Search

2.1: Приклади груп
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/%D0%92%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF_%D0%B4%D0%BE_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF_%D1%96_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%97_(Lyons)/02%3A_%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%B8/2.01%3A_%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%B8_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF
Групи є одним з найбільш основних алгебраїчних об'єктів, але мають досить багату структуру, щоб бути широко корисними у всіх галузях математики та її застосувань. Група - це множина $G$ з двійковою о...Групи є одним з найбільш основних алгебраїчних об'єктів, але мають досить багату структуру, щоб бути широко корисними у всіх галузях математики та її застосувань. Група - це множина $G$ з двійковою операцією $G\times G \to G$ , яка має короткий список конкретних властивостей. Перш ніж ми дамо повне визначення групи в наступному розділі, в цьому розділі наведені приклади деяких важливих та корисних груп.
1: Попередні
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/%D0%92%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF_%D0%B4%D0%BE_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF_%D1%96_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%97_(Lyons)/01%3A_%D0%9F%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BD%D1%96
Вступ до груп і геометрії (Lyons)
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/%D0%92%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF_%D0%B4%D0%BE_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF_%D1%96_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%97_(Lyons)
Цей текст є двома підручниками в одному: вступ до теорії груп та вступ до сучасної геометрії з використанням парадигми Клейніана. Книга може бути використана для комбінованого односеместрового курсу з...Цей текст є двома підручниками в одному: вступ до теорії груп та вступ до сучасної геометрії з використанням парадигми Клейніана. Книга може бути використана для комбінованого односеместрового курсу з обох предметів, або, через додаткові проекти, вона може бути використана для односеместрового введення в теорії груп або односеместрового введення в сучасні геометрії.
1.3: Стереографічна проекція
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/%D0%92%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF_%D0%B4%D0%BE_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF_%D1%96_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%97_(Lyons)/01%3A_%D0%9F%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BD%D1%96/1.03%3A_%D0%A1%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D1%96%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F
Показати, що карта, $R_{X,\pi}\colon S^2\to S^2$ задана $(a,b,c)\to (a,-b,-c)$ (обертання навколо $x$ -осі $\pi$ радіанами) та карта, $T_{X,\pi}\colon \hat{\mathbb{C}}\to \hat{\mathbb{C}}$ задана...Показати, що карта, $R_{X,\pi}\colon S^2\to S^2$ задана $(a,b,c)\to (a,-b,-c)$ (обертання навколо $x$ -осі $\pi$ радіанами) та карта, $T_{X,\pi}\colon \hat{\mathbb{C}}\to \hat{\mathbb{C}}$ задана, $z\to 1/z$ є сполученими перетвореннями щодо стереографічної проекції.
1.1: Комплексні числа
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/%D0%92%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF_%D0%B4%D0%BE_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF_%D1%96_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%97_(Lyons)/01%3A_%D0%9F%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BD%D1%96/1.01%3A_%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D1%96_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0
Комплексні числа спочатку були винайдені для вирішення задач в алгебрі. Пізніше було визнано, що алгебра складних чисел забезпечує елегантний набір інструментів для геометрії в площині. У цьому розділ...Комплексні числа спочатку були винайдені для вирішення задач в алгебрі. Пізніше було визнано, що алгебра складних чисел забезпечує елегантний набір інструментів для геометрії в площині. У цьому розділі представлені основи алгебри та геометрії комплексних чисел.
3.3: Гіперболічна геометрія
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/%D0%92%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF_%D0%B4%D0%BE_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF_%D1%96_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%97_(Lyons)/03%3A_%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F/3.03%3A_%D0%93%D1%96%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D1%96%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F
До відкриття гіперболічної геометрії вважалося, що евклідова геометрія є єдино можливою геометрією площини. Насправді гіперболічна геометрія виникла як побічний продукт зусиль довести, що альтернативи...До відкриття гіперболічної геометрії вважалося, що евклідова геометрія є єдино можливою геометрією площини. Насправді гіперболічна геометрія виникла як побічний продукт зусиль довести, що альтернативи евклідовій геометрії не існує. У цьому розділі ми представляємо Kleinian версію гіперболічної геометрії.
2.5: Групові дії
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/%D0%92%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF_%D0%B4%D0%BE_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF_%D1%96_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%97_(Lyons)/02%3A_%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%B8/2.05%3A_%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D1%96_%D0%B4%D1%96%D1%97
Нехай група $G$ діє на множини $X\text{.}$ Колекція орбіт є розділом $X\text{.}$ Відповідне відношення еквівалентності $\sim_G$ на $X$ задається $x\sim_G y$ якщо і тільки якщо $y=gx$ для деяких...Нехай група $G$ діє на множини $X\text{.}$ Колекція орбіт є розділом $X\text{.}$ Відповідне відношення еквівалентності $\sim_G$ на $X$ задається $x\sim_G y$ якщо і тільки якщо $y=gx$ для деяких $g\in G\text{.}$ Ми пишемо для $X/G$ позначення множини орбіт, яка така ж, як і набір $X/\!\!\sim_G$ класів еквівалентності.
3: Геометрія
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/%D0%92%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF_%D0%B4%D0%BE_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF_%D1%96_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%97_(Lyons)/03%3A_%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F
1.2: Кватерніони
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/%D0%92%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF_%D0%B4%D0%BE_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF_%D1%96_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%97_(Lyons)/01%3A_%D0%9F%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BD%D1%96/1.02%3A_%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%96%D0%BE%D0%BD%D0%B8
Кватерніони, відкриті Вільямом Роуеном Гамільтоном в 1843 році, були винайдені для захоплення алгебри обертань 3-вимірного реального простору, розширюючи шлях, яким комплексні числа захоплюють алгебру...Кватерніони, відкриті Вільямом Роуеном Гамільтоном в 1843 році, були винайдені для захоплення алгебри обертань 3-вимірного реального простору, розширюючи шлях, яким комплексні числа захоплюють алгебру обертань 2-вимірного реального простору.
3.2: Геометрія Мебіуса
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/%D0%92%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF_%D0%B4%D0%BE_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF_%D1%96_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%97_(Lyons)/03%3A_%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F/3.02%3A_%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F_%D0%9C%D0%B5%D0%B1%D1%96%D1%83%D1%81%D0%B0
Геометрія Мебіуса забезпечує об'єднуючу основу для вивчення плоских геометрій. Зокрема, групи трансформації гіперболічної та еліптичної геометрії у наступних розділах є підгрупами групи перетворень Ме...Геометрія Мебіуса забезпечує об'єднуючу основу для вивчення плоских геометрій. Зокрема, групи трансформації гіперболічної та еліптичної геометрії у наступних розділах є підгрупами групи перетворень Мебіуса.
2.6: Додаткові вправи
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/%D0%92%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF_%D0%B4%D0%BE_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF_%D1%96_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%97_(Lyons)/02%3A_%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%B8/2.06%3A_%D0%94%D0%BE%D0%B4%D0%B0%D1%82%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D1%96_%D0%B2%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8
H\}\ text {.}\) Припустимо, що $K$ це нормальна підгрупа $G\text{,}$ цього $G=KH\text{,}$ і що $K\cap H=\{e\}\text{.}$ Показати, що $\phi\colon H\to Aut(K)\text{,}$ дано$\phi(h)(k)=hkh^{-1}\text...H\}\ text {.}$ Припустимо, що $K$ це нормальна підгрупа $G\text{,}$ цього $G=KH\text{,}$ і що $K\cap H=\{e\}\text{.}$ Показати, що $\phi\colon H\to Aut(K)\text{,}$ дано $\phi(h)(k)=hkh^{-1}\text{,}$ це гомоморфізм.