Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1.10: Відносини деформації-переміщення для циркулюючих пластин

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    33111

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Теорія круглих пластин сформульована в циліндричній системі координат\((r, \theta, z)\). Відповідними складовими вектора зміщення є\((u, v, w)\). У решті нот передбачається осісиметрична деформація, яка вимагатиме, щоб навантаження також була осісиметричною. Це припущення приносить чотири важливі наслідки

    1. Окружна складова зсуву дорівнює нулю,\(v \equiv 0\)
    2. Немає в площині деформацій зсуву,\(\epsilon_{r\theta} = 0\)
    3. Радіальні та окружні деформації є основними деформаціями
    4. Рівняння з частинними похідними для пластин зводиться до звичайного диференціального рівняння, де радіус є єдиною змінною простору.

    Багато простих розчинів закритої форми можна отримати для кругових і кільцевих пластин при різних граничних і навантажувальних умовах. Тому такі пластини часто розглядаються як прототипи конструкцій, на яких можна було б легко пояснити певні фізичні принципи.

    Мембранні деформації на середній поверхні констатуються без деривації

    \[\epsilon_{rr}^{\circ} = \frac{du}{dr} + \frac{1}{2} \left( \frac{dw}{dr} \right)^2\]

    \[\epsilon_{\theta \theta}^{\circ} = \frac{u}{r}\]

    Дві основні викривлення

    \[\kappa_{rr} = - \frac{d^2w}{dr^2}\]

    \[\kappa_{\theta \theta} = -\frac{1}{r}\frac{dw}{dr}\]

    Сума деформацій вигину і мембрани, таким чином, задається

    \[\epsilon_{rr}(r,z) = \epsilon_{rr}^{\circ}(r) + z\kappa_{rr}\]

    \[\epsilon_{\theta \theta}(r,z) = \epsilon_{\theta \theta}^{\circ}(r) + z\kappa_{\theta \theta}\]

    Можна помітити, що вираз для радіальних деформацій і кривизни ідентичні виразу балки\(r\) при заміні на\(x\). Вирази в окружному напрямку досить різні.