1.10: Відносини деформації-переміщення для циркулюючих пластин

Last updated

Oct 26, 2022
Save as PDF
- 1.9: Помірно великі прогини балок і плит
- 2: Поняття стресу, узагальнених напружень і рівноваги

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Теорія круглих пластин сформульована в циліндричній системі координат $(r, \theta, z)$ . Відповідними складовими вектора зміщення є $(u, v, w)$ . У решті нот передбачається осісиметрична деформація, яка вимагатиме, щоб навантаження також була осісиметричною. Це припущення приносить чотири важливі наслідки

Окружна складова зсуву дорівнює нулю, $v \equiv 0$
Немає в площині деформацій зсуву, $\epsilon_{r\theta} = 0$
Радіальні та окружні деформації є основними деформаціями
Рівняння з частинними похідними для пластин зводиться до звичайного диференціального рівняння, де радіус є єдиною змінною простору.

Багато простих розчинів закритої форми можна отримати для кругових і кільцевих пластин при різних граничних і навантажувальних умовах. Тому такі пластини часто розглядаються як прототипи конструкцій, на яких можна було б легко пояснити певні фізичні принципи.

Мембранні деформації на середній поверхні констатуються без деривації

$\epsilon_{rr}^{\circ} = \frac{du}{dr} + \frac{1}{2} \left( \frac{dw}{dr} \right)^2$

$\epsilon_{\theta \theta}^{\circ} = \frac{u}{r}$

Дві основні викривлення

$\kappa_{rr} = - \frac{d^2w}{dr^2}$

$\kappa_{\theta \theta} = -\frac{1}{r}\frac{dw}{dr}$

Сума деформацій вигину і мембрани, таким чином, задається

$\epsilon_{rr}(r,z) = \epsilon_{rr}^{\circ}(r) + z\kappa_{rr}$

$\epsilon_{\theta \theta}(r,z) = \epsilon_{\theta \theta}^{\circ}(r) + z\kappa_{\theta \theta}$

Можна помітити, що вираз для радіальних деформацій і кривизни ідентичні виразу балки $r$ при заміні на $x$ . Вирази в окружному напрямку досить різні.