13.2: Матриці
- Page ID
- 31555
Визначення
Матриця, або масив, еквівалентний набору векторів стовпців одного і того ж розміру, розташованих поруч, скажімо
\[ A \, = \, [\vec{a} \,\, \vec{b}] \, = \, \begin{bmatrix} 2 & 3\\[4pt] 1 & 3\\[4pt] 7 & 2 \end{bmatrix}. \]
Ця матриця має три рядки (\(m\)= 3) і два стовпці (\(n\)= 2); вектор - це окремий випадок матриці з одним стовпцем. Матриці, як і вектори, дозволяють додавання і скалярне множення. Зазвичай ми використовуємо символ верхнього регістру для позначення матриці.
Множення вектора на матрицю
Якщо\(A_{ij}\) позначає елемент матриці\(A\) в\(i\) 'ому рядку і\(j\) 'му стовпці, то множення\(\vec{c} = A \vec{v}\) будується так:
\[ c_i \, = \, A_{i1} v_1 + A_{i2} v_2 + \cdots + A_{in} v_n \, = \, \sum_{j=1}^{n} A_{ij} v_j, \]
де\(n\) - кількість стовпців в\(A\). \(\vec{c}\)буде мати стільки рядків, скільки\(A\) має rows (\(m\)). Зауважте, що це множення визначається лише у тому випадку, якщо\(\vec{v}\) має стільки рядків, скільки\(A\) має стовпці; вони мають узгоджений внутрішній вимір\(n\). Продукт\(\vec{v}A\) був би добре поставлений тільки в тому випадку, якщо б\(A\) мав один рядок і належну кількість стовпців. Є ще одна важлива інтерпретація цього векторного множення — нехай індекс: вказуємо всі рядки, щоб кожен\(A_{:j}\) був вектором\(j\) 'го стовпця. Тоді
\[ \vec{c} \, = \, A \vec{v} \, = \, A_{:1} v_1 + A_{:2} v_2 + \cdots + A_{:n} v_n. \]
Ми множимо вектори стовпців\(A\) на скалярні елементи\(\vec{v}\).
Множення матриці на матрицю
Множення\(C = AB\) еквівалентно поряд розташування векторів стовпців\(C_{:j} = AB_{:j}\), так що
\[ C \, = \, AB \, = \begin{bmatrix} AB_{:1} & AB_{:2} & \cdots & AB_{:k} \end{bmatrix}, \]
де\(k\) - кількість стовпців в матриці\(B\). Застосовується та сама умова внутрішньої розмірності, як зазначено вище: кількість стовпців у\(A\) повинна дорівнювати кількості рядків у\(B\). Матричне множення буває:
- Асоціативний. \((AB) C = A (BC). \)
- Дистрибутивна. \(A(B+C) = AB + AC, \, (B+C)A = BA + CA. \)
- НЕ комутативний. \(AB \neq BA\), За винятком особливих випадків.
Загальні матриці
Ідентичність. Матриця ідентичності зазвичай позначається\(I\) і містить квадратну матрицю з одиницями по діагоналі та нулями в іншому місці, наприклад,
\[ I_{3 \times 3} \, = \, \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. \]
Ідентичність завжди задовольняє\(AI_{n \times n} \, = \, I_{m \times m}A \, = \, A.\)
Діагональні матриці. Діагональна матриця квадратна, і має всі нулі від діагоналі. Наприклад, наступна діагональна матриця:
\[ A \, = \, \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & -2 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}. \]
Твір діагональної матриці з іншою діагональною матрицею - діагональна, і в цьому випадку операція комутативна.
Транспонувати
Транспонування вектора або матриці, позначеного\(T\) верхнім індексом, є результатом простої заміни індексів рядків-стовпців кожного запису; це еквівалентно «перевертанню» вектора або матриці навколо діагональної лінії. Наприклад,
\[ \vec{a} \, = \, \begin{Bmatrix} 1 \\[4pt] 2 \\[4pt] 3 \end{Bmatrix} \longrightarrow \vec{a}^T \, = \, \begin{Bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{Bmatrix} \]
\[ A \, = \, \begin{bmatrix} 1 & 2 \\[4pt] 4 & 5 \\[4pt] 8 & 9 \end{bmatrix} \longrightarrow A^T \, = \, \begin{bmatrix} 1 & 4 & 8 \\[4pt] 2 & 5 & 9 \end{bmatrix}. \]
Дуже корисною властивістю транспонування є\[ (AB)^T \, = \, B^T A^T. \]
Детермінант
Детермінант квадратної матриці\(A\) - скаляр, рівний об'єму паралелепіпеда, укладеного складовими векторами. Двовимірний випадок особливо легко запам'ятати, і ілюструє принцип обсягу:
\[ det(A) \, = \, A_{11} A{22} - A_{21} A_{12} \]
Приклад\(\PageIndex{8}.1\)
\[ det \left( \begin{bmatrix} 1 & -1 \\[4pt] 1 & 1 \end{bmatrix} \right) \, = \, 1 + 1 \, = \, 2. \nonumber \]
У більш високих вимірах визначник більш складний для обчислення. Загальна формула дозволяє вибрати рядок\(k\), можливо, той, що містить найбільше нулів, і застосувати\[ det(A) \, = \, \sum_{j=1}^{j=n} A_{kj} (-1)^{k+j} \Delta_{kj}, \]
де\(\Delta_{kj}\) - визначник підматриці, утвореної нехтуванням\(k\) 'го рядка і\(j\) 'го стовпця. Формула симетрична, в тому сенсі, що можна також націлити на\(k\) 'й стовпець:\[ det(A) \, = \, \sum_{j=1}^{j=n} A_{jk} (-1)^{k+j} \Delta_{jk}.\]
Якщо детермінант матриці дорівнює нулю, то матриця називається сингулярною — об'єму немає, і це випливає з того, що складові вектори не охоплюють розмірність матриці. Наприклад, у двох вимірах сингулярна матриця має вектори колінеарні; у трьох вимірах сингулярна матриця має всі свої вектори, що лежать у (двовимірній) площині. Зверніть увагу також, що\(det(A) = det(A^T)\). Якщо\(det(A) \neq 0,\) тоді матриця вважається несингулярною.
Зворотний
Обернена квадратна матриця\(A\),\(A^{-1}\) позначена, задовольняє\(AA^{-1} = A^{-1}A = I.\) Його обчислення вимагає визначник вище, і наступне визначення\(n \times n\) суміжної матриці:
\[ adj(A) \, = \, \begin{bmatrix} (-1)^{1+1} \Delta_{11} & \cdots & (-1)^{1+n} \Delta_{1n} \\[4pt] \cdots & \cdots & \cdots \\[4pt] (-1)^{n+1} \Delta_{n1} & \cdots & (-1)^{n+n} \Delta_{nn} \end{bmatrix} ^T . \]
Після того, як цей розрахунок зроблений, зворотне випливає з\[ A^(-1) \, = \, \frac{adj(A)}{det(A)}. \]
Якщо\(A\) є одниною, тобто\(det(A) = 0\), то зворотного не існує. Зворотний знаходить спільне застосування при розв'язанні систем лінійних рівнянь, таких як\[ A \vec{x} = \vec{b} \longrightarrow \vec{x} = A^{-1} \vec{b}. \]
Власні значення та власні вектори
Типова задача на власне значення констатується як\[A \vec{x} = \lambda \vec{x}, \]
де\(A\) -\(n \times n\) матриця,\(\vec{x}\) - вектор-стовпчик з\(n\) елементами, і\(\lambda\) є скалярним. Ми запитуємо, які ненульові вектори\(\vec{x}\) (правильні власні вектори) та\(\lambda\) скаляри (власні значення) будуть задоволені рівняння. Оскільки вищесказане еквівалентно\((A - \lambda I) \vec{x} = \vec{0}\), зрозуміло, що\(det (A - \lambda I) = 0.\) Це спостереження призводить до рішень для\(\lambda\); ось приклад для двовимірного випадку:
Приклад\(\PageIndex{8}.1\)
\ begin {align*} A\, &=\,\ почати {bmatrix} 4 & -5\\ [4pt] 2 & -3\ кінець {bmatrix}\ довга стрілка\\ [4pt] [4 pt] A -\ лямбда I\, &=\,\ початок {bmatrix} 4-\ лямбда & -5\\ [4pt] 2 & -3 -\ лямбда\ кінець bmatrix}\ довга стрілка\\ [4pt] [4 пт] det (A -\ лямбда I)\, &=\, (4 -\ лямбда) (-3 -\ лямбда) + 10\\ [4пт] &=\,\ лямбда ^ 2 -\ лямбда - 2\\ [4пт] &=\, (\ лямбда + 1) (\ лямбда - 2). \ end {вирівнювати*}
Таким чином,\(A\) має два власних значення,\(\lambda_1 = -1\) і\(\lambda_2 = 2\). Кожен пов'язаний з правим власним вектором\(\vec{x}.\) У цьому прикладі
\ begin {align*} (A -\ lambda_1 I)\ vec {x} _1\, &=\,\ vec {0}\ довга стрілка\\ [4pt] [4 пт]\ початок {bmatrix} 5 & -5\ [4pt] 2 & -2\ кінець {bmatrix}\ vec {x} _1\, &=\ vec {x},\\ vec {\\ стрілка\\ [4pt]\ vec {x} _1\, &=\,\ почати {Bmatrix}\ sqrt {2} /2,\,\ sqrt {2} /2\ кінець {Bmatrix} ^T\\ [4pt]\ quad \\ [4pt] (A -\ лямбда_2 I)\ vec {x} _2\, &=\,\ vec {0}\ довга стрілка\\ [4pt] [4 пт]\ початок {bmatrix} 2 & -5\ [4pt] 2 & -5\ кінець {bmatrix}\ vec {x} _2\, &=\ vec {\,\ vec {0} стрілка\\ [4pt]\ vec {x} _2\, &=\,\ почати {Bматриця} 5\ sqrt {29}/29,\,\, 2\ sqrt {29}/29\ кінець {BMatrix} ^T.\ кінець {вирівнювати*}
Власні вектори визначаються лише в межах довільної константи, тобто якщо\(\vec{x}\) є власним вектором, то\(c \vec{x}\) є також власним вектором для будь-якого\(c \neq 0\). Вони часто нормалізуються, щоб мати одиничну величину і позитивний перший елемент (як зазначено вище). Умова, яка\(rank(A - \lambda_i I) =\)\(rank(A) - 1\) вказує на те, що для власного значення існує тільки один власний вектор\(\lambda_i\); точніше, унікальний напрямок для власного вектора, так як величина може бути довільною. Якщо ранг лівої сторони менше цього, то є кілька власних векторів, які йдуть с\(\lambda_i\).
Вищенаведене обговорення стосується тільки правильних власнихвекторів, що генеруються з рівняння\(A \vec{x} = \lambda \vec{x}\). Ліві власні значення, визначені як\(\vec{y}^T A = \lambda \vec{y}^T\), також корисні для багатьох задач і можуть бути визначені просто як праві власні вектори\(A^T\). \(A\)і мають\(A^T\) однакові власні значення\(\lambda\), так як вони мають один і той же детермінант. Приклад:
Приклад\(\PageIndex{8}.2\)
\ begin {align*} (A^T -\ лямбда_1 I)\ vec {y} _1\, &=\,\ vec {0}\ довга стрілка\\ [4pt] [4 pt]\ begin {bmatrix}\,\, 5 &\\, 2\\ [4pt] -5 & -2\ кінець {bmatrix}\ vec {y} _1\, &1\ =\,\ vec {0}\ довгастрілка\\ [4pt]\ vec {y} _1\, &=\,\ почати {Bmatrix} 2\ sqrt {29}/29,\,\, -5\ sqrt {29}/29\ end { Bmatrix} ^T\\ [4pt]\ квад\\ [4pt] (A^T -\ лямбда_2 I)\ vec {y} _1\, &=\,\ vec {0}\ довга стрілка\\ [4pt] [4 пт]\ почати {bmatrix}\, 2\\, 2\\ [4pt] [4 пт]\ початок {bmatrix}\, 2\\ [4pt] -5 {кінець bmatrix}\ vec {y} _2\, &=\,\ vec {0}\ довга стрілка\\ [4pt]\ vec {y} _2\, &=\,\ begin {Bmatrix}\ sqrt {2}/2,\,\, -\ sqrt {2}/2\ кінець {Bmatrix} ^T.\ end {align*}
Модальне розкладання
Для простоти розглянемо матриці, які мають унікальні власні вектори для кожного свого значення. Правий і лівий власні вектори, що відповідають певному власному значенню,\(\lambda\) можуть бути визначені, щоб мати одиничний добуток\(\vec{x}_i^T \vec{y}_i = 1\), тобто з нормалізацією, зазначеною вище. Точкові добутки лівого власного вектора з правими власними векторами, що відповідають різним власним значенням, дорівнює нулю. Таким чином, якщо множина правого і лівого власних векторів,\(V\) і\(W\), відповідно, дорівнює
\ почати {вирівняти} V\, &=\, [\ vec {x} _1\ cdots\ vec {x} _n],\,\,\ текст {і}\\ [4pt] W\, &=\, [\ vec {y} _1\ cdots\ vec {y} _n],\ nonumber\ end {вирівнювання}
то ми маємо\ почати {вирівняти} W^T V\, &=\, I,\,\,\,\ текст {або}\\ [4pt] W^T\, &=\, V^ {-1}. \ nonumber\ кінець {вирівняти}
Далі побудуємо діагональну матрицю, що містить власні значення:
\[ \Lambda \, = \, \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 \\[4pt] . \\[4pt] 0 & \lambda_n \end{bmatrix}; \]з цього випливає, що
\ begin {вирівнювання} A V\, &=\, V\ Лямбда\ довга стрілка\ nonumber\\ [4pt] [4 pt] A\, &=\, V\ Лямбда W^T\ [4pt] &=\,\ sum_ {i = 1} ^n\ lambda_i\ vec {v} _i\ vec {w} _i\ vec {w} _i ^T. nonumber\ end {вирівняти}
Звідси\(A\) може бути записана як сума модальних компонентів. Проводячи послідовні множення, можна показати, що\(A_k\) має свої власні значення в\(\lambda_i ^k\), і зберігає ті ж власні значення, що і\(A\).