6.25: Коди повторення

Last updated
Save as PDF

Page ID: 33113

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Цілі навчання

Пояснює код повторення для виправлення помилок.

Мабуть, найпростіший код виправлення помилок - це код повторення.

Малюнок 6.25.1 Верхня частина зображує результат безпосередньої модуляції бітового потоку **b (n)** в переданий сигнал **x (t)** за допомогою набору сигналу BPSK базової смуги. R' - це датарат, отриманий кодером джерела. Якщо цей бітовий потік проходить через (3,1) канальний кодер, щоб отримати бітовий потік **c (l)**, результуючий переданий сигнал вимагає бітового інтервалу T втричі менше, ніж некодована версія. Це зменшення бітового інтервалу означає, що передана енергія/біт зменшується в три рази, що призводить до збільшення ймовірності помилки в приймачі.

Тут передавач надсилає біт даних кілька разів, насправді непарну кількість разів. Оскільки ймовірність помилки р _е завжди менше 1/2, ми знаємо, що більше бітів повинні бути правильними, а не помилково. Просте голосування більшістю отриманих бітів (звідси і причина непарного числа) визначає переданий біт точніше, ніж відправка його самостійно. Для прикладу розглянемо триразовий код повторення: для кожного біта b (n), що виходить з початкового кодера, канальний кодер видає три. Таким чином, бітовий потік, що виходить з канального кодера c (l), має швидкість передачі даних в три рази вище, ніж у вихідного бітового потоку b (n). Таблиця кодування ілюструє, коли помилки можуть бути виправлені, а коли вони не можуть бути використані декодером більшості голосів.

Таким чином, якщо один біт з трьох бітів отриманий помилково, приймач може виправити помилку; якщо виникає більше однієї помилки, канальний декодер оголошує біт 1 замість переданого значення 0. Використовуючи цей код повторення, ймовірність b

\[\hat{b}(n)\neq 0 \nonumber \]

дорівнює

\[3p_{e}^{2}\times (1-p_{e})+p_{e}^{3} \nonumber \]

Ця ймовірність помилки декодування завжди менше p _e, некодованого значення, так довго, як

\[p_{e}< \frac{1}{2} \nonumber \]

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Продемонструйте математично, що це твердження дійсно вірно.

\[3p_{e}^{2}\times (1-p_{e})+p_{e}^{3}\leq p_{e} \nonumber \]

Рішення

Це питання рівнозначне

\[3p_{e}\times (1-p_{e})+p_{e}^{2}\leq 1\; or\; 2p_{e}^{2}-3p_{e}+1\geq 0 \nonumber \]

Оскільки це парабола, що йде вгору, нам потрібно лише перевірити, де знаходяться її коріння. Використовуючи квадратичну формулу, знаходимо, що вони розташовані на 1/2 і 1. Отже, в асортименті

\[0\leq p_{e}\leq \frac{1}{2} \nonumber \]

частота помилок, що утворюються при кодуванні, менша.