24.11: Приклади проблем та їх вирішення

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Сонце живиться від ядерних реакцій синтезу, в яких, переважно, атоми водню зливаються між собою в атоми гелію. Усередині Сонця матеріал, в основному водень, знаходиться у вигляді плазми, де електрони не прикріплені до ядер своїх атомів. Ефективно можна моделювати реакції сонячного синтезу ¹ так:\[\begin{aligned} 4p + 2e^- \to \alpha + 2\nu\end{aligned}\] де чотири протони відповідають ядрам чотирьох атомів водню,\(\alpha\) є ядром атома гелію, з двома нейтронами та двома протонами, а два\(\nu\) - нейтрино, частинки з практично нульовою масою. Реакція вище екзотермічна, і вивільняє енергію, тому що загальна маса частинок праворуч менше загальної маси зліва. З огляду на, що маса протона є\(m_p=938.3\text{MeV/c}^{2}\), маса електрона є\(m_e=0.511\text{MeV/c}^{2}\), а маса альфа-частинки дорівнює\(m_\alpha=3727.4\text{MeV/c}^{2}\), скільки енергії (в і в) виділяється в кожній реакції синтезу?

Відповідь

Для того щоб визначити кількість енергії, що виділяється в кожній реакції, нам потрібно визначити різницю в масі між двома сторонами рівняння: З лівого\[\begin{aligned} 4p + 2e^- \to \alpha + 2\nu\end{aligned}\] боку загальна маса дорівнює:\[\begin{aligned} M_{LHS}=4m_p+2m_e=4(938.3\text{MeV/c}^{2})+2(0.511\text{MeV/c}^{2})=3754.22\text{MeV/c}^{2}\end{aligned}\] тоді як з правого боку загальна маса дорівнює:\[\begin{aligned} M_{RHS}=m_\alpha=3727.4\text{MeV/c}^{2}\end{aligned}\] Таким чином, загальна енергія, що виділяється в кожній реакції дається:\[\begin{aligned} E &= c^2\Delta M = c^2(M_{LHS}-M_{RHS})=c^2((3754.22\text{MeV/c}^{2})-(3727.4\text{MeV/c}^{2}))\\ &=26.8\text{MeV}=4.29\times 10^{-12}\text{J}\end{aligned}\] де ми показали відповідь в обох і. Хоча це може здатися не такою великою енергією на реакцію, майте на увазі, що на Сонці відбуваються реакції порядку в секунду, що відповідає потужності порядку\(4\times 10^{26}\text{W}\), достатній, щоб зігріти нас влітку.

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Протон вимірюється вченим, щоб мати загальну енергію\(2.5\times 10^{3}\text{MeV}\).

1. Яка швидкість протона?
2. Як далеко протон подорожує (в лабораторії), коли\(1\text{s}\) проходить у формі відліку вченого?
3. Як далеко протон подорожує (в лабораторії), коли\(1\text{s}\) проходить в рамках відліку протона?

Відповідь

а. з загальної енергії можна обчислити гамма-фактор, який дасть нам швидкість протона (в опорній рамці вченого):

\[\begin{aligned} E &= \gamma m_0 c^2\\ \frac{1}{\gamma} &= \frac{m_0c^2}{E}\\ \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} &= \frac{m_0c^2}{E}\\ \frac{v^2}{c^2} &= 1 - \frac{m_0^2c^4}{E^2}\\ \therefore v &= \left(\sqrt{1-\frac{m_0c^4}{E^2}}\right) c\\ &= 0.92c\\ &=\left(\sqrt{1-\frac{(938.3\text{Mev/c}^{2})^{2}c^{4}}{(2.5\times 10^{3}\text{MeV})^{2}}} \right)c \\ &=\left(\sqrt{1-\frac{(938.3\text{Mev})^{2}}{(2.5\times 10^{3}\text{MeV})^{2}}} \right)c \\ &= 2.76\times 10^{8}\text{m/s}\\\end{aligned}\]

б. в кадрі лабораторії, коли пройде одна секунда, протон проїде відстань:\[\begin{aligned} d = vt = (2.76\times 10^{8}\text{m/s})(1\text{s})=2.76\times 10^{8}\text{m}\end{aligned}\]

c Для того, щоб з'ясувати, наскільки далеко протон подорожує в лабораторії, коли проходить одна секунда належного часу в рамках відліку протона, нам потрібно визначити, скільки часу пройшло в рамках лабораторії.

Гамма-фактор для протона можна отримати зі швидкості, яку ми визначили в частині а), або з загальної енергії безпосередньо:\[\begin{aligned} \gamma = \frac{E}{m_0c^2}=\frac{(2.5\times 10^{3}\text{MeV})}{(938.3\text{MeV/c}^{2})c^2}=\frac{(2.5\times 10^{3}\text{MeV})}{(938.3\text{MeV})}=2.66\end{aligned}\] Таким чином, при проходженні в рамках відліку протона в лабораторній базі відліку\(\Delta t=1\text{s}\) проходить час\(\Delta t'\), розширений час: \[\begin{aligned} \Delta t' = \gamma \Delta t = 2.66\text{s}\end{aligned}\]У лабораторному кадрі протон проїде відстань:\[\begin{aligned} d = vt = (2.76\times 10^{8}\text{m/s})(2.66\text{s})=7.34\times 10^{8}\text{m}\end{aligned}\]

Виноски

1. Насправді існує набагато більше реакцій, що беруть участь у отриманні від водню до гелію.