6.6: Гармонічний ряд

Last updated
Save as PDF

Page ID: 65927

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Великою основою математики є принцип протиріччя або ідентичності, тобто, що твердження не може бути істинним і хибним одночасно, і що, таким чином, А - це А, і не може бути не А. І цього єдиного принципу достатньо, щоб довести всю арифметику і всю геометрію, тобто всі математичні принципи.

Готфрід Лейбніц (1646-1716)

Ми бачили, як деяким нескінченним серіям або сумам, які тривають назавжди, можна призначити кінцеве значення для їх суми:

$1 + р + р^{2} + р^{3} + \dots (на віки віків) = \frac{1}{1 - р}$ $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{п (п + 1)} + \dots (на віки віків) = 1$ $\frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots +$ 1п2+⋯ (на віки віків)=π26 $\frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \dots + \frac{1}{п!} + \dots (на віки віків) = е .$

Ми говоримо, що ці ряди сходяться (це означає, що їм можна привласнити кінцеве значення).

Цей розділ стосується ще одного дуже природного ряду, так званого гармонійного ряду

$\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{п} + \dots (на віки віків) .$

Не зовсім зрозуміло, чому це називається гармонійним рядом. Природні обертони, що виникають у зв'язку з вищипуванням натягнутої струни (як у гітари або арфи), мають довжини хвиль, які $\frac{1}{2}$ основна довжина хвилі, або $\frac{1}{3}$ основної довжини хвилі і так далі. Це також вірно, що так само, як кожен член арифметичного ряду є середнім арифметичним його двох сусідів, і кожен член геометричного ряду є геометричним середнім його двох сусідів, тому кожен член гармонічного ряду після першого дорівнює гармонічному середньому (див. Проблеми 85., 89.) двох сусідів:

$\frac{1}{к} = \frac{2}{{(\frac{1}{к - 1})}^{- 1} + {(\frac{1}{к + 1})}^{- 1}} .$

На відміну від перших двох рядів вище, очевидної замкнутої формули для скінченної суми немає

$s_{п} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{п} .$

Безумовно, послідовність послідовних сум

$s_{1} = 1, s_{2} = \frac{3}{2}, s_{3} = \frac{11}{6}, s_{4} = \frac{25}{12}, s_{5} = \frac{137}{60}, ...$

не передбачає жодної загальної закономірності.

Задача 252 Припустимо, ми позначимо S «значення» нескінченної суми.

$\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{п} + \dots (на віки віків)$

(i) Випишіть нескінченну суму, відповідну» $\frac{1}{2} S$ ».

(ii) Вилучити умови цієї нескінченної суми з нескінченної суми S, щоб отримати іншу нескінченну суму, відповідну» $S - \frac{1}{2} S$ » $=$ 12S.

(iii) Порівняйте перший член ряду в (i) (а саме $\frac{1}{2}$ ) з першим терміном ряду в (ii) (а саме 1); порівняйте другий член ряду в (i) з другим терміном ряду в (ii); і так далі. Що ви помічаєте?

Наведена вище цитата Лейбніца підкреслює, що достовірність математики випливає з єдиного принципу — а саме відмови терпіти протиріччя. Ми вже чітко використовували цей принцип час від часу (див., наприклад, рішення задачі 125.). Повідомлення просте: щоразу, коли ми потрапляємо в протиріччя, ми знаємо, що «пішли не так» - або зробивши помилку в розрахунках або логіці, або починаючи з помилкового припущення. У задачі 252. спостереження, які ви очікували зробити, парадоксальні: ви отримали два різні ряди, які обидва відповідають» $\frac{1}{2} S$ », але кожен термін в одному ряду більше, ніж відповідний термін в іншому! З чого можна зробити висновок, може бути не зовсім зрозуміло. Але зрозуміло, що щось не так: ми якось створили протиріччя. Три кроки ((i), (ii), (iii)) здаються відносно розумними. Але остаточне спостереження» $\frac{1}{2} S < \frac{1}{2} S$ » (з $\frac{1}{2} < 1$ , $\frac{1}{4} < \frac{1}{3}$ і т.д.) не має сенсу. І єдине очевидне припущення, яке ми зробили, - це припустити, що нескінченна сума

$\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{п} + \dots (на віки віків)$

може бути присвоєно значення «S», яке потім можна маніпулювати так, ніби це число.

Здавалося б, висновок полягає в тому, що незалежно від того, чи має нескінченна сума сенс, їй не можна привласнити значення таким чином. Ми говоримо, що серія розходиться. Кожна кінцева сума

$\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{п}$

має значення, і ці значення «ростуть все повільніше» при збільшенні n:

перший член відразу робить суму = 1
для отримання суми > 2 потрібно 4 терміни;
для отримання суми > 3 потрібно 11 термінів; і
це займає $12367$ терміни до того, як ряд досягне суми > 10.

Однак цього повільного зростання недостатньо, щоб гарантувати, що відповідна нескінченна сума відповідає кінцевому числовому значенню.

Сигнали небезпеки вже повинні були бути очевидними в задачі 249., де ви довели, що

$\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{п}} \geq \sqrt{п}$

The $п^{го}$ термін $\frac{1}{\sqrt{п}}$ має тенденцію до 0, оскільки n збільшується; тому кінцеві суми ростуть все повільніше, коли n збільшується. Однак LHS можна зробити більшим за будь-яке ціле число K, просто взявши K ² умови. Отже, немає ніякого способу призначити кінцеве значення нескінченної суми.

$\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{п}} + \dots (на віки віків) .$

Проблема 253.

(а) (i) Поясніть, чому

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} < 1.$ (ii) Поясніть, чому

14+15+16+17<1.

(iii) Розширити частини (i) та (ii), щоб довести, що

11+12+13+⋯+12п−1<п, для всіх п≥2.

(iv) Нарешті використовувати той факт, що, коли $п \geq 3$ ,

12п<12−13

трохи змінити доказ у (iii), і, отже, показати, що $\frac{1}{1}$ $+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots +$ 12п<п, для всіх п≥3.

(б) (i) Поясніть, чому

$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} > \frac{1}{2} .$

(ii) Поясніть, чому

$\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} > \frac{1}{2} .$

(iii) Розширити частини (i) та (ii), щоб довести, що

11+12+13+⋯+12п>1+п2, для всіх п≥2.

1+п2<11+12+13+⋯+12п<п.

Зробіть висновок, що нескінченна сума

$\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{п} + \dots (на віки віків)$

не може бути присвоєно кінцеве значення.

Результат у задачі 253. (в) має несподіваний наслідок.

Проблема 254 Уявіть, що у вас необмежений запас однакових прямокутних смуг довжиною 2. (Ідентичні порожні пластикові корпуси компакт-дисків можуть служити корисною ілюстрацією, за умови, що фокусується на їх прямокутному бічному профілі, а не майже квадратному фронтальному перерізі.) Мета полягає в тому, щоб побудувати «стек» таким чином, щоб стирчати якомога далі за край таблиці. Одна смуга балансує точно в своїй середній точці, тому може виступати на загальну відстань 1 без перекидання.

(а) Влаштуйте стопку n смужок довжиною 2, одна над іншою, з нижньою смугою, що виступає відстанню $\frac{1}{п}$ за край столу, друга смуга знизу виступає $\frac{1}{п - 1}$ за передній край нижньої смуги, третя смуга знизу виступає $\frac{1}{п - 2}$ за передній край смуги під ним, і так далі до тих пір, поки ${(п - 1)}^{го}$ смуга знизу виступає відстань $\frac{1}{2}$ за передній край смуги під ним, а верхня смуга виступає відстанню 1 за передній край смуги під нею (див. Рис. 10). Доведіть, що стопка з n однакових смуг, розташованих таким чином, дозволить просто уникнути перекидання через край столу.

(b) Зробіть висновок, що ми можемо вибрати n так, щоб розташування n смуг могло (теоретично) виступати так далеко за край столу, як ми хочемо - без перекидання.

Наступна задача ілюструє в контексті гармонійного ряду, що насправді є цілком загальним явищем: нескінченна сума неухильно знижуються позитивних членів може сходитися або розходитися; але за умови, що самі члени сходяться до 0, то відповідне «чергування» сума» — де поєднуються одні й ті ж терміни, але з поперемінно позитивними та негативними знаками — завжди сходяться.

$Ch06-001.jpeg$

Малюнок 10: Звисають смуги, n = 10.

Проблема 255

(а) Нехай

$s_{п} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \dots \pm \frac{1}{п}$

(де кінцева операція - «+», якщо n непарне і «-», якщо n парне).

(i) Доведіть, що

$s_{2 п - 2} <$ s2п<s2м+1<s2м−1,для всіх $м, п \geq 1$ .

(ii) Зробіть висновок, що нескінченна змінна сума $\frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \dots (на віки віків)$

може бути присвоєно значення s, яке лежить десь між $s_{6} = \frac{37}{60}$ і $s_{5} = \frac{47}{60}$ .

(б) Нехай

$a_{1}, a_{2}, a_{3}, ...$

бути нескінченною, спадною послідовністю позитивних членів (тобто $a_{п + 1} < a_{п}$ для всіх $п \geq 1$ ). Припустимо, що послідовність термінів $a_{п}$ сходиться до 0 як $п \to \infty$ .

(i) Нехай

$s_{п} = a_{1} - a_{2} + a_{3} - a_{4} + a_{5} - \dots \pm a_{п}$

(де кінцевою операцією є «+», якщо n непарне, і «−», якщо n парне). Доведіть, що $s_{2 п - 2} < s 2 п < s 2 м + 1 < s_{2 м - 1}, для всіх м, п \geq 1.$

(ii) Зробіть висновок, що нескінченна змінна сума

$a_{1} - a_{2} + a_{3} - a_{4} + a_{5} - \dots (на віки віків)$

може бути присвоєно значення s, яке лежить десь між $s_{2} = a_{1} - a_{2}$ і $s_{3} = a_{1} - a_{2} + a_{3}$ .

Так само, як і з серіалом

$\frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots + 1 п^{2} + \dots (на віки віків)$ $\frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \dots + \frac{1}{п!} + \dots (на віки віків),$

ми можемо відносно легко показати, що

$\frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \dots (на віки віків)$

може бути присвоєно значення s. Набагато менш зрозуміло, чи має це значення знайоме ім'я! (Це насправді дорівнює натуральному логарифму 2:» ${журнал}_{е} 2$ ».) Аналогічно інтригуючим рядом є чергуються ряди непарних членів з гармонійного ряду: $\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \dots (на віки віків)$

Ви повинні бути в змозі показати, що цей нескінченний ряд може бути присвоєно значення десь між $s_{2} = \frac{2}{3}$ і $s_{3} = \frac{13}{15}$ ; але ви навряд чи здогадаєтеся, що його величина дорівнює $\frac{π}{4}$ . Вперше це було виявлено в 1674 році Лейбніцем (1646-1716). Одним із способів отримання результату є використання інтеграла ${(1 + х^{2})}^{- 1}$ від 0 до 1: з одного боку інтеграл дорівнюєарктанхоцінюється, коли $х = 1$ (тобто, $\frac{π}{4}$ ); з іншого боку, ми можемо розширити integrand як силовий ряд $1 - х^{2} + х^{4} - х^{6} + \dots$ , інтегрувати термін за терміном, і довести, що результуючий ряд сходиться, коли $х = 1$ . (Це дійсно сходяться, хоча робить це дуже, дуже повільно.)

Справа в тому, що змінний гармонійний ряд має значенняжурнале2здається, вперше був показаний Ейлером (1707-1783), використовуючи розширення серії потужності для $журнал (1 + х)$ .