Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

Розділ 08: Докази та моделі

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    52245

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Як ви вже можете підозрювати, існує зв'язок між теоремами та тавтологіями.

    Існує формальний спосіб показати, що речення - це теорема: Доведіть це. Для кожного рядка ми можемо перевірити, якщо цей рядок слідує за цитованим правилом. Це може бути важко зробити докази двадцяти рядків, але це не так важко перевірити кожен рядок доказу і підтвердити, що це legitime— і якщо кожен рядок доказу окремо є законним, то весь доказ є законним. Показуючи, що речення є тавтологією, однак, вимагає міркування англійською мовою про всі можливі моделі. Немає офіційного способу перевірки, щоб перевірити, чи обґрунтовані міркування. Враховуючи вибір між показом того, що речення є теоремою, і показом того, що це тавтологія, було б легше показати, що це теорема.

    Навпаки, немає формального способу показати, що речення не є теоремою. Нам потрібно було б міркувати англійською мовою про всі можливі докази. Але існує формальний метод показу того, що речення не є тавтологією. Нам потрібно лише побудувати модель, в якій речення є помилковим. Враховуючи вибір між показом того, що речення не є теоремою, і показуючи, що це не тавтологія, було б легше показати, що це не тавтологія.

    На щастя, речення - це теорема тоді і лише тоді, коли це тавтологія. Якщо ми надаємо доказ\(\mathcal{A}\) і таким чином покажемо, що це теорема, випливає, що\(\mathcal{A}\) це тавтологія; тобто,\(\mathcal{A}\). Аналогічно, якщо ми будуємо модель, в якій\(\mathcal{A}\) є помилковою і таким чином покажемо, що це не тавтологія, то випливає, що\(\mathcal{A}\) це не теорема.

    Загалом,\(\mathcal{A}\)\(\mathcal{B}\) якщо і тільки\(\mathcal{A}\) якщо\(\mathcal{B}\). Як такий:

    • Аргумент справедливий тоді і тільки в тому випадку, якщо висновок виводиться з приміщення.
    • Два речення логічно еквівалентні тоді і лише тоді, коли вони доказово еквівалентні.
    • Набір речень послідовний тоді і лише тоді, коли він не є доказово суперечливим.

    Ви можете вибрати і вибрати, коли думати з точки зору доказів, а коли думати з точки зору моделей, роблячи те, що легше для даного завдання. Таблиця 6.1 підсумовує, коли найкраще давати докази і коли найкраще давати моделі.

    Таким чином докази та моделі дають нам універсальний інструментарій для роботи з аргументами. Якщо ми можемо перевести аргумент в QL, то ми можемо виміряти його логічну вагу чисто формальним способом. Якщо він дедуктивно дійсний, ми можемо дати офіційний доказ; якщо він недійсний, ми можемо надати офіційний контрприклад.

    ТАК НІ
    Це\(\mathcal{A}\) тавтологія? довести\(\mathcal{A}\) дати модель, в якій\(\mathcal{A}\) є помилковим
    Це\(\mathcal{A}\) протиріччя? довести ¬\(\mathcal{A}\) дати модель, в якій\(\mathcal{A}\) вірно
    Є\(\mathcal{A}\) контингентом? дати модель, в якій\(\mathcal{A}\) є істинним, а інший, в якому\(\mathcal{A}\) є помилковим довести\(\mathcal{A}\) або ¬\(\mathcal{A}\)
    Є\(\mathcal{A}\) і\(\mathcal{B}\) еквівалентні? \(\mathcal{A}\)довести\(\mathcal{B}\)\(\mathcal{B}\) і\(\mathcal{A}\) дати модель, в якій\(\mathcal{A}\) і\(\mathcal{B}\) мають різні значення істини
    Чи є набір\(\mathcal{A}\) послідовним? дати модель, в якій всі речення в\(\mathcal{A}\) істинні беручи речення в\(\mathcal{A}\), довести\(\mathcal{B}\) і ¬\(\mathcal{B}\)
    Є аргументом '\(\mathcal{P}\),.. \(\mathcal{C}\)'Дійсний? \(\mathcal{P}\)довести\(\mathcal{C}\) дати модель, в якій\(\mathcal{P}\) істинно і\(\mathcal{C}\) є помилковим

    Таблиця 6.1: Іноді простіше показати щось, надаючи докази, ніж надавши моделі. Іноді буває і навпаки. Це залежить від того, що ви намагаєтеся показати.