Search

B: Підказки для вправ
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B5_%D0%BE%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_CLP-4_(Feldman%2C_Rechnitzer_%D1%82%D0%B0_Yeager)/06%3A_%D0%94%D0%BE%D0%B4%D0%B0%D1%82%D0%BA%D0%B8/6.02%3A_%D0%9F%D1%96%D0%B4%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%BA%D0%B8_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%B2%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2
3.2: Дотичні площини
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B5_%D0%BE%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_CLP-4_(Feldman%2C_Rechnitzer_%D1%82%D0%B0_Yeager)/03%3A_%D0%9F%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D0%B5%D0%B2%D1%96_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B8/3.02%3A_%D0%94%D0%BE%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D1%96_%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B8%D0%BD%D0%B8
Якщо ви зіткнулися зі складною поверхнею і хочете отримати деяке уявлення про те, як вона виглядає поблизу певної точки, ймовірно, перше, що ви зробите, це знайти площину, яка найкраще наближає поверх...Якщо ви зіткнулися зі складною поверхнею і хочете отримати деяке уявлення про те, як вона виглядає поблизу певної точки, ймовірно, перше, що ви зробите, це знайти площину, яка найкраще наближає поверхню біля точки. Тобто знайти дотичну площину до поверхні в точці.
2: Векторні поля
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B5_%D0%BE%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_CLP-4_(Feldman%2C_Rechnitzer_%D1%82%D0%B0_Yeager)/02%3A_%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D1%96_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%8F
Мініатюра: одинична сфера з поверхневими векторами (CC BY-SA 3.0 Unported; Cronholm144 через Вікіпедію)
Індекс
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B5_%D0%BE%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_CLP-4_(Feldman%2C_Rechnitzer_%D1%82%D0%B0_Yeager)/zz%3A_%D0%9D%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D0%B4_%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D1%80%D1%96%D1%8F/10%3A_%D0%86%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D0%BA%D1%81
Template:DynamicIndex
4.6: Насправді необов'язково - більше інтерпретації Div і Curl
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B5_%D0%BE%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_CLP-4_(Feldman%2C_Rechnitzer_%D1%82%D0%B0_Yeager)/04%3A_%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B8/4.06%3A_%D0%9D%D0%B0%D1%81%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B4%D1%96_%D0%BD%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D0%B2'%D1%8F%D0%B7%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%BE_-_%D0%B1%D1%96%D0%BB%D1%8C%D1%88%D0%B5_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BF%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97_Div_%D1%96_Curl
Зараз ми збираємось визначити набагато детальніше, ніж раніше, що розбіжність та завиток векторного поля говорить нам про потік цього векторного поля.
C: Відповіді на вправи
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B5_%D0%BE%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_CLP-4_(Feldman%2C_Rechnitzer_%D1%82%D0%B0_Yeager)/06%3A_%D0%94%D0%BE%D0%B4%D0%B0%D1%82%D0%BA%D0%B8/6.03%3A_%D0%92%D1%96%D0%B4%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D1%96%D0%B4%D1%96_%D0%BD%D0%B0_%D0%B2%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8
1: Криві
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B5_%D0%BE%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_CLP-4_(Feldman%2C_Rechnitzer_%D1%82%D0%B0_Yeager)/01%3A_%D0%9A%D1%80%D0%B8%D0%B2%D1%96
Налаштування $\ \cos t= \big(\frac{x}{a}\big)^{\frac{1}{3}}\$ і $\ \sin t=\big(\frac{y}{a}\big)^{\frac{1}{3}}\$ перетворюється $\cos^2 t +\sin^2 t =1$ в\(\frac{x^{2/3}}{a^{2/3}}+\frac{y^{2/3}}{a^...Налаштування $\ \cos t= \big(\frac{x}{a}\big)^{\frac{1}{3}}\$ і $\ \sin t=\big(\frac{y}{a}\big)^{\frac{1}{3}}\$ перетворюється $\cos^2 t +\sin^2 t =1$ в $\frac{x^{2/3}}{a^{2/3}}+\frac{y^{2/3}}{a^{2/3}}=1\text{.}$ Тому що ми можемо вирішити $e^y=1+x^2$ для $y$ як функцію, $x\text{,}$ а саме, $y=\ln\big(1+x^2\big)\text{,}$ ми можемо використовувати $x$ як параметр, просто встановивши $t=x\text{.}$ Це дає параметризацію.
1.9: Необов'язково - Центральні сили
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B5_%D0%BE%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_CLP-4_(Feldman%2C_Rechnitzer_%D1%82%D0%B0_Yeager)/01%3A_%D0%9A%D1%80%D0%B8%D0%B2%D1%96/1.09%3A_%D0%9D%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D0%B2'%D1%8F%D0%B7%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%BE_-_%D0%A6%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%81%D0%B8%D0%BB%D0%B8
Одним з великих тріумфів ньютонівської механіки стало пояснення законів Кеплера, в якому говорилося
2.2: Додатково - Лінії полів
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B5_%D0%BE%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_CLP-4_(Feldman%2C_Rechnitzer_%D1%82%D0%B0_Yeager)/02%3A_%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D1%96_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%8F/2.02%3A_%D0%94%D0%BE%D0%B4%D0%B0%D1%82%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%BE_-_%D0%9B%D1%96%D0%BD%D1%96%D1%97_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%96%D0%B2
Припустимо, що ми кидаємо крихітну палицю в річку з полем швидкості тече води $\vecs{v} (x,y)\text{.}$ Ми припускаємо, для простоти, що поле швидкості не залежить від часу $t\text{.}$ Паличка буде р...Припустимо, що ми кидаємо крихітну палицю в річку з полем швидкості тече води $\vecs{v} (x,y)\text{.}$ Ми припускаємо, для простоти, що поле швидкості не залежить від часу $t\text{.}$ Паличка буде рухатися разом з водою. Коли палиця на $\vecs{r} \text{,}$ своїй швидкості буде такою ж, як швидкість води, при $\vecs{r} \text{,}$ якій є $\vecs{v} (\vecs{r} )\text{.}$ Таким чином, якщо палиця знаходиться в $\vecs{r} (t)$ той час, $t\text{,}$ ми будемо
A.9: Огляд лінійних звичайних диференціальних рівнянь
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B5_%D0%BE%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_CLP-4_(Feldman%2C_Rechnitzer_%D1%82%D0%B0_Yeager)/06%3A_%D0%94%D0%BE%D0%B4%D0%B0%D1%82%D0%BA%D0%B8/6.01%3A_%D0%94%D0%BE%D0%B4%D0%B0%D1%82%D0%BA%D0%B8/6.1.09%3A_%D0%9E%D0%B3%D0%BB%D1%8F%D0%B4_%D0%BB%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B8%D1%85_%D0%B7%D0%B2%D0%B8%D1%87%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D0%B8%D1%85_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D1%85_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D1%8C
\[\begin{align*} &C_1 e^{r_1t}+C_2e^{r_2 t} =e^{-\rho t}\big[C_1e^{i\nu t}+C_2e^{-i\nu t}\big]\\ &\hskip0.5in=e^{-\rho t}\big[C_1\big\{\cos(\nu t)+i\sin(\nu t)\big\}+ C_2\big\{\cos(\nu t)-i\sin(\nu t)... $\begin{align*} &C_1 e^{r_1t}+C_2e^{r_2 t} =e^{-\rho t}\big[C_1e^{i\nu t}+C_2e^{-i\nu t}\big]\\ &\hskip0.5in=e^{-\rho t}\big[C_1\big\{\cos(\nu t)+i\sin(\nu t)\big\}+ C_2\big\{\cos(\nu t)-i\sin(\nu t)\big\}\big]\\ &\hskip0.5in=e^{-\rho t}\big[D_1\cos(\nu t)+D_2\sin(\nu t)\big] \end{align*}$
4.7: Необов'язково - Узагальнена теорема Стокса
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B5_%D0%BE%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_CLP-4_(Feldman%2C_Rechnitzer_%D1%82%D0%B0_Yeager)/04%3A_%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B8/4.07%3A_%D0%9D%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D0%B2'%D1%8F%D0%B7%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%BE_-_%D0%A3%D0%B7%D0%B0%D0%B3%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%A1%D1%82%D0%BE%D0%BA%D1%81%D0%B0
Як ми бачили, фундаментальна теорема числення, теорема розбіжності, теорема Грінса та теорема Стокса мають низку спільних рис. Насправді існує єдина структура, яка охоплює і узагальнює їх усі, і існує...Як ми бачили, фундаментальна теорема числення, теорема розбіжності, теорема Грінса та теорема Стокса мають низку спільних рис. Насправді існує єдина структура, яка охоплює і узагальнює їх усі, і існує єдина теорема, про яку всі вони є окремими випадками.