3.3: Невизначеність, очікувана вартість та чесні ігри

Last updated
Save as PDF

Page ID: 14061

Anonymous
LibreTexts

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

У цьому розділі ми обговорюємо поняття невизначеності. Математичні преліміарії, розглянуті в даному розділі, є основою для аналізу індивідуального прийняття рішень у невизначеній ситуації.
Учень повинен підібрати інструменти цього розділу, так як ми будемо застосовувати їх пізніше.

Як ми дізналися в розділах «1: Природа ризику - втрати та можливості» та «2: Вимірювання ризику та метрики», ризик та невизначеність залежать один від одного. Витоки відмінності сходять до пана Найта, див. Йохен Рунде, «Роз'яснення дискусії Френка Найта про значення ризику та невизначеності», Cambridge Journal of Economics 22, № 5 (1998): 539—46. який розрізняв ризик та невизначеність, стверджуючи, що вимірюється невизначеність - це ризик. У цьому розділі, оскільки ми зосереджуємось лише на вимірній невизначеності, ми не будемо розрізняти ризик та невизначеність та використовувати ці два терміни взаємозамінно.

Як ми описали в «2: Вимірювання ризику та метрики», дослідження невизначеності виникло в азартних іграх. Тому, коли ми граємо в ігри в кістки, ми маємо справу з результатами, які за своєю суттю невизначені. Галузь науки про невизначені результати - ймовірність і статистика. Зверніть увагу, що аналіз ймовірності та статистики застосовується лише в тому випадку, якщо результати невизначені. Коли студент реєструється в класі, але не відвідує жодних лекцій і не робить жодної призначеної роботи або тесту, можливий лише один результат: невдалий бал. З іншого боку, якщо учень відвідує всі заняття і набирає 100 відсотків за всіма тестами і завданнями, то можливий теж тільки один результат - оцінка «А». У цих екстремальних ситуаціях не виникає невизначеності з результатами. Але між цими двома крайнощами ховається світ невизначеності. Студенти часто роблять дослідження на інструктора і намагаються отримати «відчувати» за шанс, що вони зроблять певну оцінку, якщо вони зареєструються на курс інструктора.

Незважаючи на те, що ми розглянули деякі з цього обговорення ймовірності та невизначеності в «2: Вимірювання ризику та метрики», ми повторюємо це тут для підкріплення. З'ясування шансу, в математичному плані, те саме, що і обчислення ймовірності події. Щоб обчислити ймовірність емпіричним шляхом, ми повторюємо експеримент з невизначеними результатами (називається випадковим експериментом) і підраховуємо кількість разів , коли подія цікавить, скажімо, n, в N випробуваннях експерименту. Емпірична ймовірність події тоді дорівнює n /N. Отже, якщо вести журнал про кількість разів аварій комп'ютера за день і записує його протягом 365 днів, ймовірність збою комп'ютера в день буде сумою всіх комп'ютерних збоїв на щоденній основі (включаючи нулі по днях він взагалі не виходить з ладу) розділена на 365.

Для деяких завдань ймовірність може бути розрахована за допомогою математичного вирахування. У цих випадках ми можемо з'ясувати ймовірність попадання голови на кидок монети, двох тузів, коли дві карти випадковим чином вибираються з колоди з 52 карт і так далі (див . Приклад кістки в «2: Вимірювання ризику і метрики»). Нам не потрібно проводити випадковий експеримент, щоб фактично обчислити математичну ймовірність, як у випадку з емпіричною ймовірністю.

Нарешті, як настійно пропонувалося раніше, суб'єктивна ймовірність базується на переконаннях та досвіді людини, на відміну від емпіричної чи математичної ймовірності. Це також може залежати від душевного стану людини. Оскільки переконання не завжди можуть бути раціональними, вивчення поведінки з використанням суб'єктивних ймовірностей належить до сфери поведінкової економіки, а не традиційної економіки, заснованої на раціональності.

Тому розгляньте лотерею (азартну гру), де можливі кілька результатів з визначеними ймовірностями. Як правило, результати в лотереї складаються з грошових призів. Повертаючись до нашого прикладу кубиків «2: Вимірювання ризику та метрики», скажімо, що коли шестигранний штамп згортається, виплати, пов'язані з результатами , становлять $1, якщо 1 повертається, 2 долари за 2,..., і 6 доларів за 6. Тепер, якщо цю гру грають один раз, можна виграти одну і тільки одну суму - $1, $2 і так далі. Однак, якщо одна і та ж гра грається багато разів, яка сума, яку можна очікувати, щоб виграти?

Математично відповідь на будь-яке таке питання дуже простий і дається очікуваним значенням гри.

У азартній грі, якщо W ₁, W ₂,..., W _N є можливими N результатів з ймовірностями π ₁, π ₂,..., π _N, то очікуване значення гри (G) дорівнює

\ [Е (U) =\ сума_ {i= 1} ^ {∞} πi U (Wi) = 12 ×\ ln (2) + 14 ×\ ln (4) +... = \ сума_ {i= 1} ^ {∞} 12i ×\ ln (2i).\]

Обчислення можна розширити до очікуваних значень будь-якої невизначеної ситуації, скажімо, втрат, за умови, що ми знаємо цифри результатів та пов'язані з ними ймовірності. Імовірності сумують 1, тобто

\[\sum_{i= 1}^{N} π_i= π_1+ … + π_N =1.\]

Хоча обчислення очікуваного значення є важливим, не менш важливим є поняття за очікуваними значеннями. Зауважимо, що ми сказали, що коли мова йде про результат однієї гри, можна виграти лише одну суму, або $1, $2,..., $6. Але якщо гра грається знову і знову, то можна розраховувати на виграш E (G) = 161+ 162... + 166 = $3.50 за гру. Часто, як і в цьому випадку, очікуване значення не є одним з можливих результатів розподілу. Іншими словами, ймовірність отримати $3.50 у вищезгаданій лотереї дорівнює нулю. Тому поняття очікуваної вартості - це довгострокова концепція, і приховане припущення полягає в тому, що лотерея грається багато разів. По-друге, очікуване значення - це сума добутків двох чисел, результатів і пов'язаних з ними ймовірностей. Якщо ймовірність великого результату дуже висока, то очікувана величина теж буде високою, і навпаки.

Очікувана вартість гри використовується, коли один розробляє чесну гру. Справедлива гра, актуарно кажучи, - це та, в якій вартість гри дорівнює очікуваному виграшу гри, так що чиста вартість гри дорівнює нулю. Ми очікуємо, що люди готові грати у всі ігри справедливої вартості. Але на практиці це не так. Я не буду платити 500 доларів за щасливий результат на основі кидання монети, навіть якщо очікуваний виграш дорівнює 500 доларів. Жодна гра не ілюструє цей момент краще, ніж петербурзький парадокс.

Парадокс полягає в запропонованій грі, в якій монета кидається, поки не з'явиться «голова». Саме тоді гра закінчується. Виплата з гри наступна: якщо на першому кидку з'являється голова, то гравцеві виплачується 2$, якщо він з'являється на другому кидку то виплачується 4$, якщо він з'являється на третьому кидку, то $8 і так далі, щоб якщо голова з'явилася на n ^-му кидку то Виплата становить $2 ^п. Питання в тому, скільки б людина заплатив, щоб грати в цю гру?

Давайте спробуємо застосувати принцип справедливої вартості до цієї гри, так що вартість, яку людина готова нести, повинна дорівнювати справедливій вартості гри. Очікувана вартість гри$E(G)$ обчислюється нижче.

Гра може тривати нескінченно довго, так як керівник може ніколи не підійти в перший мільйон або мільярд випробувань. Однак давайте подивимося на очікуваний виграш від гри. Якщо голова з'являється з першої спроби, ймовірність того, що це станеться, становить 12, а виплата - 2 долари. Якщо це відбувається з другої спроби, це означає, що перший кидок дав хвіст (T), а другий - голову (H). Імовірність комбінації TH = 12×12=14, а виграш дорівнює $4. Тоді, якщо H з'являється з третьої спроби, це означає, що послідовність результатів є TTH, і ймовірність того, що відбудеться 12 × 12 × 12 = 18 з виплатою $8. Ми можемо продовжувати цей індуктивний аналіз до нескінченності. Оскільки очікувана сума всіх продуктів результатів та їх відповідних ймовірностей,

\[E(G)= 12×2+14×4+18×8+…=∞.\]

Очевидно, що хоча очікувана вартість гри нескінченна, навіть Білл Гейтсес і Уоррен Баффети світу не дадуть навіть тисячу доларів, щоб грати в цю гру, не кажучи вже про мільярди.

Даніель Бернуллі був першим, хто дав рішення цього парадоксу у вісімнадцятому столітті. Його рішення полягало в тому, що люди не дивляться на очікуване багатство, коли вони пропонують ціну лотереї, але очікувана корисність лотереї є ключовою. Таким чином, хоча очікуване багатство від лотереї може бути нескінченним, очікувана корисність, яку вона надає, може бути кінцевою. Бернуллі назвав це «моральною цінністю» гри. Математично ідею Бернуллі можна висловити за допомогою корисної функції, яка забезпечує уявлення про рівень задоволеності, який надає лотерея.

Бернуллі використовується$U(W)=ln(W)$ для представлення корисності, яку ця лотерея надає особі, де W - це виплата, пов'язана з кожною подією H, TH, TTH тощо, тоді очікувана корисність від гри дається

\ [Е (U) =\ сума_ {i= 1} ^ {∞} π і U (Ш _i) = 12× лн (2) + 14× лн (4) +... =\ сума_ {i= 1} ^ {∞} 12 i \ ln (2i),\]

який може бути показаний рівним 1,39 після деяких алгебраїчних маніпуляцій. Оскільки очікувана корисність, яку надає ця лотерея, є кінцевою (навіть якщо очікуване багатство нескінченне), люди будуть готові платити лише кінцеву вартість за гру в цю лотерею.

Наступне логічне запитання, яке слід задати, - Що робити, якщо корисність не була надана Бернуллі як природний журнал багатства, але щось інше? Що таке про природну функцію журналу, яка призводить до кінцевої очікуваної корисності? Це підводить нас до питання очікуваної корисності та її центральне місце у прийнятті рішень в умовах невизначеності в економіці.

Ключові виноси

Студенти повинні вміти пояснювати ймовірність як міру невизначеності у власних словах.
Крім того, студент також повинен бути в змозі пояснити, що будь-яке очікуване значення є сумою добутку ймовірностей і результатів і бути в змозі обчислити очікувані значення.

Питання для обговорення

Визначте ймовірність. Скільки способів можна придумати оцінку ймовірності події? Опишіть.
Поясніть необхідність використання функцій утиліти на прикладі петербурзького парадоксу.
Припустимо, що шестигранний ярмарок штамп з цифрами 1—6 згортається. Яке число ви очікуєте отримати?
Що таке актуарно чесна гра?