6.25: Коди повторення

Last updated

Oct 26, 2022
Save as PDF
- 6.24: Кодування каналів
- 6.26: Кодування блоку каналів

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

Пояснює код повторення для виправлення помилок.

Мабуть, найпростіший код виправлення помилок - це код повторення.

Малюнок 6.25.1 Верхня частина зображує результат безпосередньої модуляції бітового потоку **b (n)** в переданий сигнал **x (t)** за допомогою набору сигналу BPSK базової смуги. R' - це датарат, отриманий кодером джерела. Якщо цей бітовий потік проходить через (3,1) канальний кодер, щоб отримати бітовий потік **c (l)**, результуючий переданий сигнал вимагає бітового інтервалу T втричі менше, ніж некодована версія. Це зменшення бітового інтервалу означає, що передана енергія/біт зменшується в три рази, що призводить до збільшення ймовірності помилки в приймачі.

Тут передавач надсилає біт даних кілька разів, насправді непарну кількість разів. Оскільки ймовірність помилки р _е завжди менше 1/2, ми знаємо, що більше бітів повинні бути правильними, а не помилково. Просте голосування більшістю отриманих бітів (звідси і причина непарного числа) визначає переданий біт точніше, ніж відправка його самостійно. Для прикладу розглянемо триразовий код повторення: для кожного біта b (n), що виходить з початкового кодера, канальний кодер видає три. Таким чином, бітовий потік, що виходить з канального кодера c (l), має швидкість передачі даних в три рази вище, ніж у вихідного бітового потоку b (n). Таблиця кодування ілюструє, коли помилки можуть бути виправлені, а коли вони не можуть бути використані декодером більшості голосів.

Таким чином, якщо один біт з трьох бітів отриманий помилково, приймач може виправити помилку; якщо виникає більше однієї помилки, канальний декодер оголошує біт 1 замість переданого значення 0. Використовуючи цей код повторення, ймовірність b

$\hat{b}(n)\neq 0 \nonumber$

дорівнює

$3p_{e}^{2}\times (1-p_{e})+p_{e}^{3} \nonumber$

Ця ймовірність помилки декодування завжди менше p _e, некодованого значення, так довго, як

$p_{e}< \frac{1}{2} \nonumber$

Вправа $\PageIndex{1}$

Продемонструйте математично, що це твердження дійсно вірно.

$3p_{e}^{2}\times (1-p_{e})+p_{e}^{3}\leq p_{e} \nonumber$

Рішення

Це питання рівнозначне

$3p_{e}\times (1-p_{e})+p_{e}^{2}\leq 1\; or\; 2p_{e}^{2}-3p_{e}+1\geq 0 \nonumber$

Оскільки це парабола, що йде вгору, нам потрібно лише перевірити, де знаходяться її коріння. Використовуючи квадратичну формулу, знаходимо, що вони розташовані на 1/2 і 1. Отже, в асортименті

$0\leq p_{e}\leq \frac{1}{2} \nonumber$

частота помилок, що утворюються при кодуванні, менша.

Цілі навчання

Вправа6.25.1\PageIndex{1}

Вправа $\PageIndex{1}$