13.2: Матриці

Визначення

Матриця, або масив, еквівалентний набору векторів стовпців одного і того ж розміру, розташованих поруч, скажімо

$$A \, = \, [\vec{a} \,\, \vec{b}] \, = \, \begin{bmatrix} 2 & 3\\[4pt] 1 & 3\\[4pt] 7 & 2 \end{bmatrix}.$$

Ця матриця має три рядки ($m$= 3) і два стовпці ($n$= 2); вектор - це окремий випадок матриці з одним стовпцем. Матриці, як і вектори, дозволяють додавання і скалярне множення. Зазвичай ми використовуємо символ верхнього регістру для позначення матриці.

Множення вектора на матрицю

Якщо$A_{ij}$ позначає елемент матриці$A$ в$i$ 'ому рядку і$j$ 'му стовпці, то множення$\vec{c} = A \vec{v}$ будується так:

$$c_i \, = \, A_{i1} v_1 + A_{i2} v_2 + \cdots + A_{in} v_n \, = \, \sum_{j=1}^{n} A_{ij} v_j,$$

де$n$ - кількість стовпців в$A$. $\vec{c}$буде мати стільки рядків, скільки$A$ має rows ($m$). Зауважте, що це множення визначається лише у тому випадку, якщо$\vec{v}$ має стільки рядків, скільки$A$ має стовпці; вони мають узгоджений внутрішній вимір$n$. Продукт$\vec{v}A$ був би добре поставлений тільки в тому випадку, якщо б$A$ мав один рядок і належну кількість стовпців. Є ще одна важлива інтерпретація цього векторного множення — нехай індекс: вказуємо всі рядки, щоб кожен$A_{:j}$ був вектором$j$ 'го стовпця. Тоді

$$\vec{c} \, = \, A \vec{v} \, = \, A_{:1} v_1 + A_{:2} v_2 + \cdots + A_{:n} v_n.$$

Ми множимо вектори стовпців$A$ на скалярні елементи$\vec{v}$.

Множення матриці на матрицю

Множення$C = AB$ еквівалентно поряд розташування векторів стовпців$C_{:j} = AB_{:j}$, так що

$$C \, = \, AB \, = \begin{bmatrix} AB_{:1} & AB_{:2} & \cdots & AB_{:k} \end{bmatrix},$$

де$k$ - кількість стовпців в матриці$B$. Застосовується та сама умова внутрішньої розмірності, як зазначено вище: кількість стовпців у$A$ повинна дорівнювати кількості рядків у$B$. Матричне множення буває:

1. Асоціативний. $(AB) C = A (BC).$
2. Дистрибутивна. $A(B+C) = AB + AC, \, (B+C)A = BA + CA.$
3. НЕ комутативний. $AB \neq BA$, За винятком особливих випадків.

Загальні матриці

Ідентичність. Матриця ідентичності зазвичай позначається$I$ і містить квадратну матрицю з одиницями по діагоналі та нулями в іншому місці, наприклад,

$$I_{3 \times 3} \, = \, \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.$$

Ідентичність завжди задовольняє$AI_{n \times n} \, = \, I_{m \times m}A \, = \, A.$

Діагональні матриці. Діагональна матриця квадратна, і має всі нулі від діагоналі. Наприклад, наступна діагональна матриця:

$$A \, = \, \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & -2 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}.$$

Твір діагональної матриці з іншою діагональною матрицею - діагональна, і в цьому випадку операція комутативна.

Транспонувати

Транспонування вектора або матриці, позначеного$T$ верхнім індексом, є результатом простої заміни індексів рядків-стовпців кожного запису; це еквівалентно «перевертанню» вектора або матриці навколо діагональної лінії. Наприклад,

$$\vec{a} \, = \, \begin{Bmatrix} 1 \\[4pt] 2 \\[4pt] 3 \end{Bmatrix} \longrightarrow \vec{a}^T \, = \, \begin{Bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{Bmatrix}$$

$$A \, = \, \begin{bmatrix} 1 & 2 \\[4pt] 4 & 5 \\[4pt] 8 & 9 \end{bmatrix} \longrightarrow A^T \, = \, \begin{bmatrix} 1 & 4 & 8 \\[4pt] 2 & 5 & 9 \end{bmatrix}.$$

Дуже корисною властивістю транспонування є $$(AB)^T \, = \, B^T A^T.$$

Детермінант

Детермінант квадратної матриці$A$ - скаляр, рівний об'єму паралелепіпеда, укладеного складовими векторами. Двовимірний випадок особливо легко запам'ятати, і ілюструє принцип обсягу:

$$det(A) \, = \, A_{11} A{22} - A_{21} A_{12}$$

Приклад$\PageIndex{8}.1$

$$det \left( \begin{bmatrix} 1 & -1 \\[4pt] 1 & 1 \end{bmatrix} \right) \, = \, 1 + 1 \, = \, 2. \nonumber$$

і <1, 1>.» src =»/@api /декі/файли/40902/скріншот_ (103) .png «>

Малюнок$\PageIndex{1}$: двовимірний паралелепіпед, утворений векторами, наведеними вище:$\langle 1, 1 \rangle$ і$\langle 1, -1 \rangle$.

У більш високих вимірах визначник більш складний для обчислення. Загальна формула дозволяє вибрати рядок$k$, можливо, той, що містить найбільше нулів, і застосувати $$det(A) \, = \, \sum_{j=1}^{j=n} A_{kj} (-1)^{k+j} \Delta_{kj},$$

де$\Delta_{kj}$ - визначник підматриці, утвореної нехтуванням$k$ 'го рядка і$j$ 'го стовпця. Формула симетрична, в тому сенсі, що можна також націлити на$k$ 'й стовпець: $$det(A) \, = \, \sum_{j=1}^{j=n} A_{jk} (-1)^{k+j} \Delta_{jk}.$$

Якщо детермінант матриці дорівнює нулю, то матриця називається сингулярною — об'єму немає, і це випливає з того, що складові вектори не охоплюють розмірність матриці. Наприклад, у двох вимірах сингулярна матриця має вектори колінеарні; у трьох вимірах сингулярна матриця має всі свої вектори, що лежать у (двовимірній) площині. Зверніть увагу також, що$det(A) = det(A^T)$. Якщо$det(A) \neq 0,$ тоді матриця вважається несингулярною.

Зворотний

Обернена квадратна матриця$A$,$A^{-1}$ позначена, задовольняє$AA^{-1} = A^{-1}A = I.$ Його обчислення вимагає визначник вище, і наступне визначення$n \times n$ суміжної матриці:

$$adj(A) \, = \, \begin{bmatrix} (-1)^{1+1} \Delta_{11} & \cdots & (-1)^{1+n} \Delta_{1n} \\[4pt] \cdots & \cdots & \cdots \\[4pt] (-1)^{n+1} \Delta_{n1} & \cdots & (-1)^{n+n} \Delta_{nn} \end{bmatrix} ^T .$$

Після того, як цей розрахунок зроблений, зворотне випливає з $$A^(-1) \, = \, \frac{adj(A)}{det(A)}.$$

Якщо$A$ є одниною, тобто$det(A) = 0$, то зворотного не існує. Зворотний знаходить спільне застосування при розв'язанні систем лінійних рівнянь, таких як $$A \vec{x} = \vec{b} \longrightarrow \vec{x} = A^{-1} \vec{b}.$$

Власні значення та власні вектори

Типова задача на власне значення констатується як $$A \vec{x} = \lambda \vec{x},$$

де$A$ -$n \times n$ матриця,$\vec{x}$ - вектор-стовпчик з$n$ елементами, і$\lambda$ є скалярним. Ми запитуємо, які ненульові вектори$\vec{x}$ (правильні власні вектори) та$\lambda$ скаляри (власні значення) будуть задоволені рівняння. Оскільки вищесказане еквівалентно$(A - \lambda I) \vec{x} = \vec{0}$, зрозуміло, що$det (A - \lambda I) = 0.$ Це спостереження призводить до рішень для$\lambda$; ось приклад для двовимірного випадку:

Приклад$\PageIndex{8}.1$

\ begin {align*} A\, &=\,\ почати {bmatrix} 4 & -5\\ [4pt] 2 & -3\ кінець {bmatrix}\ довга стрілка\\ [4pt] [4 pt] A -\ лямбда I\, &=\,\ початок {bmatrix} 4-\ лямбда & -5\\ [4pt] 2 & -3 -\ лямбда\ кінець bmatrix}\ довга стрілка\\ [4pt] [4 пт] det (A -\ лямбда I)\, &=\, (4 -\ лямбда) (-3 -\ лямбда) + 10\\ [4пт] &=\,\ лямбда ^ 2 -\ лямбда - 2\\ [4пт] &=\, (\ лямбда + 1) (\ лямбда - 2). \ end {вирівнювати*}

Таким чином,$A$ має два власних значення,$\lambda_1 = -1$ і$\lambda_2 = 2$. Кожен пов'язаний з правим власним вектором$\vec{x}.$ У цьому прикладі

\ begin {align*} (A -\ lambda_1 I)\ vec {x} _1\, &=\,\ vec {0}\ довга стрілка\\ [4pt] [4 пт]\ початок {bmatrix} 5 & -5\ [4pt] 2 & -2\ кінець {bmatrix}\ vec {x} _1\, &=\ vec {x},\\ vec {\\ стрілка\\ [4pt]\ vec {x} _1\, &=\,\ почати {Bmatrix}\ sqrt {2} /2,\,\ sqrt {2} /2\ кінець {Bmatrix} ^T\\ [4pt]\ quad \\ [4pt] (A -\ лямбда_2 I)\ vec {x} _2\, &=\,\ vec {0}\ довга стрілка\\ [4pt] [4 пт]\ початок {bmatrix} 2 & -5\ [4pt] 2 & -5\ кінець {bmatrix}\ vec {x} _2\, &=\ vec {\,\ vec {0} стрілка\\ [4pt]\ vec {x} _2\, &=\,\ почати {Bматриця} 5\ sqrt {29}/29,\,\, 2\ sqrt {29}/29\ кінець {BMatrix} ^T.\ кінець {вирівнювати*}

Власні вектори визначаються лише в межах довільної константи, тобто якщо$\vec{x}$ є власним вектором, то$c \vec{x}$ є також власним вектором для будь-якого$c \neq 0$. Вони часто нормалізуються, щоб мати одиничну величину і позитивний перший елемент (як зазначено вище). Умова, яка$rank(A - \lambda_i I) =$$rank(A) - 1$ вказує на те, що для власного значення існує тільки один власний вектор$\lambda_i$; точніше, унікальний напрямок для власного вектора, так як величина може бути довільною. Якщо ранг лівої сторони менше цього, то є кілька власних векторів, які йдуть с$\lambda_i$.

Вищенаведене обговорення стосується тільки правильних власнихвекторів, що генеруються з рівняння$A \vec{x} = \lambda \vec{x}$. Ліві власні значення, визначені як$\vec{y}^T A = \lambda \vec{y}^T$, також корисні для багатьох задач і можуть бути визначені просто як праві власні вектори$A^T$. $A$і мають$A^T$ однакові власні значення$\lambda$, так як вони мають один і той же детермінант. Приклад:

Приклад$\PageIndex{8}.2$

\ begin {align*} (A^T -\ лямбда_1 I)\ vec {y} _1\, &=\,\ vec {0}\ довга стрілка\\ [4pt] [4 pt]\ begin {bmatrix}\,\, 5 &\\, 2\\ [4pt] -5 & -2\ кінець {bmatrix}\ vec {y} _1\, &1\ =\,\ vec {0}\ довгастрілка\\ [4pt]\ vec {y} _1\, &=\,\ почати {Bmatrix} 2\ sqrt {29}/29,\,\, -5\ sqrt {29}/29\ end { Bmatrix} ^T\\ [4pt]\ квад\\ [4pt] (A^T -\ лямбда_2 I)\ vec {y} _1\, &=\,\ vec {0}\ довга стрілка\\ [4pt] [4 пт]\ почати {bmatrix}\, 2\\, 2\\ [4pt] [4 пт]\ початок {bmatrix}\, 2\\ [4pt] -5 {кінець bmatrix}\ vec {y} _2\, &=\,\ vec {0}\ довга стрілка\\ [4pt]\ vec {y} _2\, &=\,\ begin {Bmatrix}\ sqrt {2}/2,\,\, -\ sqrt {2}/2\ кінець {Bmatrix} ^T.\ end {align*}

Модальне розкладання

Для простоти розглянемо матриці, які мають унікальні власні вектори для кожного свого значення. Правий і лівий власні вектори, що відповідають певному власному значенню,$\lambda$ можуть бути визначені, щоб мати одиничний добуток$\vec{x}_i^T \vec{y}_i = 1$, тобто з нормалізацією, зазначеною вище. Точкові добутки лівого власного вектора з правими власними векторами, що відповідають різним власним значенням, дорівнює нулю. Таким чином, якщо множина правого і лівого власних векторів,$V$ і$W$, відповідно, дорівнює

\ почати {вирівняти} V\, &=\, [\ vec {x} _1\ cdots\ vec {x} _n],\,\,\ текст {і}\\ [4pt] W\, &=\, [\ vec {y} _1\ cdots\ vec {y} _n],\ nonumber\ end {вирівнювання}

то ми маємо\ почати {вирівняти} W^T V\, &=\, I,\,\,\,\ текст {або}\\ [4pt] W^T\, &=\, V^ {-1}. \ nonumber\ кінець {вирівняти}

Далі побудуємо діагональну матрицю, що містить власні значення:

$$\Lambda \, = \, \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 \\[4pt] . \\[4pt] 0 & \lambda_n \end{bmatrix};$$ з цього випливає, що

\ begin {вирівнювання} A V\, &=\, V\ Лямбда\ довга стрілка\ nonumber\\ [4pt] [4 pt] A\, &=\, V\ Лямбда W^T\ [4pt] &=\,\ sum_ {i = 1} ^n\ lambda_i\ vec {v} _i\ vec {w} _i\ vec {w} _i ^T. nonumber\ end {вирівняти}

Звідси$A$ може бути записана як сума модальних компонентів. Проводячи послідовні множення, можна показати, що$A_k$ має свої власні значення в$\lambda_i ^k$, і зберігає ті ж власні значення, що і$A$.