25.5: Резюме

Ключові виноси

Декартові системи координат можуть бути визначені за допомогою початку та взаємно перпендикулярних осей, які задають напрямок, в якому кожна відповідна координата збільшується. Положення точки описується координатами точки (одна координата на вісь). Полярні, циліндричні та сферичні системи координат можуть бути визначені відносно декартової системи координат і іноді полегшують опис ситуацій з циліндричною (азимутальною) або сферичною симетрією.

Вектори можуть бути представлені стрілками і є величинами, які мають як величину, так і напрямок, на відміну від «скалярів», які є просто числами. Вектори не закріплені в просторі, тому два вектори рівні, якщо вони мають однакову величину і напрямок, незалежно від того, де вони намальовані. Ми розміщуємо невелику стрілку над змінною\(\vec d\), щоб вказати, що це вектор. Існує кілька еквівалентних позначень для позначення компонентів вектора:\[\begin{aligned} \vec d &= (d_x,d_y, d_z)\quad&\text{row vector}\\ &=\begin{pmatrix} d_x \\ d_y \\ d_z\\ \end{pmatrix}\quad&\text{column vector}\\ &= d_x\hat x +d_y \hat y +d_z \hat z\quad&\text{using }\hat x,\;\hat y,\;\hat z\\ &=d_x\hat i +d_y \hat j+d_z \hat j \quad&\text{using }\hat i,\;\hat j,\;\hat k\end{aligned}\] Якщо ми помножимо (ділимо) вектор на скаляр, ми помножимо (ділимо) кожен компонент вектора окремо на цю величину. В результаті величина вектора також буде помножена (розділена) на цю величину:\[\begin{aligned} a\vec d = \begin{pmatrix} ad_x \\ ad_y \\ ad_z \\ \end{pmatrix}\end{aligned}\] Зокрема, ми можемо визначити одиничний вектор\(\hat d\), щоб бути вектором довжини 1 в тому ж напрямку, що і\(\vec d\), просто\(\vec d\) діливши на його величину, \(d\):\[\begin{aligned} \hat d = \frac{\vec d}{d}\end{aligned}\] де величина вектора\(||\vec d|| = d\), виражена в декартових координатах, задається:\[\begin{aligned} ||\vec d|| = d =\sqrt{d_x^2+d_y^2+d_z^2}\end{aligned}\] Ми можемо додати два вектори шляхом самостійного додавання окремих компонентів векторів:\[\begin{aligned} \vec c &= \vec a + \vec b\\ \therefore c_x &= a_x + b_x\\ \therefore c_y &= a_y + b_y\\ \therefore c_z &= a_z + b_z\end{aligned}\] Графічно це відповідає додаванню векторів «голова до хвоста». Це також підкреслює, що рівняння, написане з використанням векторів (як перший рядок вище), дійсно представляє три незалежні рівняння, по одному для кожної координати векторів (або два у двох вимірах). Віднімання векторів трактується так само, як додавання (але з використанням знаків мінус, де це доречно).

Можна визначити скалярний (або крапковий) добуток між двома векторами, як скалярну величину, отриману з двох векторів:\[\begin{aligned} \vec a \cdot \vec b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z\end{aligned}\] Скалярний добуток також пов'язаний з кутом\(\theta\), між двома векторами, коли вони розміщені «хвіст до хвоста»:\[\begin{aligned} \vec a \cdot \vec b = ab\cos\theta\end{aligned}\] Зокрема, скалярний добуток добуток між двома векторами дорівнює нулю, якщо два вектори перпендикулярні один одному (\(\cos\theta=0\)), і максимальний, коли вони паралельні один одному.

Векторний (або перехресний) добуток між двома векторами - вектор, який взаємно перпендикулярний обом векторам і визначається наступним чином:\[\begin{aligned} \vec a \times \vec b =\begin{pmatrix} a_yb_z - a_z b_y\\ a_zb_x - a_x b_z\\ a_xb_y - a_y b_x\\ \end{pmatrix}\end{aligned}\] Векторний добуток можна визначити лише в трьох вимірах, оскільки він повинен бути взаємно перпендикулярним векторам. Величина векторного добутку задається за допомогою:\[\begin{aligned} || \vec a \times \vec b || = ab\sin\theta\end{aligned}\] де\(\theta\) кут між двома векторами, коли вони розміщені хвіст до хвоста. Зокрема, векторний добуток між двома векторами дорівнює нулю, якщо два вектори паралельні один одному (і максимальний, коли вони перпендикулярні). Напрямок векторного добутку задається правилом правого для перехресного добутку.

Осьовий вектор може бути використаний для опису величини, яка пов'язана з обертанням. Напрямок осьового вектора співлінійно з віссю обертання, його величина задається величиною величини обертання (наприклад, кутової швидкості), а його напрямок визначається за допомогою правого правила для осьових векторів.