Search

4.7: Коментарі та рішення
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A1%D1%83%D1%82%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D1%87%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B7_%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D1%96_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D1%96_(Borovik_%D1%96_Gardiner)/04%3A_%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/4.07%3A_%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D1%96_%D1%82%D0%B0_%D1%80%D1%96%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F
a ( б + d ) = a б + a d < б a + б c = б ( a + c ) , б ( х a + у е ) − a ( х б + у f ) = ( б е − a f ) у = у , е ( х б + у f ) − f ( х a + у е ) = ( б е − a f ) х = х .
5.13: Коментарі та рішення
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A1%D1%83%D1%82%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D1%87%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B7_%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D1%96_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D1%96_(Borovik_%D1%96_Gardiner)/05%3A_%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F/5.13%3A_%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D1%96_%D1%82%D0%B0_%D1%80%D1%96%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F
Примітка: На перший погляд, «доказ» результату в (b) з використанням векторів здається значно простішим. (Якщо A, B, C мають вектори положення a, b, c відповідно, то L має вектор положення 1 2 (b + c)...Примітка: На перший погляд, «доказ» результату в (b) з використанням векторів здається значно простішим. (Якщо A, B, C мають вектори положення a, b, c відповідно, то L має вектор положення 1 2 (b + c), а M має вектор положення 1 2 (c + a), і легко помітити, що AL і BM зустрічаються на G з вектором положення 1 3 (а + б + в).
3.2: Деякі класичні приклади
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A1%D1%83%D1%82%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D1%87%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B7_%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D1%96_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D1%96_(Borovik_%D1%96_Gardiner)/03%3A_%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B1%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B8_%D0%B7%D1%96_%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%BC/3.02%3A_%D0%94%D0%B5%D1%8F%D0%BA%D1%96_%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D0%B8%D1%87%D0%BD%D1%96_%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%B8
Проблема 80 Скільки чистої води потрібно додати в чан, що містить 10 л 60% -ного розчину кислоти, щоб розвести її в 20% -ний розчин кислоти? Скільки часу вони займуть, щоб виконати одну і ту ж роботу,...Проблема 80 Скільки чистої води потрібно додати в чан, що містить 10 л 60% -ного розчину кислоти, щоб розвести її в 20% -ний розчин кислоти? Скільки часу вони займуть, щоб виконати одну і ту ж роботу, працюючи разом? Після цього команда розкололася: одна половина продовжила роботу на великому полі і закінчила його до вечора; інша половина працювала на меншому полі, і не закінчила його в той день - але решту частину скосила одна косарка за один день.
2.4: Тести на подільність
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A1%D1%83%D1%82%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D1%87%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B7_%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D1%96_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D1%96_(Borovik_%D1%96_Gardiner)/02%3A_%D0%90%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/2.04%3A_%D0%A2%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%BD%D0%B0_%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D1%96%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C
Звідси прості тести на подільність на 2, на 4, на 5, на 8, і на 10 все легко йдуть з того, як ми пишемо числа в базі 10. Доведіть, що, коли ціле число записано в основі 10, залишок, коли він ділиться ...Звідси прості тести на подільність на 2, на 4, на 5, на 8, і на 10 все легко йдуть з того, як ми пишемо числа в базі 10. Доведіть, що, коли ціле число записано в основі 10, залишок, коли він ділиться на 9 дорівнює залишку, коли його «цифра-сума» ділиться на 9. Поясніть, чому ціле число ділиться на 6 саме тоді, коли воно ділиться як на 2, так і на 3. Доведіть, що ціле число, записане в основі 11 ділиться на десять саме тоді, коли його цифра-сума ділиться на десять.
3.5: Коментарі та рішення
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A1%D1%83%D1%82%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D1%87%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B7_%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D1%96_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D1%96_(Borovik_%D1%96_Gardiner)/03%3A_%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B1%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B8_%D0%B7%D1%96_%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%BC/3.05%3A_%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D1%96_%D1%82%D0%B0_%D1%80%D1%96%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F
Один із способів погляду на це - представити кожну з величин, що усереднюються на гістограмі - у вигляді прямокутників шириною 1, і висотою, що відповідає представленій кількості. «Додавання всіх вели...Один із способів погляду на це - представити кожну з величин, що усереднюються на гістограмі - у вигляді прямокутників шириною 1, і висотою, що відповідає представленій кількості. «Додавання всіх величин і ділення на n» - це те саме, що і «обчислення загальної площі під графіком, а потім ділення на загальну довжину інтервалу». Іншими словами, ми замінили складну гістограму постійною функцією (або єдиним прямокутником), яка має той самий домен, що і гістограма, і яка має таку ж область під нею (…
1.2: Прямі та зворотні процедури
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A1%D1%83%D1%82%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D1%87%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B7_%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D1%96_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D1%96_(Borovik_%D1%96_Gardiner)/01%3A_%D0%9F%D1%81%D0%B8%D1%85%D1%96%D1%87%D0%BD%D1%96_%D0%BD%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D1%87%D0%BA%D0%B8/1.02%3A_%D0%9F%D1%80%D1%8F%D0%BC%D1%96_%D1%82%D0%B0_%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%BE%D1%82%D0%BD%D1%96_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%B4%D1%83%D1%80%D0%B8
Множення на $2, 4, 6,$ або $8$ індукує відображення два до одного на множину парних цифр (кратні $2$ ); тому обернена задача, така як " $6 \times \square$ закінчується", має два цифрових розв'язки, ...Множення на $2, 4, 6,$ або $8$ індукує відображення два до одного на множину парних цифр (кратні $2$ ); тому обернена задача, така як " $6 \times \square$ закінчується", має два цифрових розв'язки, а обернена задача, така як " $6 \times \square$ закінчується $3$ ", не має цифр- $4$ рішення.
6.6: Гармонічний ряд
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A1%D1%83%D1%82%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D1%87%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B7_%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D1%96_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D1%96_(Borovik_%D1%96_Gardiner)/06%3A_%D0%BD%D0%B5%D1%81%D0%BA%D1%96%D0%BD%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C_-_%D1%80%D0%B5%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81%D1%96%D1%8F%2C_%D1%96%D0%BD%D0%B4%D1%83%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F%2C_%D0%BD%D0%B5%D1%81%D0%BA%D1%96%D0%BD%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D1%81/6.06%3A_%D0%93%D0%B0%D1%80%D0%BC%D0%BE%D0%BD%D1%96%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D1%80%D1%8F%D0%B4
(а) Влаштуйте стопку n смужок довжиною 2, одна над іншою, з нижньою смугою, що виступає відстанню 1 п за край столу, друга смуга знизу виступає 1 п − 1 за передній край нижньої смуги, третя смуга зниз...(а) Влаштуйте стопку n смужок довжиною 2, одна над іншою, з нижньою смугою, що виступає відстанню 1 п за край столу, друга смуга знизу виступає 1 п − 1 за передній край нижньої смуги, третя смуга знизу виступає 1 п − 2 за передній край смуги під ним, і так далі до тих пір, поки ( п − 1 ) го смуга знизу виступає відстань 1 2 за передній край смуги під ним, а верхня смуга виступає відстанню 1 за передній край смуги під нею (див.
3.3: Швидкість і прискорення
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A1%D1%83%D1%82%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D1%87%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B7_%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D1%96_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D1%96_(Borovik_%D1%96_Gardiner)/03%3A_%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B1%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B8_%D0%B7%D1%96_%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%BC/3.03%3A_%D0%A8%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%BA%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C_%D1%96_%D0%BF%D1%80%D0%B8%D1%81%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F
На першому колі я в середньому 40 км/год; на другому колі я в середньому 30 км/год; а на третьому колі я в середньому лише 20 км/год. Другий велосипедист крутить педалі на u км/год на половину загальн...На першому колі я в середньому 40 км/год; на другому колі я в середньому 30 км/год; а на третьому колі я в середньому лише 20 км/год. Другий велосипедист крутить педалі на u км/год на половину загальної дистанції, а потім на v км/год для решти половини. Починаючи з місця, автомобіль рухається через передачі і «швидше розганяється» на нижчих передачах, коли рухається на менших швидкостях, ніж на більш високих швидкостях, коли рухається на більш високих швидкостях.
4.5: Кубічні рівняння
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A1%D1%83%D1%82%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D1%87%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B7_%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D1%96_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D1%96_(Borovik_%D1%96_Gardiner)/04%3A_%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/4.05%3A_%D0%9A%D1%83%D0%B1%D1%96%D1%87%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F
(a) З урахуванням рівняння x 3 + 3 x 2 − 4 = 0, виберіть константу a, а потім змініть змінну, підставивши y = x + a, щоб отримати рівняння виду y 3 + ky = константа. Задача 135 Рівняння x 3 + 3 x 2 − ...(a) З урахуванням рівняння x 3 + 3 x 2 − 4 = 0, виберіть константу a, а потім змініть змінну, підставивши y = x + a, щоб отримати рівняння виду y 3 + ky = константа. Задача 135 Рівняння x 3 + 3 x 2 − 4 = 0 явно має «x = 1» як позитивний розв'язок. (Інші два рішення - x = −2, а x = −2 - повторюваний корінь; проте негативи розглядалися з підозрою у шістнадцятому столітті, тому цей корінь цілком міг бути проігнорований.) Спробуйте зрозуміти, як наступна послідовність ходів «знаходить корінь х = 1»:
Передня матерія
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A1%D1%83%D1%82%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D1%87%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B7_%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D1%96_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D1%96_(Borovik_%D1%96_Gardiner)/00%3A_%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BD%D1%8F_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D1%80%D1%96%D1%8F
4: Алгебра
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A1%D1%83%D1%82%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D1%87%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B7_%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D1%96_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D1%96_(Borovik_%D1%96_Gardiner)/04%3A_%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0
Але сучасна алгебраїчна символіка - зокрема, думка про те, що для вираження узагальненості нам потрібно використовувати букви для представлення не тільки змінних, але і важливих параметрів (таких як к...Але сучасна алгебраїчна символіка - зокрема, думка про те, що для вираження узагальненості нам потрібно використовувати букви для представлення не тільки змінних, але і важливих параметрів (таких як коефіцієнти a, b, c в загальній квадратичній сокирі 2 + bx + c) - довелося чекати незбагненних творів В'єта (1540—1603), особливо Ферма (1601—1665) та Декарта (1596—1650), які спростили та розширили ідеї В'єта в 1630-х роках.