2.12: Як побудувати докази

Ви можете думати про побудову доказів як гру. Мета гри полягає в тому, щоб зробити висновок з даного приміщення, використовуючи лише 8 дійсних правил висновку, які ми ввели. Звичайно, не кожен доказ вимагає від вас використання кожного правила. Але ви можете використовувати будь-яке з правил, якщо ви використовуєте це правило правильно. Як і більшість ігор, люди можуть бути краще або гірше в «грі» побудови доказів. Кращі гравці зможуть а) зробити менше помилок, б) швидше побудувати докази і в) побудувати докази ефективніше. Для того, щоб побудувати докази, необхідно інтерналізувати 8 дійсних форм висновку, введені в попередньому розділі. Ви будете цитувати ці форми висновку як правила, які виправдовують кожен новий рядок вашого доказу, що ви додаєте. Під «інтерналізувати» я маю на увазі, що ви запам'ятали їх настільки добре, що ви можете бачити, як ці форми проявляються в різних реченнях, майже навіть не замислюючись про це. Якщо ви інтерналізуєте правила таким чином, побудова доказів буде приємною диверсією, а не розчаровує діяльністю. На додаток до інтерналізації 8 дійсних форм висновку, є кілька різних стратегій, які можуть допомогти, коли ви застрягли і не можете зрозуміти, що робити далі. Перший - це стратегія роботи назад. Коли ми працюємо назад у доказі, ми запитуємо себе, яке правило ми можемо використовувати, щоб вивести речення, яке нам потрібно вивести. Ось приклад:

1. R ⋅ S
2. Т /⋅ (Т в Л) ⋅ (R ⋅ S)

Висновок, який знаходиться праворуч від другої передумови і слідує за символом «/emy», є кон'юнкцією (оскільки точка є основним оператором). Якщо ми намагаємося «працювати назад», відповідне питання, яке потрібно задати: Яке правило ми можемо використовувати для отримання сполучника? Якщо ви знаєте правила, ви повинні знати відповідь на це питання. Існує лише одне правило, яке дозволяє нам вивести (зробити висновок) речення, яке є сполучником. Це правило називається «кон'юнкція». Форма кон'юнкції правила говорить про те, що для того, щоб вивести сполучник, нам потрібно мати кожен кон'юнкт в окремому рядку. Отже, які два кон'юнкти нам знадобляться для того, щоб вивести кон'юнкцію, яка є висновком (тобто «(T v L) ⋅ (R ⋅ S)»). Нам знадобиться як «T v L» на рядку, так і «R ⋅ S» на окремому рядку. Але подивіться на передумову 1 - у нас вже є «R ⋅ S» на власній лінії! Тож єдине інше, що нам потрібно вивести - це речення «T v L». Після того, як ми маємо це на окремому рядку, ми можемо використовувати кон'юнкцію правил, щоб об'єднати ці два речення, щоб отримати висновок! Отже, наступне питання, яке ми повинні задати: Як я можу вивести речення «T v L»? Знову ж таки, якщо ми працюємо назад, відповідне питання, яке слід задати тут: Яке правило дозволяє мені вивести диз'юнкцію? Їх всього два: конструктивна дилема і доповнення. Однак ми знаємо, що не будемо використовувати конструктивну дилему, оскільки жодне з передумов не є умовним твердженням, а конструктивна дилема вимагає умовних тверджень як передумови. Це залишає додавання. Додавання дозволяє нам роз'єднати будь-яке твердження, яке нам подобається, до існуючого твердження. Оскільки у нас є «T» як друга передумова, додавання правила дозволяє нам роз'єднати «L» з цим твердженням. Перший новий рядок доказу повинен виглядати таким чином:

3. Т v Л Додавання 2

Те, що я зробив, це номер новий рядок доказу (продовжуючи нумерацію з приміщень), а потім написав правило, яке виправдовує цей новий рядок, а також рядок (и), з якого цей рядок був отриманий за допомогою цього правила. У цьому випадку, оскільки додавання - це правило, яке дозволяє вивести речення безпосередньо з одного рядка, я навів лише один рядок. Наступний крок доказу повинен бути зрозумілим, оскільки ми вже говорили про нього вище. Все, що нам потрібно зробити зараз, - це перейти безпосередньо до висновку, оскільки висновок є сполучником, і тепер ми маємо (на окремих рядках доказу) кожен кон'юнкт. Таким чином, завершальний рядок цього (досить простого) доказу повинна виглядати наступним чином:

4. (Т v L) ⋅ (R ⋅ S) З'єднання 1, 3

Знову ж таки, все, що я зробив, це написати новий рядок доказу (продовжуючи нумерацію з попереднього рядка), а потім написав правило, яке виправдовує цей новий рядок, а також рядок (и), з якого цей рядок був отриманий за допомогою цього правила. У цьому випадку кон'юнкція правила вимагає, щоб ми цитували два рядки (тобто кожен кон'юнкт, який ми з'єднуємо). Отже, я повинен знайти рядки, які містили «T v L» і «R ⋅ S» і цитувати ці рядки. Не має значення, в якому порядку ви цитуєте рядки так само, як ви цитували правильні рядки (наприклад, я міг би однаково добре написати, «Connection 3, 1» як обгрунтування). Таким чином, повне доказ має виглядати наступним чином:

1. R ⋅ S
2. Т /⋅ (Т в Л) ⋅ (R ⋅ S)
3. Т v Л Додавання 2
4. (Т v L) ⋅ (R ⋅ S) З'єднання 1, 3

Ось і все. Це все, що є для побудови доказу. Останній рядок доказу - висновок, який потрібно вивести: перевірити. Кожен рядок доказу слідує правилу, а рядок (и) цитується: check. Оскільки обидві ці вимоги перевіряються, наш доказ є повним і правильним.

Я щойно пройшов вас через простий доказ, використовуючи стратегію роботи назад. Ця стратегія працює добре до тих пір, поки висновок, який ми намагаємося зробити, є складним - тобто якщо він містить істинні функціональні зв'язки. Однак іноді наш висновок буде просто атомним твердженням. У такому випадку ми не так легко зможемо використовувати стратегію зворотної роботи. Але є й інша стратегія, яку ми можемо використати: стратегія роботи вперед. Щоб використовувати стратегію роботи вперед, ми просто запитуємо себе, які правила ми
можемо застосувати до існуючих приміщень, щоб щось отримати, навіть якщо це не той висновок, який ми в кінцевому підсумку намагаємося отримати. Як частина цієї стратегії, ми, як правило, повинні розбивати кон'юнкцію, коли ми маємо його як передумову нашого аргументу. Це може допомогти побачити, куди йти далі. (Якщо ви коли-небудь грали в Scrabble, то ви можете думати про це як про перестановку ваших плиток Scrabble, щоб побачити, які слова ви можете побудувати.) Ось приклад доказу, де ми повинні використовувати стратегію роботи вперед:

1. A ⋅ Б
2. B ALIT C /⋅ C

Зверніть увагу, що оскільки висновок є атомним, ми не можемо використовувати стратегію роботи назад. Натомість ми повинні спробувати працювати вперед. В рамках цієї стратегії ми повинні розірвати сполучники, використовуючи правило «спрощення». Це буде першим кроком нашого доказу:

1. A ⋅ Б
2. B: C/⋅ C
3. A Спрощення 1
4. B Спрощення 1

Перші два рядки доказу просто розбиває сполучення в рядку 1, де рядок 3 - це лише лівий кон'юнкт, а лінія 4 - це просто правий кон'юнкт. Обидва рядки 3 і 4 слідують за одним правилом і однаковою лінією, в даному випадку. Наступне питання, яке ми задаємо, використовуючи стратегію роботи вперед, полягає в тому, до яких рядків доказу ми можемо застосувати якесь правило, щоб вивести щось чи інше? Подивіться на умовний рядок 2. Ми цього ще не використали. Так яке правило ми можемо застосувати, що цей рядок? Ви повинні думати про правила, які використовують умовні твердження (modus ponens, modus tollens, і гіпотетичний силогізм). Ми можемо виключити гіпотетичний силогізм, оскільки тут ми маємо лише один умовний і правило гіпотетичного силогізму вимагає, щоб у нас було два. Якщо ви подивитеся на рядок 4 (який ми щойно вивели), ви повинні побачити, що він є попередником умовного оператора на рядку 2. І ви повинні знати, що це означає, що ми можемо застосувати правило, modus ponens. Отже, наш наступний крок - це зробити:

1. A ⋅ Б
2. B: C/⋅ C
3. A Спрощення 1
4. B Спрощення 1
5. Модус C Поленс 2, 4

Але тепер також зверніть увагу, що рядок, який ми тільки що вивели насправді висновок аргументу. Тож наш доказ закінчений.

Перед закриттям цього розділу давайте попрацюємо над трохи довшим доказом. Пам'ятайте: будь-який доказ, довгий або короткий, є одним і тим же процесом і використовує ту саму стратегію. Це просто питання відстеження того, де ви знаходитесь в доказі і те, що ви в кінцевому підсумку намагаєтеся отримати. Отже, ось трохи більш складний доказ:

1. (~А в Б), L
2. ~Б
3. A | B
4. Л (~R v D)
5. ~Д ⋅ (Р в Ф) /⋅ (Л в Г) ⋅ ~R

Висновок - це сполучник «L v G» та «~R», тому ми знаємо, що якщо ми можемо отримати кожне з цих речень в окремому рядку, то ми можемо використовувати кон'юнкцію правила для отримання висновку. Це буде наша довгострокова мета тут (і це використання стратегії роботи назад). Однак ми не можемо побачити, як безпосередньо дістатися звідси на цьому етапі, тому ми почнемо використовувати стратегію роботи вперед. Перше, що ми зробимо, це спростити кон'юнкцію на рядку 5:

6. ~D Спрощення 5
7. R v F Спрощення 5

Подивіться на рядки 2 і 6: вони обидва є запереченими атомними пропозиціями. Інша частина стратегії роботи вперед полягає у використанні атомних або заперечених атомних речень. Ми повинні шукати, як ми можемо використовувати modus tollens або диз'юнктивний силогізм, підключивши ці заперечені атомні речення в інші рядки доказу. Подивіться на лінії 2 і 3. Ви повинні побачити модуль tollens там. Це буде нашим наступним кроком:

8. ~A Модуль живлення 2, 3

Наступний крок цього доказу може бути трохи складним. Є кілька різних способів, які ми могли б піти. Одним було б використовувати правило «додавання». Чи можете ви бачити, як ми могли б корисно використовувати це правило, використовуючи або рядок 6 або 8? Якщо ні, я дам вам підказку: що, якби ми використовували додавання на рядку 8, щоб вивести «~A v B»? Ви бачите, як ми могли б потім підключити це в лінію 1? Насправді, «~A v B» є попередником умовного в рядку 1, тому ми могли б потім використовувати modus ponens, щоб отримати результат. Таким чином, спробуємо почати з додавання по рядку 8:

9. ~A v B Додавання 8

Далі ми будемо використовувати рядок 9 і рядок 1 з modus ponens, щоб отримати наступний рядок:

10. Л Модус Поленс 1, 9

Зверніть увагу на цей момент, що те, що ми вивели на лінії 10, - це «L», і те, що ми
раніше говорили, що нам потрібно, як один з кон'юнктів, було «L v G». Ви повинні
визнати, що у нас є правило, яке дозволить нам робити висновок безпосередньо від «L» до «L v
G». Це правило - додавання (знову ж таки). Це буде наступний рядок доказу:

11. Л v Г Додавання 10

На цьому етапі наша стратегія повинна полягати в тому, щоб спробувати вивести інший кон'юнкт, «~R». Зверніть увагу, що «~R» міститься в реченні у рядку 4, але воно вбудоване. Як ми можемо «отримати його безкоштовно»? Почніть з того, що помітити, що ~R є частиною диз'юнкції, яка сама по собі є наслідком умовного оператора. Також зауважте, що ми вже вивели попередник цього умовного оператора, що означає, що ми можемо використовувати modus ponens для отримання результату:

12. ~ R v D Модуль 4, 10

Передостанній крок полягає у використанні диз'юнктивного силогізму для отримання «~R».

13. ~R Диз'юнктивний силогізм 6, 12

Останній крок - просто з'єднати лінії 11 і 13, щоб отримати висновок:

14. (Л v G) ⋅ ~ R З'єднання 11, 13

Таким чином, ось завершений доказ:

1. (~А в Б), L
2. ~Б
3. A | B
4. Л (~R v D)
5. ~Д ⋅ (R v F) /⋅ (Л в Г) ⋅ ~ R
6. ~D Спрощення 5
7. R v F Спрощення 5
8. ~ A Модуль живлення 2, 3,
9. ~A v B Додавання 8
10. Л Модус Поненс 1, 9
11. Л v Г Додавання 10
12. ~ R v D Модус 4, 10,
13. ~ R Диз'юнктивний силогізм
14. (Л v G) ⋅ ~ R З'єднання 11, 13

Побудова доказів - це навик, який вимагає практики. Наступні вправи дадуть вам деяку практику побудови доказів.

Вправа

Побудувати докази для наступних достовірних аргументів. Перші п'ятнадцять доказів можуть бути завершені трьома і менш додатковими рядками. Наступні п'ять доказів будуть трохи довше. Важливо відзначити, що завжди існує більше одного способу побудови доказу. Якщо ваш доказ відрізняється від ключа відповіді, це не означає, що він неправильний.

#1
1. A ⋅ Б
2. (А в С) | D /⋅ А ⋅ Д

#2
1. А
2. Б /⋅ (А в С) ⋅ Б

#3
1. D - Е
2. D ⋅ Ф /⋅ Е

#4
1. J aCL K
2. Дж /⋅ К v Л

#5
1. А в Б
2. ~A ⋅ ~C /⋅ Б

#6
1. A | B
2. ~B ⋅ ~C /⋅ ~A

#7
1. D - Е
2. (E TALF) ⋅ (FSTIS D) /D - F

#8
1. (Т taLU) ⋅ (Т taLV)
2. Т /⋅ U v V

#9
1. (Е ⋅ F) v (G - Н)
2. I ст. G
3. ~ (E ⋅ F) /⋅ I TAIL H

#10
1. М | №
2. O ст. П
3. Н ст. П
4. (Н - П) TL (М v O) /N v P

#11
1. A v (B, Al A)
2. ~A ⋅ C /⋅ ~Б

#12
1. (Д в Е) taLi (F ⋅ Г)
2. D /⋅ Ф

#13
1. Т aCL U
2. V v ~U
3. ~V ⋅ ~W /⋅ ~Т

#14
1. (А в Б) taLi ~ C
2. С в Д
3. A /⋅ D

#15
1. Л v (М | Н)
2. ~L taLi (N - О)
3. ~Л /⋅ М ALI О

#16
1. A | B
2. А v (С ⋅ D)
3. ~B ⋅ ~E /⋅ C

#17
1. (F - G) ⋅ (H - I)
2. J aCL K
3. (Ф v J) ⋅ (Н в Л) /⋅ Г v К

#18
1. (Е в Ф) taLi (Г ⋅ Н)
2. (Г v H) TL I
3. E /⋅ I

#19
1. (N v O), TL P
2. (Р v Q), Це R
3. Q v N
4. ~Q /⋅ Р

#20
1. J aCL K
2. К в Л
3. (Л ⋅ ~J) taLi (М ⋅ ~J)
4. ~K /⋅ М