3.2: Трифазні системи

Тепер розглянемо розташування трьох джерел напруги, проілюстроване на малюнку 3.

Малюнок 3: Трифазне джерело напруги

Трифазні напруги бувають:

\[\ v_{a}=\quad V \cos \omega t \quad=R e\left[V e^{j \omega t}\right]\label{9} \]

\[\ v_{b}=V \cos \left(\omega t-\frac{2 \pi}{3}\right)=R e\left[V e^{j\left(\omega t-\frac{2 \pi}{3}\right)}\right]\label{10} \]

\[\ v_{c}=V \cos \left(\omega t+\frac{2 \pi}{3}\right)=\operatorname{Re}\left[V e^{j\left(\omega t+\frac{2 \pi}{3}\right)}\right]\label{11} \]

Ці трифазні напруги проілюстровані в часовій області на малюнку 4 і як складні фазори на малюнку 5. Зверніть увагу на симетричний інтервал у часі напруг. Як і в попередніх прикладах, миттєві напруги можна візуалізувати, уявивши малюнок 5, що обертається проти годинникової стрілки з кутовою швидкістю\(\ \omega\). Миттєві напруги - це всього лише проекції векторів цієї «вертушки» на горизонтальну вісь.

Малюнок 4: Трифазні напруги

Розглянемо підключення цих трьох джерел напруги до трьох однакових навантажень, кожна зі складним опором\(\ \underline{Z}\), як показано на малюнку 6.

Якщо напруги вказані (9 - 11), то струми в трьох фазах бувають:

\[\ i_{a}=R e\left[\frac{\underline{\underline{V}}}{\underline{Z}} e^{j \omega t}\right]\label{12} \]

\[\ i_{b}=\operatorname{Re}\left[\frac{\underline{V}}{\underline{Z}} e^{j\left(\omega t-\frac{2 \pi}{3}\right)}\right]\label{13} \]

\[\ i_{c}=R e\left[\frac{\underline{V}}{\underline{Z}} e^{j\left(\omega t+\frac{2 \pi}{3}\right)}\right]\label{14} \]

Малюнок 5: Фазорна діаграма: Трифазні напруги

Малюнок 6: Трифазне джерело, підключене до збалансованого навантаження

Комплексна потужність в кожній з трьох фаз становить:

\[\ P+j Q=\frac{|\underline{V}|^{2}}{2|\underline{Z}|}(\cos \psi+j \sin \psi)\label{15} \]

Потім, запам'ятовуючи часову фазу трьох джерел, можна записати значення миттєвої потужності в три фази:

\[\ p_{a}=\frac{|\underline{V}|^{2}}{2|\underline{Z}|}\{\cos \psi[1+\cos 2 \omega t]+\sin \psi \sin 2 \omega t\}\label{16} \]

\[\ p_{b}=\frac{|\underline{V}|^{2}}{2|\underline{Z}|}\left\{\cos \psi\left[1+\cos \left(2 \omega t-\frac{2 \pi}{3}\right)\right]+\sin \psi \sin \left(2 \omega t-\frac{2 \pi}{3}\right)\right\}\label{17} \]

\[\ p_{c}=\frac{|\underline{V}|^{2}}{2|\underline{Z}|}\left\{\cos \psi\left[1+\cos \left(2 \omega t+\frac{2 \pi}{3}\right)\right]+\sin \psi \sin \left(2 \omega t+\frac{2 \pi}{3}\right)\right\}\label{18} \]

Сума цих трьох виразів - сумарна миттєва потужність, яка є постійною:

\[\ p=p_{a}+p_{b}+p_{c}=\frac{3}{2} \frac{|\underline{V}|^{2}}{|\underline{Z}|} \cos \psi\label{19} \]

Корисно при роботі з трифазними системами пам'ятати, що

\(\ \cos x+\cos \left(x-\frac{2 \pi}{3}\right)+\cos \left(x+\frac{2 \pi}{3}\right)=0\)

незалежно від величини\(\ x\).

Тепер розглянемо струм в нульовому проводі,\(\ i_{n}\) на малюнку 6. Цей струм задається:

\[\ i_{n}=i_{a}+i_{b}+i_{c}=R e\left[\frac{V}{\underline{Z}}\left(e^{j \omega t}+e^{j\left(\omega t-\frac{2 \pi}{3}\right)}+e^{j\left(\omega t+\frac{2 \pi}{3}\right)}\right)\right]=0\label{20} \]

Це показує найважливішу перевагу трифазних систем перед двофазними системами: провід без струму в ньому не обов'язково повинен бути дуже великим. Насправді нейтральне з'єднання може бути повністю усунуто у багатьох випадках. Мережа, показана на малюнку 7, буде працювати так само, як і мережа на малюнку 6 в більшості випадків, в яких напруги і опори навантаження збалансовані.

Малюнок 7: Незаземлене трифазне джерело та навантаження

Існує принципова різниця між заземленими і незаземленими системами, якщо не підтримуються ідеально збалансовані умови. По суті, провід заземлення забезпечує ізоляцію між фазами шляхом фіксації нейтральної напруги в точці зірки рівним нулю. Якщо імпеданси навантаження не рівні, навантаження вважається незбалансованим. Якщо система заземлена, в нейтралі буде струм. Якщо незбалансована навантаження не заземлена, напруга зоряної точки не буде нульовим, а напруги будуть різними в трьох фазах при навантаженні, навіть якщо всі джерела напруги мають однакову величину.