13.1: Вектори

Визначення

Накладну стрілку ми використовуємо для позначення вектора стовпця, тобто лінійного відрізка з напрямком. Наприклад, в трьохпросторових ми запишемо вектор з точки зору його складових по відношенню до системи відліку як

$$\vec{a} \, = \, \begin{Bmatrix} \,2\, \\[4pt] \,1\, \\[4pt] \,7\, \end{Bmatrix}.$$

Елементи вектора мають графічну інтерпретацію, яку особливо легко побачити в двох-трьох вимірах.

1. Додавання вектора:\ почати {вирівнювання}\ vec {a} +\ vec {b}\, &=\,\ vec {c}\\ [4pt] [5 pt]\ begin {Bmatrix}\ ,2\,\\ [4pt]\\ [4pt]\ ,7\,\ кінець {Bmatrix} +\ begin {Bmatrix}\ ,3\,\\ 4pt]\ ,3\,\\ [4pt]\ 2\,\ кінець {Bmatrix}\, &=\,\ почати {Bmatrix}\ ,5\,\\ [4pt]\,\\ [4pt]\\ [4pt]\ ,9\,\ end {Bmatrix}\ end {вирівнювання} Графічно додавання - це нанизування векторів разом голова до хвоста.
2. Скалярне множення: $$-2 \times \begin{Bmatrix} \,2\, \\[4pt] \,1\, \\[4pt] \,7\, \end{Bmatrix} \, = \, \begin{Bmatrix} \,-4\, \\[4pt] \,-2\, \\[4pt] -14 \end{Bmatrix}$$

$\PageIndex{2}$: Vector Magnitude

Загальна довжина вектора розмірності$m$, його евклідова норма, задається

$$|| \vec{x} || \, = \, \sqrt{\sum_{i=1}^{m} x_i^2}.$$ Цей скаляр зазвичай використовується для нормалізації вектора до довжини один.

$\PageIndex{3}$: Vector Dot or Inner Product

Точковий добуток двох векторів є скаляром, рівним сумі добутків відповідних компонентів:

$$\vec{x} \cdot \vec{y} \, = \, \vec{x}^T \vec{y} \, = \, \sum_{i=1}^{m} x_i y_i.$$ Точковий добуток також задовольняє, $$\vec{x} \cdot \vec{y} \, = \, ||\vec{x}|| ||\vec{y}|| \cos \theta,$$ де$\theta$ знаходиться кут між векторами.

$\PageIndex{4}$: Vector Cross Product

Перехресний добуток двох тривимірних векторів$\vec{x}$ і$\vec{y}$ являє собою інший вектор$\vec{z}$, записаний як$\vec{x} \times \vec{y} = \vec{z}$. $\vec{z}$Векторні

1. напрямок нормаль до площини, утвореної двома іншими векторами,
2. напрямок задається правилом правої руки, обертаючись від$\vec{x}$ до$\vec{y}$,
3. величина - площа паралелограма, утвореного двома векторами — перехресний добуток двох паралельних векторів дорівнює нулю — і
4. (підписана) величина дорівнює$||\vec{x}|| ||\vec{y}|| \sin \theta$, де$\theta$ кут між двома векторами, виміряний від$\vec{x}$ до$\vec{y}$.

З точки зору їх складових,

$$\vec{x} \times \vec{y} \, = \, \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\[4pt] x_1 & x_2 & x_3 \\[4pt] y_1 & y_2 & y_3 \end{vmatrix} \, = \, \begin{Bmatrix} (x_2 y_3 - x_3 y_2) \hat{i} \\[4pt] (x_3 y_1 - x_1 y_3) \hat{j} \\[4pt] (x_1 y_2 - x_2 y_1) \hat{k} \end{Bmatrix}.$$