4: Алгебра

Last updated
Save as PDF

Page ID: 65885

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Перше правило розумного майстрування - зберегти всі деталі.

Павло Ерліх (1932—)

Багато важливих аспектів серйозної математики мають своє коріння в світі арифметики. Однак, коли ми реалізуємо арифметичну процедуру, поєднуючи числа з дуже різними значеннями для отримання єдиного числового результату, стає практично неможливо побачити, як окремі інгредієнти сприяють остаточній відповіді. Іншими словами, обчислення виключно числами суперечить «першому правилу розумного майстрування» Павла Ерліха. Саме тому в главах 1 і 2 ми наголосили на необхідності вийти за межі сліпого розрахунку, і почати мислити структурно - навіть при обчисленні чисто числами. Алгебру можна розглядати як чудовий спосіб «возитися з числами», так що ми не тільки «зберігаємо всі частини», але й встигаємо тримати їх окремо (даючи їм різні назви), і, отже, можемо чітко бачити, який внесок кожна змінна інгредієнта вносить у кінцевий результат. Щоб скористатися цією особливістю алгебри, нам потрібно навчитися «читати» алгебраїчні вирази та інтерпретувати те, що вони нам говорять - приблизно так само, як ми вчимося читати числа (так що, де це доречно, 100 розглядається як 10 ², а 10 розглядається як 1 + 2 + 3 + 4).

До того, як була винайдена власна алгебра (близько 1600 р.), здатність витягувати загальну картину, що лежить всередині кожного розрахунку, була обмежена фахівцями. Стародавні вавилоняни (1700—1500 рр. До н.е.) описували свої загальні процедури як рецепти, представлені в контексті проблем, пов'язаних з конкретними числами. Але вони зробили це таким чином, щоб переконливо продемонструвати, що той, хто сформулював процедуру, зумів побачити «загальне в конкретному». Стародавні греки використовували геометричну настройку, щоб виявити спільність, і кодували те, що ми розглядаємо як «алгебраїчні» методи геометричною мовою. У ^9-му столітті нашої ери араби, такі як Аль-Хорізмі (c.780—c.850), вдалося інкапсулювати загальність, використовуючи дуже обмежений вид алгебри, без повної символічної мови, яка з'явиться пізніше. Абацисти, такі як Паоло делл'Аббако (1282—1374), які фігурували в главі 3, чітко бачили, що сила і дух математики кореняться в цій загальності. Але сучасна алгебраїчна символіка - зокрема, думка про те, що для вираження узагальненості нам потрібно використовувати букви для представлення не тільки змінних, але і важливих параметрів (таких як коефіцієнти a, b, c в загальній квадратичній сокирі ² + bx + c) - довелося чекати незбагненних творів В'єта (1540—1603), особливо Ферма (1601—1665) та Декарта (1596—1650), які спростили та розширили ідеї В'єта в 1630-х роках.

Протягом покоління величезний потенціал цього систематичного використання символів був розкритий тріумфами Ньютона (1642—1727), Лейбніца (1646—1716) та інших у роки до 1700 року. Пізніше уточнення, запропоновані Ейлером (1707—1783) у його численних працях протягом ^18-го століття, зробили цю нову мову та її відкриття доступними для всіх нас - так само, як і версія Стевіна (1548—1620) значення місця для чисел зробила розрахунок доступним для кожного.

Наше висвітлення алгебри обов'язково вибіркове. Ми зосереджуємося на кількох ідеях, які потрібні в наступному, і які в ідеалі повинні бути знайомими - але з акцентом, який може бути менш звичним. При роботі алгебраїчно ключові математичні повідомлення здебільшого неявні в самих маніпуляціях. Отже, багато додаткових коментарів у цій главі слід знайти як частину рішень, а не в межах основного тексту.