2.4: Діелектрична сприйнятливість
- Page ID
- 32082
Якщо поле інциденту моночасте, тобто
\[\vec{E} (t)^{(+)} = \hat{\vec{E}} e^{i\omega t},\label{eq2.4.1} \]
і якщо припустити, що\(w\) інверсія атома буде добре представлена його середнім за часом\(w_s\), то дипольний момент буде коливатися з такою ж частотою в стаціонарному стані
\[d = \hat{d} e^{i\omega t},\label{eq2.4.2} \]
і інверсія буде підлаштовуватися під нове стаціонарне значення\(w_s\). З ансац (\(\ref{eq2.4.1}\)) і (\(\ref{eq2.4.2}\)) в Eqs. (2.3.98) і (2.3.99), отримуємо
\[\hat{d} = \dfrac{-j}{2\hbar} \dfrac{w_s}{1/T_2 + j(\omega - \omega_{eg})} \vec{M} \hat{\vec{E}},\label{eq2.4.3} \]
\[w_s = \dfrac{w_0}{1 + \tfrac{T_1}{\hbar^2} \tfrac{1/T_2 |\vec{M} \hat{\vec{E}}|^2}{(1/T_2)^2 + (\omega_{eg} - \omega)^2}}. \nonumber \]
Введемо нормалізовану функцію лінійної форми, яка в даному випадку є Лоренціаном,
\[L(\omega) = \dfrac{(1/T_2)^2}{(1/T_2)^2 + (\omega_{eg} - \omega)^2}, \nonumber \]
і з'єднати квадрат поля\(|\hat{\vec{E}}|^2\) з напруженістю\(I\) поширюється плоской хвилі, згідно з рівнянням (2.2.27)\(I = \dfrac{1}{2Z_F} |\hat{\vec{E}}|^2\),
\[w_s = \dfrac{w_0}{1 + \tfrac{I}{I_s} L(\omega)}. \nonumber \]
При цьому стаціонарна інверсія залежить від інтенсивності падаючого світла, тому\(w_0\) може називатися ненасиченою інверсією,\(w_s\) насиченою інверсією і\(I_s\), при
\[I_s = \left [ \dfrac{2T_1T_2 Z_F}{\hbar^2} \dfrac{|\vec{M} \hat{\vec{E}}|^2}{|\hat{\vec{E}}|^2} \right ]^{-1}, \nonumber \]
інтенсивність насичення. Тоді очікуване значення дипольного оператора задається
\[<\vec{p}>= -(\vec{M}^* d + \vec{M} d^*). \nonumber \]
Множення з числом атомів на одиницю об'єму\(N\) пов'язує дипольний момент атома зі складною поляризацією\(\hat{\vec{P}}^+\) середовища, а отже, і до сприйнятливості по
\[\hat{\vec{P}}^{(+)} = -2N \vec{M}^* \hat{d},\label{eq2.4.9} \]
\[\hat{\vec{P}}^{(+)} = \epsilon_x \chi (\omega) \hat{\vec{E}}.\label{eq2.4.10} \]
З визначень (\(\ref{eq2.4.9}\)), (\(\ref{eq2.4.10}\)) і Рівняння (\(\ref{eq2.4.2}\)) отримано для лінійної сприйнятливості середовища
\[\chi (\omega) = \vec{M}^* \vec{M}^T \dfrac{jN}{\hbar \epsilon_0} \dfrac{w_s}{1/T_2 + j(\omega - \omega_{eg})}. \nonumber \]
який є тензором. Далі ми припускаємо, що напрямок атома є випадковим, тобто вирівнювання атомного дипольного моменту\(\vec{M}\) і електричного поля є випадковим. Тому ми повинні усереднити за кутом, укладеним між електричним полем хвилі та атомним дипольним моментом, що призводить до
\[\overline{\left (\begin{matrix} M_x M_x & M_x M_y & M_x M_z \\ M_y M_x & M_y M_y & M_y M_z \\ M_z M_x & M_z M_y & M_z M_z \end{matrix} \right )} = \left (\begin{matrix} \overline{M_x^2} & 0 & 0 \\ 0 & \overline{M_y^2} & 0 \\ 0 & 0 & \overline{M_y^2} \end{matrix} \right ) = \dfrac{1}{3} |\vec{M}|^2 1. \nonumber \]
Таким чином, для однорідних та ізотропних середовищ тензор сприйнятливості зменшується до скалярного.
\[\chi (\omega) = \dfrac{1}{3} |\vec{M}|^2 \dfrac{jN}{\hbar \epsilon_0} \dfrac{w_s}{1/T_2 + j (\omega - \omega_{eg})}. \nonumber \]
Реальна і уявна частина сприйнятливості
\[\chi (\omega) = \chi ' (\omega) + j \chi '' (\omega) \nonumber \]
потім даються
\[\chi '(\omega) = -\dfrac{|\vec{M}|^2 N w_s T_2^2 (\omega_{eg} - \omega)}{3\hbar \epsilon_0} L(\omega), \nonumber \]
\[\chi '' (\omega) = \dfrac{|\vec{M}|^2 N w_s T_s}{3 \hbar \epsilon_0} L(\omega). \nonumber \]
Якщо падаюче випромінювання досить слабке, тобто
\[T_1 T_2 \dfrac{|\vec{M}^* \hat{\vec{E}}|^2}{\hbar^2} L(\omega) \ll 1 \nonumber \]
отримуємо\(w_s \approx w_0\). Оскільки\(w_0 < 0\), а особливо для оптичних переходів\(w_0 = -1\), реальна і уявна частина сприйнятливості показані на малюнку 2.4.
Обчислена квантова сприйнятливість добре порівнюється з класичною сприйнятливістю, отриманою з моделі гармонічного осцилятора, близької до частоти переходу для переходу з досить високою\(Q = T_2\omega_{ab}\). Відзначимо, є помітне відхилення далеко від резонансу. Далекий резонанс наближення обертової хвилі не слід використовувати.
Фізичний сенс реальної і уявної частини сприйнятливості стає очевидним, коли розглядається поширення плоской електромагнітної хвилі через це середовище,
\[\vec{E} (z, t) = \Re \{ \hat{\vec{E}} e^{j(\omega t - kz)} \}, \nonumber \]
яка поширюється в\(z\) позитивному напрямку. Константа поширення\(k\) пов'язана з сприйнятливістю
\[k = \omega \sqrt{\mu_0 \epsilon_0 (1 + \chi (\omega))} \approx k_0 \left (1 + \dfrac{1}{2} \chi (\omega) \right ), \text{ with } k_0 = \omega \sqrt{\mu_0 \epsilon_0} \nonumber \]
для\(|\chi| \ll 1\). За цим припущенням отримуємо
\[k = k_0 (1 + \dfrac{\chi '}{2} ) + j k_0 \dfrac{\chi ''}{2}. \nonumber \]
Реальна частина сприйнятливості сприяє показнику заломлення\(n = 1 + \chi '/2\). У разі\(\chi '' < 0\), уявна частина призводить до експоненціального загасання хвилі. Для\(\chi '' > 0\) посилення має місце. Посилення хвилі можливо для\(w_0 > 0\), тобто перевернутої середовища.
Швидкість\(1/T_2\) фазової релаксації дипольного моменту визначає ширину лінії поглинання або смугу пропускання підсилювача.