5.3: Ядерні моделі

У випадку найпростішого ядра (дейтерію, з 1p-1n) нам вдалося вирішити незалежне від часу рівняння Шредінгера з перших принципів і знайти хвильові функції та енергетичні рівні системи - звичайно, з деякими наближеннями, спрощуючи, наприклад, потенціал. Якщо ми спробуємо зробити те ж саме для більших ядер, ми незабаром знайдемо деякі проблеми, оскільки кількість змінних, що описують позицію та імпульс, швидко зростає, а математичні завдання стають дуже складними.

Інша складність пов'язана з тим, що точна природа ядерної сили не відома, оскільки є, наприклад, деякі докази того, що існують також 3-тільні взаємодії, які не мають класичного аналога і їх важко вивчити за допомогою експериментів з розсіюванням.

Тоді замість того, щоб намагатися точно вирішити проблему, відштовхуючись від мікроскопічного опису складових ядра, вчені-ядерники розробили деякі моделі, що описують ядро. Ці моделі повинні давати результати, які узгоджуються з уже відомими ядерними властивостями і вміти прогнозувати нові властивості, які можна виміряти в експериментах. Зараз ми розглянемо деякі з цих моделей.

структура оболонки

Модель атомної оболонки

Можливо, ви вже знайомі з моделлю атомної оболонки. У моделі атомної оболонки оболонки визначаються на основі атомних квантових чисел, які можна обчислити за атомним кулонівським потенціалом (і наступним рівнянням власного значення), заданого протонами ядра.

Оболонки заповнені електронами в порядку збільшення енергій, таким чином, що кожна орбіта (рівень) може містити не більше 2 електронів (за принципом виключення Паулі). Властивості атомів тоді в основному визначаються електронами в не повністю заповненій оболонці. Це призводить до періодичності атомних властивостей, таких як атомний радіус і енергія іонізації, що відображається в періодичній таблиці елементів. Ми бачили при вирішенні для водню

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Атомний радіус проти Z. (CC BY-NC-ND; Паола Капелларо)

атома, що квантовий стан описується квантовими числами:\(|\psi=| n, l, m\) де\(n\) знаходиться принципове квантове число (щоб в атомі водню була віддана енергія). \(l\)квантове число моменту моменту (або азимутальне квантове число) і\(m\) магнітне квантове число. Цей останній,\(m=-l, \ldots, l-1, l\) таким чином, разом зі спіновим квантовим числом, встановлює виродження кожної орбіти (визначається\(n\) і\(l < n\)) бути\(D(l) = 2(2l + 1)\). Історично орбіталі називалися спектроскопічними позначеннями наступним чином:

Історичні позначення походять з опису спостережуваних спектральних ліній:

\[ \mathbf{s}=\operatorname{sharp} \quad \mathbf{p}=\text { principal } \quad \mathbf{d}=\text { diffuse } \quad \mathbf{f}=\text { fine } \nonumber\]

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Енергія іонізації проти Z. (CC BY-NC-ND; Паола Капелларо)

Орбіталі (або енергія власнихфункцій) потім збираються в групи подібних енергій (і подібних властивостей). Виродження кожної орбіти дає наступні (сукупні) номери заповнюваності для кожної з енергетичних груп:

\[\boxed{\begin{array}{lllll} 2, & 10, & 18, & 36, & 54, & 70, & 86 \end{array}} \nonumber\]

Зверніть увагу, що вони відповідають добре відомим групам у таблиці Менделєєва.

Існують деякі труднощі, які виникають при спробі адаптувати цю модель до ядра, зокрема те, що потенціал не зовнішній по відношенню до частинок, а створений ними самі собою, і той факт, що розмір нуклонів набагато більше електронів, так що говорити про нього набагато менше сенсу орбіталі. Крім того, замість того, щоб мати лише один тип частинок (електрон), що підкоряється принципу виключення Паулі, тут питання є складним, оскільки нам потрібно заповнити оболонки двома типами частинок, нейтронами та протонами.

У будь-якому випадку, є деякі переконливі експериментальні докази, які вказують у напрямку моделі оболонки.

Докази структури ядерної оболонки: енергія розділення двох нуклеонів

Енергія розділення двох нуклеонів (енергія розділення 2p- або 2n-поділу) є еквівалентом енергії іонізації для атомів, де нуклони виводяться в парі, щоб врахувати термін в ядерному потенціалі, який сприяє спаруванню нуклонів. З цього першого набору даних ми можемо зробити висновок, що існують оболонки з номерами професій.

\[\boxed{\begin{array}{lllll} 8, & 20, & 28, & 50, & 82, & 126\end{array}} \nonumber \]

Вони називаються магічними числами в ядерній фізиці. Порівнюючи з розміром атомних оболонок, ми бачимо, що атомні магічні числа досить сильно відрізняються від ядерних (як і очікувалося, оскільки є два типи частинок та інші відмінності.) Тільки керівний принцип той же. Атомні оболонки визначаються шляхом розв'язання енергетичного рівняння власного значення. Ми можемо спробувати зробити те ж саме для нуклонів.

Нуклони Гамільтоніан

Гамільтоніан для ядра являє собою складний багатотіловий гамільтоніан. Потенціал полягає в поєднанні ядерної і кулонівської взаємодії:

\[\mathcal{H}=\sum_{i} \frac{\hat{p}_{i}^{2}}{2 m_{i}}+\sum_{j, i \leq j} V_{n u c}\left(\left|\vec{x}_{i}-\vec{x}_{j}\right|\right)+\underbrace{\sum_{j, i \leq j} \frac{e^{2}}{\left|\vec{x}_{i}-\vec{x}_{j}\right|}}_{\text {sum on protons only }} \nonumber\]

Немає зовнішнього потенціалу, як для електронів (де протони створюють сильний зовнішній центральний потенціал для кожного електрона). Ми все ще можемо спростити цей гамільтоніан за допомогою теорії середнього поля ¹¹.

Примітка

11 Це поняття, яке актуально в багатьох інших фізичних ситуаціях

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Верх: Двопротонні енергії поділу ізотонів (константа N). Знизу: енергії поділу двох нейтронів ізотопів (постійна Z). На осі х: нуклоонне число. Раптові зміни магічного числа очевидні. Від Кране, рис. 5.2

Ми можемо переписати гамільтоніан вище, вибравши 1 нуклеон, наприклад\(j^{t h} \) нейтрон:

\[\mathcal{H}_{j}^{n}=\frac{\hat{p}_{j}^{2}}{2 m_{n}}+\sum_{i \leq j} V_{n u c}\left(\left|\vec{x}_{i}-\vec{x}_{j}\right|\right) \nonumber\]

або\(k^{t h} \) протон:

\[\mathcal{H}_{k}^{p}=\frac{\hat{p}_{k}^{2}}{2 m_{n}}+\sum_{i \leq k} V_{n u c}\left(\left|\vec{x}_{i}-\vec{x}_{k}\right|\right)+\underbrace{\sum_{i \leq k} \frac{e^{2}}{\left|\vec{x}_{i}-\vec{x}_{k}\right|}}_{\text {sum on protons only }} \nonumber\]

то загальний гамільтоніан - це лише сума над цими одночастинковими гамільтоніанцями:

\[\mathcal{H}=\sum_{j \text { (neutrons) }} \mathcal{H}_{j}^{n}+\sum_{k(\text { protons })} \mathcal{H}_{k}^{p} \nonumber\]

Гамільтоніани\(\mathcal{H}_{j}^{n} \) і\(\mathcal{H}_{j}^{p} \) описують один нуклон, підданий потенціалу\(V_{n u c}^{j}\left(\left|\vec{x}_{j}\right|\right) \) - або\( V^{j}\left(\left|\vec{x}_{j}\right|\right)=V_{n u c}^{j}\left(\left|\vec{x}_{j}\right|\right)+V_{c o u l}^{j}\left(\left|\vec{x}_{j}\right|\right)\) для протона. Ці потенціали - це вплив всіх інших нуклонів на вибраний нами нуклеон, і тільки їх сума вступає в гру. Нуклон, на якому ми зосередилися, потім розвивається в середньому полі, створеному всіма іншими нуклонами. Звичайно, це спрощення, оскільки поле, створене іншими нуклонами, залежить також від\( j^{t h}\) нуклону, оскільки цей нуклеон впливає (наприклад) на положення інших нуклонів. Цей вид зворотної дії ігнорується в наближенні середнього поля, і ми розглядали потенціал середнього поля як фіксований (тобто задається нуклонами з фіксованим положенням).

Потім ми хочемо прийняти модель для середнього поля\( V_{n u c}^{j}\) і\( V_{\text {coul}}^{j}\). Почнемо з ядерного потенціалу. Ми змоделювали взаємодію між двома нуклонами квадратною ямою з глибиною −V ₀ та діапазоном R ₀. Дальність ядерної свердловини пов'язана з ядерним радіусом, який, як відомо, залежить від числа ядерної маси А, як\(R \sim 1.25 A^{1 / 3} \mathrm{fm} \). Потім\(V_{n u c}^{j} \) - сума багатьох з цих квадратних лунок, кожна з різним діапазоном (в залежності від поділу нуклонів). Глибина замість цього майже постійна при V ₀ = 50MeV, коли ми розглядаємо ядра великих-A (це відповідає

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Потенціал, отриманий із суми багатьох прямокутних потенційних ям. Чорний, діапазон потенціалу збільшується пропорційно кількості розглянутих нуклонів. Червоний,\( R \sim A^{1 / 3}\). Синій, гармонічний потенціал, який наближає бажаний потенціал. (CC BY-NC-ND; Паола Капелларо)

середня сила загального нуклоонного потенціалу). Що є сумою багатьох квадратних свердловин? Потенціал згладжується. Ми можемо наблизити це за допомогою параболічного потенціалу. [Зверніть увагу, що для будь-якої неперервної функції мінімум завжди може бути наближений параболічною функцією, оскільки мінімум такий, що перша похідна дорівнює нулю]. Цей тип потенціалу корисний, оскільки ми можемо знайти аналітичне рішення, яке дасть нам класифікацію ядерних держав. Звичайно, це грубе наближення. Це модель потенціалу осцилятора:

\[V_{n u c} \approx-V_{0}\left(1-\frac{r^{2}}{R_{0}^{2}}\right) \nonumber\]

Тепер потрібно розглянути кулоновий потенціал для протонів. Потенціал задається:\( V_{\text {coul}}=\frac{(Z-1) e^{2}}{R_{0}}\left[\frac{3}{2}-\frac{r^{2}}{2 R_{0}^{2}}\right]\) for\(r \leq R_{0} \), який є лише потенціалом для сфери радіуса R ₀, що містить рівномірний заряд\((Z-1) e \). Тоді ми можемо записати ефективний (середнє поле, в параболічному наближенні) потенціал як

\[V_{\mathrm{eff}}=\underbrace{r^{2}\left(\frac{V_{0}}{R_{0}^{2}}-\frac{(Z-1) e^{2}}{2 R_{0}^{3}}\right)}_{\equiv \frac{1}{2} m \omega^{2} r^{2}} \underbrace{-V_{0}+\frac{3}{2} \frac{(Z-1) e^{2}}{R_{0}}}_{\equiv-V_{0}^{\prime}} \nonumber\]

Тут ми визначили модифікований ядерний квадратний потенціал\( V_{0}^{\prime}=V_{0} \quad \frac{3}{2} \frac{(Z-1) e^{2}}{R_{0}}\) для протонів, який менший, ніж для нейтронів. Також ми визначили частоти гармонійних осциляторів\( \omega^{2}=\frac{2}{m}\left(\frac{V_{0}}{R_{0}^{2}}-\frac{(Z-1) e^{2}}{2 R_{0}^{3}}\right)\).

Таким чином, протонна свердловина трохи менша і ширша, ніж нейтронна свердловина через відштовхування Кулона. Ця потенційна модель має обмеження, але вона передбачає нижчі магічні числа.

Власні значення потенціалу задаються сумою гармонійного потенціалу в 3D (як видно з декламації) та квадратної свердловини:

\[E_{N}=\hbar \omega\left(N+\frac{3}{2}\right)-V_{0}^{\prime}. \nonumber\]

(Де приймаємо V ₀ ′ = V ₀ за нейтрон).

Зверніть увагу, що рішення рівняння для потенціалу гармонічного осцилятора не є рівнозначним для вирішення повного радіального рівняння, де\(\hbar^{2} \frac{l(l+1)}{2 m r^{2}} \) необхідно враховувати відцентровий член. Ми могли б вирішити це загальне рівняння і знайти власні значення енергії, позначені радіальними та орбітальними квантовими числами. Порівнюючи два розв'язки, ми виявили, що h.o. квантове число N може бути виражено через радіальні та орбітальні квантові числа як

\[N=2(n-1)+l \nonumber\]

Так як у\(l=0,1, \ldots n-1 \) нас є правило вибору для\( l\) як функція\(N: l=N, N-2, \ldots\) (з\(l \geq 0 \)). Виродження E _N власних значень тоді\(\mathcal{D}^{\prime}(N)=\sum_{l=N, N-2, \ldots}(2 l+1)=\frac{1}{2}(N+1)(N+2) \) (ігнорування спина) або\(\mathcal{D}(N)=(N+1)(N+2) \) при включенні спина.

Тепер ми можемо використовувати ці квантові числа для заповнення ядерних рівнів. Зверніть увагу, що у нас є окремі рівні для нейтронів і протонів. Потім ми зможемо побудувати таблицю рівнів номерів професій, яка пророкує перші 3 магічних числа.

\ [\ почати {масив} {|c|c|c|c|c|l|}
\ hline\ mathrm {N} & l &\ begin {масив} {l}

\ текст {Спектроскопічний}
\\ текст {Позначення}\ кінець {масив} &\ frac {1} {2}\ mathcal {D} (N) &\ begin {масив} {l}
\ текст {накопичувальний}\\
\ текст {ядра-}\
\ текст {ons#}
\ кінець {масив}\
\ hline 0 & 0 & 1\ mathrm {~ s} & 1 & 2\\
\ рядок 1 & 1 & 1\\ mathrm {p} & 3 & 6 & 8\\
\ рядок 2 & 0,2 & 2\ mathrm {~s}, 1 \ mathrm {~d} & 6 & 12 & 20\
\\ рядок\\ рядок 3 & 1,3 & 2\ mathrm {p}, 1\ mathrm {f} & 10 & 20\\\
\ рядок 4 & 0,2,4 & 3\\ математика {~ s}, 2\ mathrm {~d}, 1\ mathrm {~g} & 15 & 30 & 70\\
\ hline
\ кінець {масив} \ номер\]

Для більш високих рівнів існують розбіжності, тому нам потрібна більш точна модель для отримання більш точного прогнозу. Інша проблема з моделлю осцилятора полягає в тому, що вона прогнозує лише рівні 4, щоб мати нижчу енергію, ніж потенціал свердловини 50 МеВ (таким чином, лише 4 пов'язані рівні енергії). Поділ між рівнями осцилятора є насправді\( \hbar \omega=\sqrt{\frac{2 \hbar^{2} V_{0}}{m R_{0}^{2}}-\frac{(Z-1) e^{2}}{2 R_{0}^{3}}} \approx \sqrt{\frac{2 \hbar^{2} c^{2} V_{0}}{m c^{2} R_{0}^{2}}}\). Вставляючи числові значення знаходимо\( \hbar \omega=\sqrt{\frac{2(200 M e V f m)^{2} \times 50 M e V}{938 M e V\left(1.25 f m A^{1 / 3}\right)^{2}}} \approx 51.5 A^{-1 / 3}\). Тоді поділ між рівнями осцилятора знаходиться на порядку 10-20МеВ.

Спінова взаємодія орбіти

Для того, щоб передбачити вищі магічні числа, нам потрібно враховувати інші взаємодії між нуклонами. Перша взаємодія, яку ми аналізуємо, - це спін-орбітальна зв'язок.

Пов'язаний потенціал можна записати як

\[\frac{1}{\hbar^{2}} V_{s o}(r) \hat{\vec{l}} \cdot \hat{\vec{s}} \nonumber\]

де\( \hat{\vec{s}}\) і\(\hat{\vec{l}} \) - спінові і кутові оператори імпульсу для одного нуклона. Цей потенціал слід додати до однонуклеонного потенціалу середнього поля, який спостерігався раніше. Раніше ми бачили, що у взаємодії між двома нуклонами існував спіновий компонент. Цей тип взаємодії мотивує форму потенціалу вище (який знову-таки слід сприймати в середньопольовій картині).

Ми можемо обчислити точковий добуток з тим же трюком, який вже використовувався:

\[\langle\hat{\vec{l}} \cdot \hat{\vec{s}}\rangle=\frac{1}{2}\left(\hat{\vec{j}}^{2}-\hat{\vec{l}}^{2}-\hat{\bar{s}}^{2}\right)=\frac{\hbar^{2}}{2}\left[j(j+1)-l(l+1)-\frac{3}{4}\right] \nonumber\]

де\(\hat{\vec{j}} \) - сумарний момент моменту для нуклона. Так як спина нуклона є\( s=\frac{1}{2}\), то можливі значення\(j\) є\( j=l \pm \frac{1}{2}\). Потім\(j(j+1)-l(l+1)=\left(l \pm \frac{1}{2}\right)\left(l \pm \frac{1}{2}+1\right)-l(l+1) \), і отримуємо

\ [\ ланголь\ капелюх {\ vec {l}}\ cdot\ hat {\ vec {s}}\ діапазон =\ лівий\ {\ початок {масив} {ll}
l\ frac {\ hbar^ {2}} {2} &\ текст {для}\ mathrm {j} =\ mathrm {l} +\ frac {1} {2}\\
- (l+1)\ frac {\ hbar^ {2}} {2} &\ текст {для}\ mathrm {j} =\ mathrm {l} -\ frac {1} {2}
\ end {масив}\ право. \ номер\]

і загальний потенціал

\ [V_ {n u c} (r) =\ лівий\ {\ почати {масив} {ll}
V_ {0} +V_ {s o}\ frac {l} {2} &\ текст {для}\ mathrm {j} =1+\ frac {1} {2}\
V_ {0} -V_ {s o}\ frac {2}} &\ текст {для}\ mathrm {j} =\ mathrm {l} -\ frac {1} {2}
\ end {масив}\ право. \ номер\]

Тепер нагадаємо, що обидва V ₀ є негативними і вибрати також V _{настільки} негативний. Потім:

• при вирівнюванні спина з кутовим імпульсом (\(j=l+\frac{1}{2} \)) потенціал стає більш негативним, тобто свердловина глибше і стан більш щільно пов'язане.
• коли спін і кутовий імпульс анти-вирівнюються енергія системи вище.

Рівні енергії, таким чином, розділяються спін-орбітальної зв'язкою (див. Рис. 5.3.5). Це розщеплення прямо пропорційно моменту моменту\(l\) (більше для вищого\(l\)):\(\Delta E=\frac{\hbar^{2}}{2}(2 l+1) \). Два стани в тій же конфігурації енергії, але зі спином вирівняні або анти-вирівняні називаються дублетом.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Розглянемо N = 3 ч. о. рівень. Рівень\(1 f_{7 / 2} \) штовхається далеко вниз (через високого\(l\)). Тоді його енергія настільки різна, що робить оболонку самостійно. Ми виявили, що число занять до N = 2 становило 20 (3-е магічне число). Тоді якщо взяти виродження\( \)\( \), то отримаємо 4-е магічне число 28.

[Зверніть увагу, що так як тут\(j\) вже включає спина,\(D(j)=2 j+1\).]

Оскільки\( 1 f_{7 / 2}\) рівень тепер утворює оболонку самостійно, і вона більше не належить до оболонки N = 3, залишкова дегенерація N = 3 становить лише 12 замість 20, як раніше. До цього виродження, ми могли б очікувати, що доведеться додати найнижчий рівень N = 4 множини. Найвищий\(l\) можливий для N = 4 виходить при\(n\) = 1 з формули\(N=2(n-1)+l \rightarrow l=4\) (це було б 1g). Тоді найнижчий рівень - для\(j=l+1 / 2=4+1 / 2=9 / 2\) при виродженні D = 2 (9/2 + 1) = 10. Ця нова комбінована оболонка складається з 12 + 10 рівнів. У свою чергу це дає нам магічне число 50.

Малюнок\(\PageIndex{5}\): Рівні енергії від рівня гармонічного осцилятора (позначеного N) спочатку зміщуються потенціалом кутового імпульсу (2p, 1f). Кожен рівень l потім розділяється на спін-орбітальну взаємодію, яка штовхає енергію вгору або вниз, залежно від вирівнювання спіна та кутового імпульсу (CC BY-NC-ND; Paola Cappellaro)

Використовуючи ці самі міркування, розщеплення, наведені спін-орбітальним зв'язком, можуть враховувати всі магічні числа і навіть передбачити нове на 184:

• N = 4,\(1 \mathrm{~g} \rightarrow 1 g_{7 / 2}\) а\( 1 g_{9 / 2}\). Тоді ми маємо 20 − 8 = 12+D (9/2) = 10. З 28 додаємо ще 22, щоб прийти до магічного числа 50.
• N = 5,\(1 \mathrm{~h} \rightarrow 1 h_{9 / 2}\) а\(1 h_{11 / 2}\). Оболонка таким чином поєднує в собі N = 4 рівні, які вже не включені вище, і\(D\left(1 h_{11 / 2}\right)=12\) рівні, отримані з\(N=51 h_{11 / 2}\). Виродження N = 4 склало 30, з яких віднімаємо 10 рівнів, включених в N = 3. Тоді ми маємо\((30-10)+D\left(1 h_{11 / 2}\right)=20+12=32\). З 50 додаємо приходимо до магічного числа 82.
• N = 6,\(1 \mathrm{i} \rightarrow 1 i_{11 / 2}\) а\(1 i_{13 / 2}\). Оболонка при цьому має\(D(N=5)-D\left(1 h_{11 / 2}\right)+D\left(1 i_{13 / 2}\right)=42-12+14=44\) рівні (D (N) = (N + 1) (N + 2)). Прогнозоване магічне число тоді дорівнює 126.
• \(N=7 \rightarrow 1 j_{15 / 2}\)додається до оболонки N = 6, щоб дати\(D(N=6)-D\left(1 i_{13 / 2}\right)+D\left(1 j_{15 / 2}\right)=56-14+16=58\), прогнозуючи ще не спостережуване 184 магічне число.

Малюнок\(\PageIndex{6}\): Модель оболонки передбачення магічних чисел. Розщеплення рівнів за рахунок ho. рівнів, l-квантового числа та спін-орбітального зв'язку. Зверніть увагу, що подальші зміни положення рівнів насправді присутні (див. Кране рис. 5.6). Тут відображаються лише зрушення, що ведуть до нових груп оболонок. (CC BY-NC-ND; Паола Капелларо)

Ці прогнози залежать не від точної форми потенціалу квадратної свердловини, а лише від спін-орбітального зв'язку та його відносної сили до ядерної взаємодії V ₀, як встановлено в потенціалі гармонічного осцилятора (ми бачили, що поділ між рівнями осцилятора був близько 10 МеВ.) На практиці, якщо більш детально вивчити потенційну свердловину, можна виявити, що рівні осцилятора з вищими\(l\) знижуються по відношенню до інших, тим самим збільшуючи розрив, створений спін-орбітальним зв'язком.

Модель оболонки, яку ми щойно представили, є досить спрощеною моделлю. Однак він може зробити багато прогнозів щодо властивостей нуклідів. Наприклад, він прогнозує ядерний спін і парність, магнітний дипольний момент і електричний квадруполярний момент, і його навіть можна використовувати для обчислення ймовірності переходів з одного стану в інший в результаті радіоактивного розпаду або ядерних реакцій.

Малюнок\(\PageIndex{7}\): Рівні енергії моделі оболонки (від Кране рис. 5.6). Зліва: Розраховані рівні енергії на основі потенціалу. Праворуч від кожного рівня знаходяться його ємність і кумулятивна кількість нуклонів до цього рівня. Спін-орбітальна взаємодія розділяє рівні з l > 0 на два нові рівні. Відзначимо, що ефект оболонки досить очевидний, а магічні числа відтворюються точно.

Спінове спарювання і валентні нуклони

У моделі екстремальної оболонки (або екстремальної незалежної моделі частинок) припущення полягає в тому, що тільки останній непарний нуклеон диктує властивості ядра. Кращим наближенням було б розглядати всі нуклони над заповненою оболонкою як сприяють властивостям ядра. Ці нуклони називаються валентними нуклонами.

Властивості, які можна передбачити за характеристиками валентних нуклонів, включають магнітний дипольний момент, електричний квадрупольний момент, збуджені стани і спін-парність (як ми побачимо). Модель оболонки потім може бути використана не тільки для прогнозування збуджених станів, але і для розрахунку швидкості переходів з одного стану в інший внаслідок радіоактивного розпаду або ядерних реакцій.

Оскільки рівні протонів та нейтронів заповнюються нуклони кожного типу пари, що дає нульовий кутовий імпульс для пари. Це спарювання нуклонів передбачає існування сили спарювання, яка знижує енергію системи при спаренні нуклонів.

Оскільки нуклони спарюються, загальний спін і парність ядра задаються лише останніми непарними нуклонами (-ами) (які проживають (и) на найвищому енергетичному рівні). Зокрема, ми можемо мати або один нейтрон, або один протон, або пару нейтрон-протон.

Парність для одного нуклону є\((-1)^{l} \), а загальна парність ядра є добутком парності одного нуклону. (Парність вказує, якщо хвильова функція змінює знак при зміні знака координат. Це, звичайно, продиктовано кутовою частиною хвильової функції - як у сферичних координатах.\( \) Тоді, якщо озирнутися назад на кутову хвильову функцію для центрального потенціалу, легко побачити, що сферичні гармоніки змінюють знак (якщо\(l\) непарний).

Обс.

Модель оболонки з силою сполучення передбачає ядерний спін I = 0 і парність\(\Pi\) = парність (або\(I^{\Pi}=0^{+}\)) для всіх рівних нуклідів.

Непарно-парні ядра

Незважаючи на свою грубість, модель оболонки з корекцією спін-орбіти добре описує спін і парність всіх ядер ODD-A. Зокрема, всі ядра Odd-a матимуть напівціле спін (оскільки нуклони, будучи ферміонами, мають напівціле спін).

Приклад\(\PageIndex{2}\)

\({ }_{8}^{15} \mathrm{O}_{7}\)і\({ }_{8}^{17} \mathrm{O}_{9}\). (Звичайно,\({ }^{16} \mathrm{O}\) має спіновий нуль і навіть парність, тому що всі нуклони парні). Перший ({} _ {8} ^ {15}\ mathrm {O} _ {7}\)) має непарний нейтрон в\(p_{1 / 2}\) оболонці, ніж\(l\) = 1,\(s\) = 1/2 і ми передбачаємо, що ізотоп матиме спін 1/2 і непарну парність. Заземлений стан\({ }_{8}^{17} \mathrm{O}_{9}\) замість цього має останній непарний нейтрон в\(\mathrm{d}_{5 / 2}\) оболонці, з\(l\) = 2 і\(s\) = 5/2, таким чином, маючи на увазі спін 5/2 з рівномірним парністю. Обидва ці передбачення підтверджені експериментами.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Це парно-непарні нукліди (тобто з непарним).

\(\rightarrow \frac{123}{51} S b_{72}\)має 1 протон в\(1 \mathrm{~g}_{7 / 2}: \rightarrow \ \frac{7}{2}^{+}\).

\(\rightarrow \ \frac{123}{51} S b_{72}\)має 1 протон в\(1 \mathrm{~g}_{7 / 2}: \rightarrow \ \frac{7}{2}^{+}\).

\(\rightarrow \ { }_{17}^{35} C l\)має 1 протон в\(1 \mathrm{~d}_{3 / 2}: \rightarrow \ \frac{3}{2}^{+}\).

\(\rightarrow \ { }_{14}^{29} S i\)має 1 нейтрон в\(2 \mathrm{~s}_{1 / 2}: \rightarrow \ \frac{1}{2}^{+}\).

\(\rightarrow \ { }_{14}^{28} S i\)має парні нуклони:\(\rightarrow \ 0^{+}\).

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Є деякі нукліди, які, здається, є винятком:

\(\rightarrow \ \frac{121}{51} S b_{70}\)має останній протон\(2 \mathrm{~d}_{5 / 2} \) замість\(1 \mathrm{~g}_{7 / 2}: \rightarrow \frac{5}{2}^{+} \) (деталі в потенціалі можуть пояснити інверсію порядку двох рівнів)

\(\rightarrow{ }_{62}^{147} \mathrm{Sn}_{85}\)має останній протон\( 2 \mathrm{f}_{7 / 2}\) замість\(1 \mathrm{~h}_{9 / 2}: \rightarrow \ \frac{7}{2}^{-} \).

\(\rightarrow{ }_{35}^{79} \mathrm{Br}_{44}\)має останній нейтрон\(2 \mathrm{p}_{3 / 2} \) замість\(1 \mathrm{f}_{5 / 2}: \rightarrow \ \frac{3}{2}^{-} \).

\(\rightarrow{ }_{82}^{207} P b_{125}\). Тут ми інвертуємо\( 1 \mathrm{i}_{13 / 2}\) с\( 3 \mathrm{p}_{1 / 2}\). Це, здається, неправильно, оскільки рівень 1i повинен бути досить енергійним, ніж 3p. Однак, коли ми переміщаємо нейтрон від 3p до 1i, всі нейтрони на рівні 1i тепер парні, тим самим знижуючи енергію цієї нової конфігурації.

\(\rightarrow \ { }_{28}^{61} N i_{33} \ 1 \mathrm{f}_{5 / 2} \longleftrightarrow 2 \mathrm{p}_{3 / 2} \rightarrow\left(\frac{3}{2}^{-}\right)\)

\(\rightarrow \frac{197}{79} A u_{118} \ 1 \mathrm{f}_{5 / 2} \longleftrightarrow 3 \mathrm{p}_{3 / 2} \rightarrow\left(\frac{3}{2}^{+}\right)\)

Непарні непарні ядра

Лише п'ять стабільних нуклідів містять як непарну кількість протонів, так і непарну кількість нейтронів: перші чотири непарно-непарні нукліди\({ }_{1}^{2} \mathrm{H},{ }_{3}^{6} \mathrm{Li},{ }_{5}^{10} \mathrm{~B}\), і\( { }_{7}^{14} \mathrm{~N}\). Ці нукліди мають два непарних нуклону (або непарно-непарні нукліди), тому їх спин складніше обчислити. Загальний момент імпульсу може приймати значення між\(\left|j_{1}-j_{2}\right|\) і\(j_{1}+j_{2}\).

У грі два процеси:

1. ядра, як правило, мають найменший момент імпульсу, і
2. нуклеонні спини, як правило, вирівнюються (це був той самий ефект, який ми бачили, наприклад, в дейтроні. У будь-якому випадку результуючий ядерний спін буде цілим числом.

Ядерний магнітний резонанс

Ядерний спін має важливе значення в хімічній спектроскопії та медичної візуалізації. Маніпулювання ядерним спіном радіочастотними хвилями лежить в основі ядерного магнітного резонансу та магнітно-резонансної томографії. Потім властивість спіна певного ізотопу можна передбачити, коли ви знаєте кількість нейтронів і протонів та модель оболонки. Наприклад, нескладно передбачити, що водень, який присутній в більшості живих клітин, матиме спин 1/2. Ми вже бачили, що deuteron замість цього має спін 1. А як щодо вуглецю, який також часто зустрічається в біомолекулах? \({ }_{6}^{12} \mathrm{C}\)звичайно, і рівне ядро, тому ми очікуємо, що він матиме спін-0. \({ }_{6}^{13} \mathrm{C}_{7}\)замість цього має один непарний нейтрон. Потім\({ }^{13} \mathrm{C}\) має спін-\(\frac{1}{2}\).

Чому ядерним спіном можна маніпулювати електромагнітними полями? До кожного спина є асоційований магнітний диполь, який дається:

\[\mu=\frac{g \mu_{N}}{\hbar} I=\gamma_{N} I \nonumber\]

де\(\gamma_{N} \) називається гіромагнітним відношенням,\(g\) є g-фактором (що ми збираємося пояснити) і\(\mu_{N} \) є ядерним магнетоном\( \mu_{N}=\frac{e \hbar}{2 m} \approx 3 \times 10^{-8} \mathrm{eV} / \mathrm{T}\) (з\(m\) масою протона). \(g\)Коефіцієнт походить від комбінації g-фактора моменту моменту імпульсу та g-фактора спіна. Для протонів\(g_{l}=1\), тоді як це\(g_{l}=0\) для нейтронів, оскільки вони не мають жодного заряду. Спіновий g-фактор можна обчислити шляхом вирішення рівняння релятивістської квантової механіки, тому він є властивістю самих частинок (і безрозмірним числом). Для протонів і нейтронів у нас є:\(g_{s, p}=5.59\) і\(g_{s, n}=-3.83\).

Для того, щоб мати оперативне визначення магнітного диполя, пов'язаного з заданим моментом, ми визначаємо його як очікуване значення,\(\hat{\mu} \) коли система знаходиться в стані з максимальним\(z\) кутовим імпульсом:

\[\langle\mu\rangle=\frac{\mu_{N}}{\hbar}\left\langle g_{l} l_{z}+g_{s} s_{z}\right\rangle=\frac{\mu_{N}}{\hbar}\left\langle g_{l} j_{z}+\left(g_{s}-g_{l}\right) s_{z}\right\rangle \nonumber\]

Тоді за нашими припущеннями\( j_{z}=j \hbar\) (і звичайно\( l_{z}=\hbar m_{z}\) і\( s_{z}=\hbar m_{s}\)) ми маємо

\[\langle\mu\rangle=\frac{\mu_{N}}{\hbar}\left(g_{l} j \hbar+\left(g_{s}-g_{l}\right)\left\langle s_{z}\right\rangle\right) \nonumber\]

Як ми можемо розрахувати\(s_{z} \)? Є два випадки, або\( j=l+\frac{1}{2}\) або\( j=l-\frac{1}{2}\). І зверніть увагу, що ми хочемо, щоб знайти проекцію\(\hat{\vec{S}} \) в державі\(\hat{\vec{J}} \), яка узгоджується з, тому ми хочемо значення очікування\( \frac{|\hat{S} \cdot \hat{J}| \hat{J}}{|\hat{J}|^{2}}\). Замінивши оператори з їх очікуваними значеннями (в разі де\(j_{z}=j \hbar \)), отримаємо

\(\left\langle s_{z}\right\rangle=+\frac{\hbar}{2}\)для\(j=l+\frac{1}{2}\).

\(\left\langle s_{z}\right\rangle=-\frac{\hbar}{2} \frac{j}{j+1}\)для\(j=l-\frac{1}{2}\).

(Таким чином, ми маємо невелику корекцію через те, що ми приймаємо значення очікування щодо нахиленого стану, а не звичайного стану, узгодженого з\( \hat{S}_{z}\). Пам'ятайте, що держава добре визначена в зв'язаному поданні, тому незв'язані стани представлення більше не є хорошими власними станами).

Нарешті диполь є

\[\langle\mu\rangle=\mu_{N}\left[g_{l}\left(j-\frac{1}{2}\right)+\frac{g_{s}}{2}\right] \nonumber\]

для\( j=l+\frac{1}{2}\) і

\[ \langle\mu\rangle=\mu_{N} g_{l}\left[g_{l} \frac{j\left(j+\frac{3}{2}\right)}{j+1}-\frac{g_{s}}{2} \frac{1}{j+1}\right] \nonumber\]

інакше. Зверніть увагу, що точне g-фактор або гіромагнітне співвідношення ізотопу важко обчислити: це всього лише наближення, засноване на останній непарної моделі нуклону, взаємодія між усіма нуклонами в цілому повинна враховуватися.

Більш складні конструкції

Інші характеристики ядерної структури можна пояснити більш складними взаємодіями і моделями. Наприклад, всі рівномірні нукліди представляють аномальний 2 ⁺ збуджений стан (Оскільки всі рівномірні нукліди 0 ⁺ ми повинні подивитися на збуджені рівні, щоб дізнатися більше про конфігурацію спина.) Це натяк на те, що властивості всіх нуклонів відіграють певну роль у визначенні ядерної структури. Це саме ті терміни в нуклоні гамільтоніана, якими ми вирішили знехтувати в першому наближенні. Інша модель могла б потім розглянути всі нуклони (замість одного нуклонів у зовнішньому потенціалі) і описувати їх властивість колективним чином. Це схоже на модель з краплею рідини. Тоді важливими властивостями будуть вібрації і обертання даної моделі.

Інший підхід полягає, наприклад, у розгляді не тільки ефектів останнього непарного нуклону, але і всіх нуклонів поза останньою замкнутою оболонкою. Більш докладно про ці моделі див. Krane.