Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

13.1: Вектори

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    31556

    • Franz S. Hover & Michael S. Triantafyllou
    • Massachusetts Institute of Technology via MIT OpenCourseWare
    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Визначення

    Накладну стрілку ми використовуємо для позначення вектора стовпця, тобто лінійного відрізка з напрямком. Наприклад, в трьохпросторових ми запишемо вектор з точки зору його складових по відношенню до системи відліку як

    \[ \vec{a} \, = \, \begin{Bmatrix} \,2\, \\[4pt] \,1\, \\[4pt] \,7\, \end{Bmatrix}. \]

    Елементи вектора мають графічну інтерпретацію, яку особливо легко побачити в двох-трьох вимірах.

    1. Додавання вектора:\ почати {вирівнювання}\ vec {a} +\ vec {b}\, &=\,\ vec {c}\\ [4pt] [5 pt]\ begin {Bmatrix}\ ,2\,\\ [4pt]\\ [4pt]\ ,7\,\ кінець {Bmatrix} +\ begin {Bmatrix}\ ,3\,\\ 4pt]\ ,3\,\\ [4pt]\ 2\,\ кінець {Bmatrix}\, &=\,\ почати {Bmatrix}\ ,5\,\\ [4pt]\,\\ [4pt]\\ [4pt]\ ,9\,\ end {Bmatrix}\ end {вирівнювання} Графічно додавання - це нанизування векторів разом голова до хвоста.
    2. Скалярне множення:\[ -2 \times \begin{Bmatrix} \,2\, \\[4pt] \,1\, \\[4pt] \,7\, \end{Bmatrix} \, = \, \begin{Bmatrix} \,-4\, \\[4pt] \,-2\, \\[4pt] -14 \end{Bmatrix} \]

    \(\PageIndex{2}\): Vector Magnitude

    Загальна довжина вектора розмірності\(m\), його евклідова норма, задається

    \[ || \vec{x} || \, = \, \sqrt{\sum_{i=1}^{m} x_i^2}. \]Цей скаляр зазвичай використовується для нормалізації вектора до довжини один.

    \(\PageIndex{3}\): Vector Dot or Inner Product

    Точковий добуток двох векторів є скаляром, рівним сумі добутків відповідних компонентів:\[\vec{x} \cdot \vec{y} \, = \, \vec{x}^T \vec{y} \, = \, \sum_{i=1}^{m} x_i y_i.\] Точковий добуток також задовольняє,\[\vec{x} \cdot \vec{y} \, = \, ||\vec{x}|| ||\vec{y}|| \cos \theta, \] де\(\theta\) знаходиться кут між векторами.

    \(\PageIndex{4}\): Vector Cross Product

    Перехресний добуток двох тривимірних векторів\(\vec{x}\) і\(\vec{y}\) являє собою інший вектор\(\vec{z}\), записаний як\(\vec{x} \times \vec{y} = \vec{z}\). \(\vec{z}\)Векторні

    1. напрямок нормаль до площини, утвореної двома іншими векторами,
    2. напрямок задається правилом правої руки, обертаючись від\(\vec{x}\) до\(\vec{y}\),
    3. величина - площа паралелограма, утвореного двома векторами — перехресний добуток двох паралельних векторів дорівнює нулю — і
    4. (підписана) величина дорівнює\(||\vec{x}|| ||\vec{y}|| \sin \theta\), де\(\theta\) кут між двома векторами, виміряний від\(\vec{x}\) до\(\vec{y}\).

    З точки зору їх складових,

    \[ \vec{x} \times \vec{y} \, = \, \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\[4pt] x_1 & x_2 & x_3 \\[4pt] y_1 & y_2 & y_3 \end{vmatrix} \, = \, \begin{Bmatrix} (x_2 y_3 - x_3 y_2) \hat{i} \\[4pt] (x_3 y_1 - x_1 y_3) \hat{j} \\[4pt] (x_1 y_2 - x_2 y_1) \hat{k} \end{Bmatrix}. \]