Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.5: Рівняння швидкості

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    32111

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    З хвильовим рівнянням Eq. (2.2.2) і вираз для поляризації, індукованої електричним полем хвилі, ми закінчуємо повними рівняннями Максвелла-Блоха, що описують електромагнітне поле, що взаємодіє зі статистичним ансамблем атомів, які розташовані в позиціях\(z_i\)

    \[\left ( \Delta - \dfrac{1}{c_0^2} \dfrac{\partial^2}{\partial t^2}\right ) \vec{E}^{(+)} (z, t) = \mu_0 \dfrac{\partial^2}{\partial t^2} \vec{P}^{(+)} (z, t),\label{eq2.5.1} \]

    \[\vec{P}^{(+)} (z, t) = -2N \vec{M} ^* d(z, t) \nonumber \]

    \[\dot{d} (z, t) = -(\dfrac{1}{T_2} - j \omega_{eg} )d + \dfrac{1}{2j \hbar} \vec{M} \vec{E}^{(+)} w, \nonumber \]

    \[\dot{w} (z, t) = -\dfrac{w - w_0}{T_1} + \dfrac{1}{j\hbar} (\vec{M}^*\vec{E}^{(-)} d - \vec{M} \vec{E}^{(+)} d^*) \nonumber \]

    Далі розглядається електромагнітна хвиля з вектором поляризації\(\vec{e}\), частотою\(\omega_{eg}\) і числом хвилі\(k_0 = \omega_{eg}/c_0\) з повільно мінливою оболонкою, що поширюється вправо

    \[\vec{E} (z, t)^{(+)} = \sqrt{2 Z_{F_0}} A(z, t) e^{j(\omega_{eg} t - k_0 z)} \vec{e}, \nonumber \]

    із

    \[\left |\dfrac{\partial A(z,t)}{\partial t} \right |, \left |c\dfrac{\partial A(z,t)}{\partial z} \right |\ll |\omega_{eg} A(z, t)| \nonumber \]

    Зауважимо, ми нормалізували комплексну амплітуду\(A(t)\) так, що її квадрат величини пропорційний інтенсивності хвилі. Це також порушить хвилю дипольних моментів в атомному середовищі відповідно до

    \[d(z, t) = \hat{d} (z, t) e^{j(\omega_{eg} t - k_0 z)}, \nonumber \]

    що також повільно змінюється. У такому випадку ми отримуємо від Eq. (\(\ref{eq2.5.1}\)) в провідному порядку

    \[\left (\dfrac{\partial}{\partial z} + \dfrac{1}{c_0} \dfrac{\partial}{\partial t} \right ) A(z, t) = jN \vec{e}^T \vec{M}^* \sqrt{\dfrac{Z_{F_0}}{2}} \hat{d} (z, t) \nonumber \]

    \[\dfrac{\partial}{\partial t} d(z, t) = -\dfrac{1}{T_2} \hat{d} + \dfrac{\sqrt{2Z_{F_0}}}{2j\hbar} (\vec{M} \vec{e}) A(t) w \nonumber \]

    \[\dfrac{\partial}{\partial t} w(z,t) = -\dfrac{w - w_0}{T_1} + \dfrac{\sqrt{2Z_{F_0}}}{j\hbar}((\vec{M}^* \vec{e}^*)A^*(t) \hat{d} - (\vec{M} \vec{e})A(t)\hat{d}^*) \nonumber \]

    Крім того, в межі, де час дефазирования\(T_2\) набагато швидше, ніж зміна оболонки електричного поля, можна адиабатично усунути швидко розкладається дипольний момент, тобто

    \[\hat{d} = T_2 \dfrac{\sqrt{2Z_{F_0}}}{2j\hbar} (\vec{M} \vec{e}) A(t) w \nonumber \]

    \[\hat{w} = -\dfrac{w - w_0}{T_1} + \dfrac{|A(t)|^2}{E_s}w, \nonumber \]

    де\(E_s = I_sT_1\), називається флюенсом насичення\([J/cm^2]\), середовища. Зверніть увагу, тепер нам більше не потрібно піклуватися про дипольний момент, і ми залишилися з рівнянням швидкості для різниці населення

    середньої і складної амплітуди поля хвилі.

    \[\left (\dfrac{\partial}{\partial z} + \dfrac{1}{c_0} \dfrac{\partial}{\partial t} \right ) A(z, t) = \dfrac{N\hbar}{4T_2 E_s} w (z, t) A(z,t),\label{eq2.5.13} \]

    \[\dot{w} = -\dfrac{w - w_0}{T_1} + \dfrac{|A(z, t)|^2}{E_s} w(z, t) \nonumber \]

    Рівняння (\(\ref{eq2.5.13}\)) чітко показує, що ми отримуємо посилення для інвертованого середовища і що посилення насичується електромагнітною щільністю потужності, що протікає через середовище.