12.2: Векторні оператори

Цей розділ містить зведення векторних операторів, виражених у кожній з трьох основних систем координат:

• Декартова (\(x\)\(y\),\(z\))
• циліндричні (\(\rho\)\(\phi\),\(z\))
• сферичні (\(r\)\(\theta\),\(\phi\))

Асоційовані базисні вектори ідентифікуються за допомогою\(\hat{~}\) каретки () над символом. Векторний операнд\({\bf A}\) виражається через складові в базових напрямках наступним чином:

• Декартова:\({\bf A} = \hat{\bf x}A_x + \hat{\bf y}A_y + \hat{\bf z}A_z\)
• циліндричні:\({\bf A} = \hat{\bf \rho}A_{\rho} + \hat{\bf \phi}A_{\phi} + \hat{\bf z}A_z\)
• сферичні:\({\bf A} = \hat{\bf r}A_r + \hat{\bf \theta}A_{\theta} + \hat{\bf \phi}A_{\phi}\)

Градієнт

Градієнт в декартових координатах:

\ begin {вирівнювання}\ nabla f &=\ hat {\ bf x}\ frac {\ часткове f} {\ часткове х} +\ hat {\ bf y}\ frac {\ partial f} {\ partial y} +\ hat {\ bf z}\ frac {\ partial f} {\ partial z} &\ end {вирівнювання}

Градієнт в циліндричних координатах:

\ begin {вирівнювання}\ набла ф &=\ hat {\ bf\ rho}\ frac {\ часткове f} {\ часткове\ rho} +\ hat {\ bf\ phi}\ frac {\ rho}\ frac {\ частковий f} {\ частковий\ phi} +\ hat {\ bf z}\ frac {\ частковий z} &\ end {вирівняти}

Градієнт в сферичних координатах:

\ begin {вирівнювання}\ набла ф &=\ hat {\ bf r}\ frac {\ часткове f} {\ часткове r} +\ hat {\ bf\ theta}\ frac {1} {r}\ frac {\ часткова\ тета} +\ hat {\ bf\ phi}\ frac {1} {r\ sin\ theta}\ frac {f} {\ часткове\ phi} &\ end {вирівнювання}

Дивергенція

Дивергенція в декартових координатах:

\ begin {вирівнювання}\ nabla\ cdot {\ bf A} &=\ гідророзриву {\ частковий a_x} {\ частковий x} +\ частковий a_y} {\ частковий y} +\ частковий a_z} {\ частковий z} &\ кінець {вирівнювання}

Розбіжність в циліндричних координатах:

\ begin {вирівнювання}\ набла\ cdot {\ bf A} &=\ frac {1} {\ rho}\ frac {\ rho} {\ rho} {\ rho}\ frac {\ rho}\ frac {\ rho}\ frac {\ частковий A_ {\ phi}} {\ частковий\ phi} +\ frac c {\ частковий a_z} {\ частковий z} &\ end {вирівнювання}

Розбіжність в сферичних координатах:

\ begin {вирівнювання}\ набла\ cdot {\ bf A} &= ~~\ frac {1} {r^2}\ frac {\ частковий} {\ частковий r}\ лівий (r^2 a_r\ правий) &\ nonumber\ &~~ +\ frac {1} {r\ sin\ тета}\ frac {\ partial} (A_ {\ тета}\ sin\ тета\ право) &\ nonumber\\ &~~ +\ frac {1} {r\ sin\ theta}\ frac {\ partial A_ {\ phi}} {\ partial\ phi} & \ end {вирівняти}

завиток

Завиток в декартових координатах:

\ begin {вирівнювання}\ nabla\ times {\ bf A} &= ~~\ hat {\ bf x}\ лівий (\ frac {\ частковий a_z} {\ частковий y} -\ частковий a_y} {\ частковий z}\ правий) &\ nonumber\ &~~ +\ капелюх {\ bf y}\ лівий (\ frac {\ частковий a_x} {\ частковий z} -\ frac {\ частковий a_z} {\ частковий x}\ правий) &\ number\ &~~ +\ hat {\ bf z}\ ліворуч (\ frac {\\ частковий a_y} {\ частковий x} -\ frac {\ частковий a_x} {\ частковий y}\ праворуч) &\ мітка {M0139_ecurlCart}\ end {вирівнювання}

Завиток в циліндричних координатах:

\ begin {вирівнювання}\ nabla\ times {\ bf A} &= ~~\ hat {\ bf\ rho}\ лівий (\ frac {1} {\ rho}\ frac {\ rho}\ частковий a_z} {\ частковий a_z}\ правий) &\ nonumber\ &~~ +\ капелюх {\ bf\ phi}\ лівий (\ frac {\ частковий A_ {\ rho}} {\ частковий z} -\ frac {\ частковий a_z} {\ частковий\ rho}\ правий) &\ nomnumber\\ & підсилювач; ~~ +\ hat {\ bf z}\ frac {1} {\ rho}\ лівий [\ frac {\ частковий} {\ частковий\ rho}\ лівий (\ rho A_ {\ phi}\ правий) -\ frac {\ частковий A_ {\ rho}} {\ частковий\ phi}\ праворуч] &\ end {вирівнювання}

Завиток в сферичних координатах:

\ begin {вирівнювання}\ набла\ раз {\ bf A} &= ~~\ hat {\ bf r}\ frac {1} {r\ sin\ тета}\ лівий [\ frac {\ partial} {\ тета}\ лівий (A_ {\ phi}\ sin\ тета\ правий) -\ frac {\ partial A_ {\ тета}} {\ partial\ phi} праворуч] &\ nonumber\\ &~~ +\ hat {\ bf\ тета}\ frac {1} {r}\ лівий [\ frac {1} {\ sin\ тета}\ frac {\ частковий a_r} {\ частковий\ phi} -\ frac {\ частковий} {\ частковий r}\ лівий (Ra_ {\ phi}\ праворуч)\ правий] &\ nonumber\ &~~ +\ hat {\ bf\ phi}\ frac {\ frac {\ частковий}\ лівий (r A_ {\ тета}\ правий) -\ frac {\ частковий}\ лівий (r A_ {\ тета}\ правий) -\ frac {\ частковий} a_r} {\ часткова\ тета}\ право]\ мітка {m0139_ecurlsPh} &\ end {вирівнювання}

Лапласіан

Лаплакіан в декартових координатах:

\ begin {вирівнювання}\ nabla^2 f &=\ frac {\ частковий ^ 2 f} {\ частковий x^2} +\ frac {\ частковий ^ 2 f} {\ частковий y^2} +\ frac {\ частковий ^2 f} {\ частковий z^2} &\ end {вирівнювання}

Лаплакіан в циліндричних координатах:

\ begin {вирівнювання}\ nabla^2 f &=\ frac {1} {\ rho}\ frac {\ часткове} {\ часткове\ rho}\ лівий (\ rho\ frac {\ частковий\ rho}\ правий) +\ frac {\ rho^2}\ frac {\ частковий\ phi^2} +\ frac {\ частковий ^ 2 f} {\ частковий z^2} &\ end {вирівнювання}

Лаплакіан в сферичних координатах:

\ begin {вирівнювання}\ nabla^2 f &= ~~\ гідророзриву {1} {r^2}\ frac {\ часткове} {\ часткове r}\ лівий (r^2\ frac {\ частковий f} {\ частковий r}\ правий) &\ nonumber\ &~~ +\ гідророзриву {1} {r^2\ sin\ тета}\ frac {\ partial}\ частковий\ тета}\ лівий (\ frac {\ частковий f} {\ частковий\ тета}\ sin\ тета\ правий) &\ nonumber\ &~~ +\ frac {1} {r^2\ sin^2\ тета}\ frac {\ частковий ^ 2 f} {\ частковий\ phi^2} &\ end {вирівнювання}