Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

9.1: Обертальна кінетична енергія та момент інерції

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    74579

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Якщо частинка маси\(m\) рухається по колу радіуса\(R\), з миттєвою швидкістю\(v\), то її кінетична енергія дорівнює

    \[ K_{r o t}=\frac{1}{2} m v^{2}=\frac{1}{2} m R^{2} \omega^{2} \label{eq:9.1} \]

    використання\(|\vec v| = R|\omega|\), Рівняння (8.4.12). Зауважте, що на даному етапі немає реальної причини індексу «rot»: рівняння (\ ref {eq:9.1}) - це вся кінетична енергія частинки. Різниця стане важливою лише пізніше в главі, коли ми розглянемо розширені об'єкти, рух яких є поєднанням перекладу (центру маси) та обертання (навколо центру маси).

    Тепер розглянемо кінетичну енергію витягнутого об'єкта, який обертається навколо якоїсь осі. Ми можемо розглядати об'єкт як складається з багатьох «частинок» (дрібних частин) мас\(m_1\),\(m_2\)... Якщо об'єкт жорсткий, всі частинки рухаються разом, в тому сенсі, що всі вони обертаються під одним кутом одночасно, а значить, всі вони мають однакову кутову швидкість. Однак частинки, що знаходяться далі від осі обертання, насправді рухаються швидше - вони мають більший\(v\), згідно з рівнянням (8.4.12). Отже, вираз для повної кінетичної енергії з точки зору всіх швидкостей частинок складне, але з точки зору (загальної) кутової швидкості є простим:

    \ begin {вирівнювання}
    K_ {r o t} &=\ розриву {1} {2} m_ {1} v_ {1} ^ {2} +\ frac {1} {2} m_ {2} v_ {2} ^ {2} +\ frac {1} {2} m_ {3} v_ {3} ^ {2} +\ ldots\ nonumber\\
    &=\ розриву {1} {2}\ ліворуч (m_ {1} r_ {1} ^ {2} +m_ {2} r_ {2} ^ {2} +m_ {3} ^ {2} ^ {2} +\ ldots\ праворуч)\ омега^ {2}\ номер\\
    &=\ frac {1} {2} } Я\ омега^ {2}\ мітка {еква:9.2}
    \ end {вирівнювання}

    де\(r_1\),\(r_2\),... представляють відстань 1-ї, 2-ї... частинки до осі обертання, а на останньому рядку я ввів величину

    \[ I=\sum_{\text {all particles }} m r^{2} \label{eq:9.3} \]

    який прийнято називати моментом інерції об'єкта навколо розглянутої осі. Загалом, вираз (\ ref {eq:9.3}) оцінюється як інтеграл, який можна записати символічно як\( I=\int r^{2} d m \); «елемент маси»\(dm\) може бути виражений через локальну щільність як\(\rho d V \), де\(V\) - об'ємний елемент. Інтеграл є багатовимірним інтегралом, який може зажадати кілька складних навичок обчислення, тому ми не будемо обчислювати жодного з них в цьому семестрі; скоріше, ми будемо покладатися на табличні значення\(I\) для об'єктів різних, простих, форм. Наприклад, для однорідного циліндра загальної маси\(M\) та радіуса\(R\), що обертається навколо своєї центральної осі\(I = \frac{1}{2}MR^2\); для порожнистої сфери, що обертається через вісь через її центр\(I = \frac{2}{3}MR^2\), тощо.

    Як бачите, вираз (\ ref {eq:9.2}) для кінетичної енергії тіла, що обертається\(\frac{1}{2}I\omega ^2\), паралельно виразу\(\frac{1}{2}mv^2\) для рухомої частинки, з заміною\(v\) на\(\omega\), і\(m\) на\(I\). Це говорить про те, що\(I\) це якась міра обертальної інерції твердого об'єкта, під якою ми маємо на увазі опір, який він пропонує встановити у обертання навколо осі, що розглядається. Пізніше ми побачимо, коли ми введемо крутний момент, що ця інтерпретація дійсно правильна.\(I\)

    Слід підкреслити, що момент інерції залежить, в цілому, не тільки від форми і масового розподілу предмета, а й від осі обертання. Загалом, формула (\ ref {eq:9.3}) показує, що, чим більше маси ви відкладете далі від осі обертання, тим більшою\(I\) буде. Так, наприклад, тонкий стрижень довжини\(l\) має момент інерції\(I = \frac{1}{12}Ml^2\) при обертанні навколо перпендикулярної осі через середину, тоді як більший\(I = \frac{1}{3}Ml^2\) при обертанні навколо перпендикулярної осі через одну з її кінцевих точок.