Розділ 05: Правила ідентифікації

Last updated
Save as PDF

Page ID: 52244

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Присудок ідентичності не є частиною QL, але ми додаємо його, коли нам потрібно символізувати певні речення. Для доказів, пов'язаних з особистістю, ми додаємо два правила доказування.

Припустимо, ви знаєте, що багато речей, які\(a\) вірні, також вірні\(b\). Наприклад:\(Aa\) &\(Ab\),\(Ba\) &\(Bb\), ¬\(Ca\) &¬\(Cb\),\(Da\) &\(Db\), ¬\(Ea\) &¬\(Eb\), і так далі. Цього було б недостатньо для обґрунтування висновку\(a\) =\(b\). (Див. стор. 89.) Взагалі, немає пропозицій, які вже не містять присудок ідентичності, який міг би виправдати висновок\(a\) =\(b\). Це означає, що правило введення ідентичності не виправдовує\(a\) =\(b\) або будь-яке інше твердження ідентичності, що містить дві різні константи.

Однак завжди вірно, що\(a\) =\(a\). Взагалі, ніяких приміщень не потрібно для того, щоб зробити висновок про те, що щось ідентично собі. Таким чином, це буде правило введення ідентичності, скорочено =I:

Зверніть увагу, що правило =I не вимагає посилання на будь-які попередні рядки доказу. Для будь-якої\(\mathcal{c}\) константи ви можете\(\mathcal{c}\) написати\(\mathcal{c}\) = у будь-якій точці лише з правилом =I як обґрунтування.

Якщо ви показали, що\(a\) =\(b\), то все, що є істинним, також\(a\) має бути вірним\(b\). Для будь-якого речення з\(a\) в ньому ви можете замінити деякі або всі входження\(a\) з\(b\) і створити еквівалентне речення. Наприклад, якщо ви вже знаєте\(Raa\), то ви виправдані в укладанні\(Rab\),\(Rba\),\(Rbb\).

Правило усунення ідентичності (=E) дозволяє нам це зробити. Це виправдовує заміну термінів іншими термінами, які ідентичні йому.

Для написання правила ми введемо новий біт символізму. Для речення\(\mathcal{A}\) та констант\(\mathcal{c}\) і\(\mathcal{d}\), ₵\(\mathcal{d}\) -\(\mathcal{Ac}\) це речення, вироблене заміною деяких або всіх екземплярів\(\mathcal{c}\) in\(\mathcal{A}\) на\(\mathcal{d}\) або заміною примірників\(\mathcal{d}\) з\(\mathcal{c}\). Це не те саме, що примірник підміни, тому що одна константа не повинна замінювати кожне виникнення іншого (хоча це може).

Тепер ми можемо коротко написати =E таким чином:

Щоб побачити правила в дії, розглянемо такий доказ: