(x\)(¬ ⠀\(Mx\)\(Ljx\)), 17\(x\) (\(Bx\)→\(Ljx\)), ₵\(x\) (\(Mx\)⠀\(Bx\))} ⃣\(xLjx\)
4. 4\(x\) (\(Cx\)&\(Dt\)) ️\(xCx\) &\(Dt\)
5. \(x\)(\(Cx\)⠀\(Dt\))\(xCx\) ⠀\(Dt\)

Частина K Надайте доказ аргументу про Біллі на стор. 62.

Частина L Подивіться назад на частину B на стор. 73. Надайте докази, щоб показати, що кожна з форм аргументу є дійсною в QL.

Частина М. Аристотель та його наступники ідентифікували інші силогістичні форми. Символізуйте кожну з наступних форм аргументу в QL і додайте додаткові припущення «Є\(A\)» і «Є a»\(B\). Потім довести, що доповнені форми аргументів дійсні в QL.

Darapti: Всі\(A\)\(B\)\(A\) s є\(C\) s s. Деякі\(B\) є\(C\).
Фелаптон:\(B\) Тепер ми\(C\) є s. всі\(B\) ми є\(A\) s. Деякі\(A\) ні\(C\).
Барбарі: Всі\(B\)\(C\) ми є s. всі\(B\) ми є\(A\) s. Деякі\(A\) є\(C\).
Каместрос: Всі\(C\)\(B\)\(A\) s є\(B\) s s. Деякі\(A\) ні\(C\).
Celaront: Тепер\(B\)\(C\) ми є s. всі\(B\) ми є\(A\) s. Деякі\(A\) ні\(C\).
Чезаро: Тепер\(B\) ми є\(C\)\(A\) s\(Bs\). Всі ми є. Деякі\(A\) ні\(C\).
Фапезмо: Всі\(B\) ми є\(C\) s\(A\) s.,\(B\) Тепер s є s. Деякі\(C\) ні\(A\).

Частина N Надайте докази кожної претензії.

1. \(x\)\(yGxy\)\(xGxx\)
2. \(x\)17.3\(y\) (\(Gxy\)→\(Gyx\)) ️\(x\)\(y\) (\(Gxy\)↔\(Gyx\))
3. {\(x\)(\(Ax\)→\(Bx\)),\(xAx\)}\(xBx\)
4. {\(Na\)→⃣\(x\) (\(Mx\)↔\(Ma\))\(Ma\), ¬\(Mb\)} ¬\(Na\)
5. \(z\)(\(Pz\)¬\(Pz\))
6. \(xRxx\)\(x\)\(yRxy\)
→7. \(x\)(\(y\)\(Qy\)→\(Qx\))

Частина O Покажіть, що кожна пара речень є доказово еквівалентною.

1. \(x\)(\(Ax\)→¬\(Bx\)),\(x\) ¬(\(Ax\) &\(Bx\))
2. ✅\(x\) (¬\(Ax\) →\(Bd\)),\(xAx\) ∨\(Bd\)
3. \(xPx\)→\(Qc\),\(x\) (\(Px\)→\(Qc\))

Частина P Покажіть, що кожне з наступного є доказово суперечливим.

1. {\(Sa\)→\(Tm\),\(Tm\) →\(Sa\),\(Tm\) &¬\(Sa\)}
2. {\(xRxa\)¬,\(x\)\(yRyx\)}
3. {\(x\)\(yLxy\)¬,\(Laa\)}
4. {\(x\)(\(Px\)→\(Qx\)),\(z\) (\(Pz\)→\(Rz\)),\(yPy\), ¬\(Qa\) &¬\(Rb\)}

*Частина Q Напишіть ключ символізації для наступного аргументу, перекладіть його та доведіть:

Є хтось, кому подобається кожен, хто любить всіх, що йому подобається. Тому є хтось, хто любить себе.

Частина R Надайте докази кожної претензії.

1. {\(Pa\)⠀\(Qb\),\(Qb\) →\(b\) =\(c\), ¬\(Pa\)}\(Qc\)
2. {\(m\)=\(n\) ₵\(n\) =\(o\),\(An\)}\(Am\) ≠\(Ao\)
3. {\(xx\)=\(m\),\(Rma\)}\(xRxx\)
4. \(xx\)¬≠\(m\) ⃣ ⃣\(x\)\(y\) (\(Px\)→\(Py\))
5. \(x\)\(y\)(\(Rxy\)→\(x\) =\(y\))\(Rab\) →\(Rba\)
6. {\(xJx\),\(x\) ¬\(Jx\)}\(x\)\(y\)\(x\) ≠\(y\)
7. {\(x\)(\(x\)=\(n\) ↔\(Mx\)),\(x\)\(Ox\) (¬\(Mx\))}\(On\)
8. {\(xDx\),\(x\) (\(x\)=\(p\) ↔\(Dx\))}\(Dp\)
9. {\(xKx\)&⃣\(y\) (\(Ky\)→\(x\) =\(y\)) &\(Bx\),\(Kd\)}\(Bd\)
10.\(Pa\) →⃣\(x\) (\(Px\)\(x\)≠\ (a)

Частина S Подивіться назад на частину D на стор. 74. Для кожного аргументу: Якщо він дійсний у QL, дайте доказ. Якщо вона недійсна, побудуйте модель, щоб показати, що вона недійсна.

*Частина T Для кожної з наступних пар речень: Якщо вони логічно еквівалентні в QL, дайте докази, щоб показати це. Якщо їх немає, побудуйте модель, щоб показати це.

1. \(xPx\)→\(Qc\),\(x\) (\(Px\)→\(Qc\))
2. 3\(xPx\) &\(Qc\),\(x\) (\(Px\)&\(Qc\))
3. \(Qc\)\(xQx\),\(x\) (⠀\(Qc\)\(Qx\))
4. \(x\)\(y\)\(zBxyz\),\(xBxxx\)
5. ???\(x\)?\(yDxy\)????\(y\)???\(xDxy\)
??? \(x\)\(yDxy\),\(y\),\(xDxy\)

*Частина U Для кожного з наступних аргументів: Якщо вона дійсна в QL, дайте доказ. Якщо вона недійсна, побудуйте модель, щоб показати, що вона недійсна.

1. \(x\)4\(yRxy\),.. \(y\)\(xRxy\)
2. \(y\)\(xRxy\),.. \(yRxy\)
4\(x\) 3. \(x\)(\(Px\)&¬\(Qx\)),.. \(x\)(\(Px\)→¬\(Qx\))
4. 4\(x\) (\(Sx\)→\(Ta\))\(Sd\),.. \(Ta\)
5. \(x\)(\(Ax\)→\(Bx\)),\(x\) (\(Bx\)→\(Cx\)),. 4\(x\) (\(Ax\)→\(Cx\))
6. \(x\)(\(Dx\)⠀\(Ex\)),\(x\) (\(Dx\)→\(Fx\)),.. \(x\)(\(Dx\)&\(Fx\))
7. \(x\)17.4\(y\) (\(Rxy\)⠀\(Ryx\)),.. \(Rjj\)
8. \(x\)\(y\)(⠀\(Rxy\)\(Ryx\)),.. \(Rjj\)
9. ★\(xPx\)\(xQx\) →⃣,\(x\) ¬\(Px\),.. \(x\)¬\(Qx\)
10. \(xMx\)\(xNx\)→,\(xNx\) ¬,.. ★\(x\) ¬\(Mx\)

Частина V

1. Якщо ви знаєте\(\mathcal{B}\),\(\mathcal{A}\) що, що ви можете сказати про (\(\mathcal{A}\)&\(\mathcal{C}\))\(\mathcal{B}\)? Поясніть свою відповідь.
2. Якщо ви знаєте\(\mathcal{B}\),\(\mathcal{A}\) що, що ви можете сказати про\(\mathcal{A}\) (\(\mathcal{C}\)≠)\(\mathcal{B}\)? Поясніть свою відповідь.