2.5: Рівняння швидкості

З хвильовим рівнянням Eq. (2.2.2) і вираз для поляризації, індукованої електричним полем хвилі, ми закінчуємо повними рівняннями Максвелла-Блоха, що описують електромагнітне поле, що взаємодіє зі статистичним ансамблем атомів, які розташовані в позиціях$z_i$

$$\left ( \Delta - \dfrac{1}{c_0^2} \dfrac{\partial^2}{\partial t^2}\right ) \vec{E}^{(+)} (z, t) = \mu_0 \dfrac{\partial^2}{\partial t^2} \vec{P}^{(+)} (z, t),\label{eq2.5.1}$$

$$\vec{P}^{(+)} (z, t) = -2N \vec{M} ^* d(z, t) \nonumber$$

$$\dot{d} (z, t) = -(\dfrac{1}{T_2} - j \omega_{eg} )d + \dfrac{1}{2j \hbar} \vec{M} \vec{E}^{(+)} w, \nonumber$$

$$\dot{w} (z, t) = -\dfrac{w - w_0}{T_1} + \dfrac{1}{j\hbar} (\vec{M}^*\vec{E}^{(-)} d - \vec{M} \vec{E}^{(+)} d^*) \nonumber$$

Далі розглядається електромагнітна хвиля з вектором поляризації$\vec{e}$, частотою$\omega_{eg}$ і числом хвилі$k_0 = \omega_{eg}/c_0$ з повільно мінливою оболонкою, що поширюється вправо

$$\vec{E} (z, t)^{(+)} = \sqrt{2 Z_{F_0}} A(z, t) e^{j(\omega_{eg} t - k_0 z)} \vec{e}, \nonumber$$

із

$$\left |\dfrac{\partial A(z,t)}{\partial t} \right |, \left |c\dfrac{\partial A(z,t)}{\partial z} \right |\ll |\omega_{eg} A(z, t)| \nonumber$$

Зауважимо, ми нормалізували комплексну амплітуду$A(t)$ так, що її квадрат величини пропорційний інтенсивності хвилі. Це також порушить хвилю дипольних моментів в атомному середовищі відповідно до

$$d(z, t) = \hat{d} (z, t) e^{j(\omega_{eg} t - k_0 z)}, \nonumber$$

що також повільно змінюється. У такому випадку ми отримуємо від Eq. ($\ref{eq2.5.1}$) в провідному порядку

$$\left (\dfrac{\partial}{\partial z} + \dfrac{1}{c_0} \dfrac{\partial}{\partial t} \right ) A(z, t) = jN \vec{e}^T \vec{M}^* \sqrt{\dfrac{Z_{F_0}}{2}} \hat{d} (z, t) \nonumber$$

$$\dfrac{\partial}{\partial t} d(z, t) = -\dfrac{1}{T_2} \hat{d} + \dfrac{\sqrt{2Z_{F_0}}}{2j\hbar} (\vec{M} \vec{e}) A(t) w \nonumber$$

$$\dfrac{\partial}{\partial t} w(z,t) = -\dfrac{w - w_0}{T_1} + \dfrac{\sqrt{2Z_{F_0}}}{j\hbar}((\vec{M}^* \vec{e}^*)A^*(t) \hat{d} - (\vec{M} \vec{e})A(t)\hat{d}^*) \nonumber$$

Крім того, в межі, де час дефазирования$T_2$ набагато швидше, ніж зміна оболонки електричного поля, можна адиабатично усунути швидко розкладається дипольний момент, тобто

$$\hat{d} = T_2 \dfrac{\sqrt{2Z_{F_0}}}{2j\hbar} (\vec{M} \vec{e}) A(t) w \nonumber$$

$$\hat{w} = -\dfrac{w - w_0}{T_1} + \dfrac{|A(t)|^2}{E_s}w, \nonumber$$

де$E_s = I_sT_1$, називається флюенсом насичення$[J/cm^2]$, середовища. Зверніть увагу, тепер нам більше не потрібно піклуватися про дипольний момент, і ми залишилися з рівнянням швидкості для різниці населення

середньої і складної амплітуди поля хвилі.

$$\left (\dfrac{\partial}{\partial z} + \dfrac{1}{c_0} \dfrac{\partial}{\partial t} \right ) A(z, t) = \dfrac{N\hbar}{4T_2 E_s} w (z, t) A(z,t),\label{eq2.5.13}$$

$$\dot{w} = -\dfrac{w - w_0}{T_1} + \dfrac{|A(z, t)|^2}{E_s} w(z, t) \nonumber$$

Рівняння ($\ref{eq2.5.13}$) чітко показує, що ми отримуємо посилення для інвертованого середовища і що посилення насичується електромагнітною щільністю потужності, що протікає через середовище.