5: Розміри

Last updated
Save as PDF

Page ID: 30437

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

У 1906 році Лос-Анджелес отримав 540 міліметрів опадів (дощ, сніг, мокрий сніг, град).

Це опади великі чи малі?

З одного боку, 540 - це велика кількість, тому кількість опадів велика. З іншого боку, кількість опадів також становить 0,00054 кілометра, а 0,00054 - це крихітна кількість, тому кількість опадів невелика. Ці аргументи суперечать один одному, тому хоча б один повинен помилятися. Тут і те й інше - нісенітниця.

Вагомий аргумент походить від значущого порівняння - наприклад, порівняння 540 міліметрів на рік із середньою кількістю опадів у світі - яку ми оцінили в розділі 3.4.3 як 1 метр на рік. У порівнянні з цією кількістю опадів, Лос-Анджелес в 1906 році був сухим. Ще одне значуще порівняння - із середньою кількістю опадів у Лос-Анджелесі, яка становить приблизно 350 міліметрів на рік. Для порівняння, 1906 рік був мокрим роком в Лос-Анджелесі.

У дурничих аргументах зміна одиниць довжини змінювала результат порівняння. На відміну від цього, значущі порівняння не залежать від системи одиниць: Незалежно від того, які одиниці ми вибираємо для довжини та часу, співвідношення опадів не змінюється. Мовою симетрії, яку ми зустріли в главі 3, зміна одиниць - це операція симетрії, а значущі порівняння - це інваріанти. Вони інваріантні, оскільки не мають розмірів. Коли є зміни, шукайте те, що не змінюється: робіть лише безрозмірні порівняння.

Цей критерій необхідний для уникнення дурниць; однак цього недостатньо. Щоб проілюструвати складність, порівняємо кількість опадів з орбітальною швидкістю Землі. Обидві величини мають розміри швидкості, тому їх співвідношення є інваріантним при зміні одиниць. Однак судити про вологість або сухість Лос-Анджелеса, порівнюючи його опади з орбітальною швидкістю Землі, виробляє нісенітницю.

Ось мораль попередніх порівнянь. Величина з розмірами сама по собі безглузда. Значення воно набуває лише при порівнянні з відповідною величиною, що має однакові розміри. Цей принцип лежить в основі нашого наступного інструменту: розмірного аналізу.

Вправа\(\PageIndex{1}\): Book boxes are heavy

У задачі 1.1 ви оцінили масу невеликого рухомого ящика, упакованого книгами. Змініть свій розрахунок, щоб використовувати середню рухому коробку, об'ємом приблизно 0,1 кубічних метрів. Чи можете ви придумати (значущий!) порівняння, щоб переконати когось, що отримана маса велика?

Вправа\(\PageIndex{2}\): Making energy consumption meaningful

Річне споживання енергії Сполучених Штатів становить приблизно 10 ²⁰ джоулів. Запропонуйте два порівняння, щоб зробити цю величину значущою. (Шукайте будь-які величини, які вам потрібні для складання кошторису, крім самого енергоспоживання!)

Вправа\(\PageIndex{3}\): Making solar power meaningful

У задачі 3.31 ви повинні були виявити, що сонячна енергія, що падає на Землю, становить приблизно 10 ¹⁷ Вт. Запропонуйте порівняння, щоб зробити цю величину значущою.

Вправа\(\PageIndex{4}\): Energy consumption by the brain

а. людський мозок споживає близько 20 Вт і має масу 1—2 кілограми. а. зробити потужність більш значущою, оцінивши частку мозку енергоспоживання організму:

\[\frac{\textrm{brain power}}{\textrm{basal metabolism}}.\]

б. зробити цю фракцію ще більш значущою, оцінивши співвідношення

\[\frac{\textrm{the brain's fraction of the body's power consumption}}{\textrm{the brain's fraction of the body's mass}}.\]

Вправа\(\PageIndex{5}\): Making oil imports meaningful

У розділі 1.4 ми підрахували, що Сполучені Штати імпортують приблизно 3 × 10 ⁹ барелів нафти на рік. Ця кількість потребує порівняння, щоб зробити її значущою. Як одна з можливостей, оцініть співвідношення

\[\frac{\textrm{cost of the imported oil}} {\textrm{US military spending to "defend" oil-rich regions}}.\]

Якщо це співвідношення менше 1, припустити, чому уряд США не скасовує цю частину військового бюджету і використовує заощадження для забезпечення американських споживачів безкоштовною імпортною нафтою.

Exercise \(\PageIndex{6}\): Making the energy in a 9-volt battery meaningful

Using your estimate in Problem 1.11 for the energy in a 9–volt battery, estimate

\[\frac{\textrm{energy content of the battery}}{\textrm{cost of the battery}}.\]

Compare that quotient to the same quotient for electricity from the wall socket.