8.6: Приклади

Last updated
Save as PDF

Page ID: 74642

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Ви опрацьовуєте досить ґрунтовний приклад руху снаряда в лабораторії, а розділ 8.3 вище вже має розроблену для вас проблему ковзання блоку вниз по похилій площині. Наступний приклад покаже вам, як використовувати кінематичні кутові змінні секції 8.4 для боротьби з рухом по колу та для обчислення доцентрового прискорення в простій ситуації. У розділі «Розширені теми» розглянуто кілька більш складних (але цікавих) прикладів.

Приклад\(\PageIndex{1}\): Пенні на вертушці

Припустимо, що у вас на вертушці сидить копійка, відстань\(d\) = 10 см від осі обертання. Припустимо, що вертушка починає рухатися, неухильно обертаючись від відпочинку, таким чином, що через 1,3 секунди вона досягла кінцевої швидкості обертання 33,3 об/хв (оборотів в хвилину). Дайте відповідь на наступні питання:

Яким було кутове прискорення поворотної платформи за часовий проміжок від\(t\) = 0 до\(t\) = 1,3 с?
Скільки обертів (повних і дробових) зробив поворотний стіл, перш ніж досягти кінцевої швидкості?
Припускаючи, що копійка не прослизнула, яке її доцентрове прискорення, як тільки вертушка досягає кінцевої швидкості?
Наскільки великим повинен бути коефіцієнт статичного тертя між копійкою та вертушкою, щоб копійка не ковзала протягом усього цього процесу?

Рішення

(а) Нам кажуть, що вертушка крутиться «стійко» від\(t\) = 0 до\(t\) = 1,3 с. слово «стабільно» тут є ключовим словом, яке означає (кутове) прискорення постійне (тобто кутова швидкість збільшується з постійною швидкістю).

Що це за ставка? Для постійної \(\alpha\) ми маємо, з Рівняння (8.4.10), \(\alpha = \Delta \omega / \Delta t\). Тут часовий інтервал \(\Delta t\) = 1,3, тому нам просто потрібно знайти\(\Delta \omega\). За визначенням\(\Delta \omega = \omega_f − \omega_i\), і так як ми починаємо з відпочинку,\(\omega_i\) = 0. Так що нам просто потрібно\(\omega_f\). Нам кажуть, що «кінцева швидкість обертання» становить 33,3 об/хв (оборотів в хвилину). Що це говорить нам про кутову швидкість?

Кутова швидкість - це кількість радіанів, які об'єкт рухається по колу (наприклад, копійка в цьому прикладі) подорожує за секунду. Повний поворот по колу, або оборот, відповідає 180\(^{\circ}\), або еквівалентно 2\(\pi\) радіану. Так, 33.3 оборотів, або оборотів, в хвилину означає\( 33.3 \times 2 \pi \) радіани за 60 с, тобто

\ [\ омега_ {f} =\ frac {33.3\ раз 2\ pi\:\ mathrm {читати}} {60\:\ математика {s}} =3.49\: \ frac {\ mathrm {rad}} {\ mathrm {s}}\ етикетка {ев:8.39}.\]

Кутове прискорення, отже, є

\ [\ альфа =\ frac {\ Дельта \ омега} {\ Дельта т} =\ frac {\ омега_ {f} -\ омега_ {i}} {\ Дельта t} =\ frac {3.49 \:\ mathrm {rad}/\ mathrm {s}} {1.3\:\ mathrm {s}} =2.68\: \ frac {\ mathrm m {rad}} {\ математика {s} ^ {2}}\ мітка {еква:8.40}.\]

(б) Спосіб відповісти на це питання полягає в тому\(\Delta \theta\), щоб з'ясувати сумарне кутове зміщення копійки за розглянутий проміжок часу (від\(t\) \(t\) = 0 до = 1,3 с), а потім перетворити це в число витків, використовуючи співвідношення 2\(\pi\) рад = 1 поворот. Щоб отримати\ (\ Delta \ theta\), слід використовувати рівняння (8.4.10) для руху з постійним кутовим прискоренням:

\ [\ Дельта\ тета=\ омега_ {i} \ Дельта т+\ розрив {1} {2}\ альфа (\ Дельта t) ^ {2}\ етикетка {eq:8.41}.\]

Ми починаємо з відпочинку, так що\(\omega_i\) = 0, Ми знаємо\(\Delta t\) = 1,3 с, і ми тільки що обчислили \(\alpha\) = 2.68 рад/с ², так що у нас є

\ [\ Дельта\ тета=\ frac {1} {2} \ раз 2.68\:\ frac {\ mathrm {rad}} {\ математика {s} ^ {2}}\ час (1.3\: \ матрм {s}) ^ {2} =2.26\:\ математика {rad}\ мітка {eq:8.42}.\]

Це менше 2\(\pi\) радіанів, тому для досягнення кінцевої кутової швидкості потрібно поворотний стіл менше одного повного обороту. Якщо бути точним, оскільки 2\(\pi\) радіани - це один оборот, 2.26 рад буде 2.26/ (2\(\pi\)) оборотів, тобто 0.36 оборотів - трохи більше 1/3 обороту.

(c) Для зазначених вище питань копійка просто служила маркером для відстеження оборотів вертушки. Тепер перейдемо до динаміки руху самої копійки. По-перше, щоб отримати його кутове прискорення, ми можемо просто використовувати Equation (8.4.18), у формі

\ [a_ {c} =R\ омега^ {2} =0.1\: \ математика {m}\ раз\ ліворуч (3.49\: \ frac {\ mathrm {rad}}} {\ mathrm {s}}} ^ {2} =1.22\: \ frac {\ mathrm {m}}} {\ mathrm {s} ^ {2}}\ етикетка {еква:8.43}\]

помічаючи\(R\), що радіус кола, по якому рухається копійка, - це всього лише відстань\(d\) до осі обертання, яку нам дали на початку завдання, і, його кутова швидкість\(\omega\), - це всього лише кінцева кутова швидкість поворотного столу (припускаючи, що ми розповів, що копійка не сповзала щодо вертушки).

(d) Нарешті, як щодо сили, необхідної для утримання копійки від ковзання - тобто, щоб вона рухалася з поворотним столом? Це всього лише доцентрова сила, необхідна «зігнути» траєкторію копійки в коло радіуса \(R\), так\(F_c = ma_c\), де\(m\) маса копійки і \(a_c\) це тільки що вирахували доцентрове прискорення. Фізично ми знаємо, що ця сила повинна бути забезпечена статичним (поки копійка не ковзає!) сила тертя між копійкою і вертушкою. Ми знаємо, що\ (F^ {s} \ leq\ mu_ {s} F^ {n}\), і ми маємо для нормальної сили, в цій простій ситуації, просто\(F^n = mg\). Тому установка\ (F^s = ma_c\) у нас є:

\ [м a_ {c} =F^ {s}\ leq\ mu_ {s} F^ {n} =\ mu_ {s} м г\ мітка {еква:8.44}.\]

Це еквівалентно єдиній нерівності\(ma_c \leq \mu_smg\), де ми можемо скасувати масу пенні, щоб зробити висновок, що ми повинні мати\ (a_c \ leq\ mu_sg\), і тому

\ [\ mu_ {s}\ geq \ frac {a_ {c}} {g} =\ frac {1.22\:\ математика {m}/\ математика {s} ^ {2}} {9.8\: \ математика {m}/\ mathrm {s} ^ {2}}} =0.124\ мітка {eq:8.45}\]